Théorèmes de Sylow
Perrin, Cours d'algèbre, page 16
Théorème : SoitG un groupe ni,pun facteur premier de l'ordre n deG, et soit n=pkpk22. . . pkss=pkqla décomposition en facteurs premiers den.
1. Il existe dansGunp-sous-groupe de Sylow.
2. Tout p-sous-groupe deGest contenu dans unp-sous-groupe de Sylow deG.
3. Lesp-sous-groupes de Sylow deGsont conjugués.
4. Le nombrenp dep-sous-groupes de Sylow deGvérie np|q et np≡1 ( modp)
Rappels :
• un groupe d'ordrepk,ppremier, est appelé unp-groupe.
• SiGest un groupe tel que|G|=pkpk22. . . pkss et siH est un sous-groupe de cardinalpk, on dit que H est unp-sous-groupe de Sylow deG.
Lemme : SoitGun groupe avec |G|=n=pαm avec p6 |met soit H un sous-groupe de G. Soit S un p-Sylow deG. Alors, il existea∈G tel queaSa−1∩H soit un p-Sylow de H.
Demontrons le lemme : le groupeGopère surG/S par translation à gauche et le stabilisateur de aS est aSa−1. MaisH opère lui aussi surG/S par restriction, avec comme stabilisateur deaS,aSa−1∩H.
Il reste à voir que l'un de ces groupes est un Sylow deH. Ce sont déjà desp-groupes et il sut donc que, pour un a∈G, |H/(aSa−1∩H)| soit premier àp. Mais on a|H/(aSa−1∩H)|=|ω(aS)|, cardinal de l'orbite deaS dansG/S sous l'action de H. Si tous ces nombres étaient divisibles parp, il en serait de même de |G/S|carG/S est réunion des orbitesω(aS). Mais ceci contredit le fait que S est unp-Sylow deG.
A présent, démontrons le théorème en lui-même :
1. SoitGun groupe etpun diviseur de|G|=n. On plonge d'abordGdansSn (par Cayley), puis on plongeSndansGLn(Fp)de la manière classique, à savoir queσ∈ Sn s'envoie sur l'endomorphisme uσ déni dans la base canonique paruσ(ei) =eσ(i).
Finalement, on a donc réaliséGcomme un sous-groupe deGLn(Fp)qui possède unp-Sylow, donc Gaussi par le lemme.
2. SiH est unp-sous-groupe etS unp-SYlow deG, il existea∈Gtel queaSa−1∩H soit unp-Sylow deH. Mais commeH est un p-groupe, on a aSa−1∩H =H, donc H est inclus dansaSa−1 qui est un Sylow. Si de plusH est un Sylow, on a exactementH =aSa−1.
3. Fait dans le(2).
4. On fait opérerG par conjugaison sur l'ensemble X de ses p-Sylow. Soit S un p-Sylow, S opère lui-aussi surX et on a encore la congruence
|X|=|XS|( modp)
Il reste à voir que l'on a|XS|= 1. Bien sûr, sis∈S, on asSs−1 =S, autrement ditS ∈XS, on doit donc montrer que c'est le seul. Pour cela, soitT unp-Sylow, et supposons queT soit normalisé parS :
∀s∈S, sT s−1=T
On considère alors le sous-groupeN deGengendré parS etT. On aS ⊂N,T ⊂N et ce sont, a fortiori, desp-Sylow de N. Mais comme S normalise T, on aT CN et donc T est l'unique Sylow deN, doncS=T.
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