Rappeler pourquoi [G:CG,x] calcule le cardinal de la classe de conjugaison contenantx

UNSA Groupes et Géométrie M1 2015-2016

Feuille d'exercices n^◦2

1. Classes de conjugaison, centre et groupes d'ordre p². Pour un groupe Gon considère l'action de GsurG dénie par conjugaison, i.e. àg∈Gon associe l'automorphismec_g:G→G:x7→gxg⁻¹.

Les orbites de cette action s'appellent les classes de conjugaison deG, i.e. deux élémentsx, y∈Gappartiennent à la même classe de conjugaison si et seulement s'il existeg∈Gtel quec_g(x) =gxg⁻¹=y.

Le centralisateur d'un x∈Gest déni parC_G,x={g∈G|c_g(x) =x}. Le centre deGest déni parZ(G) ={g∈G| ∀x∈G:c_g(x) =x}.

1.a. Montrer queCG,x est un sous-groupe de G. Rappeler pourquoi [G:CG,x] calcule le cardinal de la classe de conjugaison contenantx. En déduire que le cardinal d'une classe de conjugaison deGdivise l'ordre deG.

1.b. Montrer que le centre est le noyau d'un morphisme de groupesG→Aut(G). En déduire que le centre est un sous-groupe distingué deG. Montrer qu'il est abélien. Montrer que siG/Z(G)est cyclique (i.e. engendré par un seul élément) alorsGest abélien, i.e.G=Z(G)resp.G/Z(G) ={e_G/Z(G)}.

1.c. Montrer que le centre deGconsiste précisément en les éléments deGdont la classe de conjugaison est singleton.

1.d. SoitGunp-groupe. Déduire de 1.a que les cardinaux des classes de conjugaison deGsont des puissances de p. En déduire (à l'aide de 1.c) que le centre d'unp-goupe possède plus d'un élément.

1.e. Déduire de 1.b et 1.d qu'un groupe d'ordrep² est abélien. Qu'en est-il des groupes d'ordrep³? Que peut-on dire du centre d'un groupe non abélien d'ordrep³?

2. Classes de conjugaison de S_n.

2.a. Soitσ∈S_n une permutation cycliqueσ= (i₁i₂i₃· · ·i_k)etτ∈S_nune permutation quelconque. Montrer que τ στ⁻¹est la permutation cyclique(τ(i1)τ(i2)τ(i3)· · ·τ(ik)).

2.b. Déduire de 2.a que si σ1, σ2 ∈ Sn appartiennent à la même classe de conjugaison alors elles ont le même nombre d'orbites et il existe une bijection entreσ1-orbites etσ2-orbites qui préserve le cardinal des orbites.

2.c. Montrer que si σ1, σ2 ∈ Sn ont le même nombre d'orbites tel qu'il existe une bijection entre σ1-orbites et σ2-orbites qui préserve le cardinal des orbites, alorsσ1 etσ2 appartiennent à la même classe de conjugaison.

2.d. Déduire de 2.b et 2.c qu'il y a autant de classes de conjugaison de Sn que de partitions de n (i.e. de décompositions en entiersn=k1+k2+· · ·+ksavec0< k1≤k2≤ · · · ≤ks).

2.e. Énumérer les classes de conjugaison deS2,S3et S4 en explicitant leurs éléments.

3. Produit direct. SoitGun groupe avec sous-groupes distinguésN etH tels queN∩H={eG}etN H =G. 3.a. Montrer que toutx∈Gs'écrit d'une et d'une seule manière sous la formex=nhavecn∈N et h∈H. 3.b. Montrer quenh=hnpour tousn∈N eth∈H. En déduire un isomorphisme de groupesG∼=N×H. On dit queGest le produit direct deN et de H.

3.c. Montrer qu'un groupe Gd'ordrepq (avecp, q des nombre premiers distincts) est abélien si et seulement siG ne possède qu'un seulp-Sylow et un seulq-Sylow. Montrer que le cas échéant Gest isomorphe au produit direct de ses sous-groupes de Sylow.

3.d. Déterminer tous les2- et 3-Sylow de(Z/6Z,+) et deS3.

4. Produit semi-direct. SoitGun groupe avec sous-groupesN, Htels queN distingué,N∩H ={eG}etN H=G. 4.a. Montrer pour tout x ∈G l'unicité de l'écriture x= nhavec n ∈N et h∈ H. En déduire l'existence d'un morphisme de groupes surjectifφ:G→H qui associe ành∈Gl'élémenth∈H. Montrer queKer(φ) =N.

On dit queGest le produit semi-direct deN et de H, et on noteG∼=NoH.

4.b. Montrer l'existence d'un morphisme de groupes ρ : H → Aut(N) associant à h ∈ H l'automorphisme ρ_h:N→N:n7→hnh⁻¹; en particulier six₁=n₁h₁ et x₂=n₂h₂ alorsx₁x₂=n₁ρ_h1(n₂)h₁h₂.

4.c. Montrer queS₃∼=A₃oS₂ en explicitantρ:S₂→Aut(A₃). Montrer que A₃ etS₂sont cycliques.

4.d. Montrer queD_2n∼= (Z/nZ,+)oS₂ en explicitantρ:S₂→Aut(Z/nZ,+).

5. Produit en couronne et 2-Sylow de S₂k. On suppose queGest une sous-groupe deSm.

5.a. Montrer qu'il existe deux sous-groupes G1 et G2 de S2m isomorphes à Get tels que G1 (resp. G2) xe les élémentsm+ 1, m+ 2, . . . ,2m(resp.1,2, . . . , m). Montrer queG1∩G2={eS_2m}et que les éléments deG1commutent avec les éléments deG2.

5.b. On noteS2oGle sous-groupe deS2mengendré parG1,G2et la permutationτ∈S2mdénie parτ(i) =i+m sii≤metτ(i) =i−msii > m. Montrer queS2oGest le produit semi-direct(G1×G2)oS2pour un automorphisme S2→Aut(G1×G2)qu'on explicitera. En déduire que l'ordre deS2oGet 2n² oùnest l'ordre deG.

5.c. Montrer que si2 ne divise pas ¹₂ ^2m_m

(*) et siGest un2-Sylow deSm, alorsS2oGest un2-Sylow deS2m. Montrer quem= 2^k vérie (*).

5.d. Construire par récurrence surkun2-Sylow deS₂k. Quel est son ordre ?

Mots-clés : classe de conjugaison, centre,p-groupe, produit direct, produit semi-direct, sous-groupe de Sylow.