Th´eor`eme de Sarkowski

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Th´eor`eme de Sarkowski

CamilleFrancini- LauraGay d’apr`es Simon Andr´e - QuentinGarchery

R´ef´erence :Francinou-Gianella-Nicolas: Oraux X-ENS : Analyse 1 Lecons : 204, 223, 226.

SoientI un segment deRet f :I→I une application continue.

Lemme 1

Si Kest un segment inclus dans f(I) alors il existe un segmentLinclus dans I tel queK=f(L)

Preuve :

On poseK= [α, β]. CommeK⊂f(I), il existe (a, b)∈I² tels queα=f(a) etβ=f(b). Siα=βalorsK={α}et le singletonL={a}convient.

On suppose doncα6=βeta6=b. On supposea < b.

Idée :prendre dans [a, b] un antécédent ude α et un antécédentv de β tels qu’entreu etv il n’y ait plus d’autres antécédents deαni deβ.

On considère pour celaA={x∈[a, b]/ f(x) =β}. C’est un fermé non vide (b∈A) et minoré para. Soitv= min{x∈A}.

On af(v) =βet pour toutt∈[a, v],f(t)< β d’apr`es le TVI (carf(a) =α < β).

Soit alorsB={x∈[a, v]/ f(x) =α}. Par continuité def, c’est un fermé non vide majoré parv. Soitu= max{x∈B}.

On a alorsu < vetf([u, v]) = [α, β]. On prendL= [u, v].

Le casa > bse traite avecu= max{x∈[b, a]/ f(x) =β}etv= min{x∈[u, a]/ f(x) =α}

Lemme 2

S’il existensegmentsI0, I1, . . . , I_n−1 inclus dansI tels que :

I0⊂f(In−1)

Ik+1⊂f(Ik) pour 06k6n−1 Alorsfⁿ=f◦ · · · ◦f a un point fixex0tel que f^k(x0)∈Ik pour toutk∈J0, n−1K.

Preuve :

Casn= 1 On a par hypoth`ese un segmentI0= [a, b] tel queI0⊂f(I0).

En particulier, il existeα, β∈[a, b] tel quef(α) =aetf(β) =b. La fonctiong(x) =f(x)−xv´erifieg(β)>0 et g(α)60 et elle est continue donc s’annule d’apr`es le TVI. Doncf a un point fixe dansI0.

Casn= 2 On aI0⊂f(I1) etI1⊂f(I0), doncI0⊂f²(I0).

Par le cas n= 1, f² a donc un point fixe x0 dansI0, mais a priori on ne sait pas si f(x0) ∈I1. C’est là que le Lemme 1 intervient : il existeJ1 ⊂I0 tel queI1 =f(J1). On a doncJ1 ⊂I0 ⊂f(I1) =f²(J1). Par le même argument que précédemment, il existex0 ∈J1 tel que f²(x0) =x0, et cette fois on peut conclure : x0 ∈J1 donc f(x0)∈I1.

Cas généraln >3 On procède de la même manière en itérant.

Comme on a I1⊂f(I0), on choisitJ1⊂I0 tel quef(J1) =I1. On aI2⊂f(I1) =f²(J1). On choisitJ2 ⊂J1 tel quef²(J2) =I2. De proche en proche, on construit ainsi une suite finie de segments

Jn−1⊂Jn−2⊂...⊂J1⊂I0

tels quef^k(Jk) =Ik pour 16k6n−1.

On a alorsI0⊂f(In−1) =fⁿ(Jn−1). D’apr`es leLemme 1, il existe doncJn⊂Jn−1 tel queI0=fⁿ(Jn).

CommeJn⊂fⁿ(Jn), il existe donc un point fixex0defⁿdansJn. Par construction des intervallesJk,f^k(x0)∈Ik

pour toutk∈J0, n−1K.

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D´efinition

On dit quex∈I est de p´eriode n>2 si fⁿ(x) =xet si f^k(x)6=xpourk∈ {1, ..., n−1}. On dit quexest de p´eriode 1 si c’est un point fixe def.

Th´eor`eme (Sarkowski-1964)

On suppose qu’il existe un point de p´eriode 3. Alors pour tout entiern>1, il existe un point de p´erioden.

Preuve :

Pour simplifier si I1 et I2 sont tels queI1 ⊂ f(I2), on noteraI1 → I2. Le Lemme 2 nous dit que si on a un cycle I0→In−1→ · · · →I1→I0alorsfⁿadmet un point fixex0 dansI0 vérifiantf^k(x0)∈Ik pour toutk∈J0, n−1K. Par hypothèse f admet un point 3-périodique a. On pose b = f(a) et c = f(b) = f²(a). Alors b et c sont aussi 3- périodiques et quitte à remplaceraparbetcon prenda= min(a, b, c).

•On supposea < b < c

On poseI0 = [a, b] etI1= [b, c]. Commef(a) =betf(b) =c,I1⊂f(I0) ieI1 →I0. De mˆeme, on aI0⊂f(I1) = [a, c], doncI0→I1 etI1→I1. La derni`ere inclusion montre quef admet un point fixe dansI1.

De mˆeme, le cycleI0→I1→I0 montre quef² a un point fixex0 dansI0 tel quef(x0)∈I1. Commex06=b,x0 ∈/I1et doncx06=f(x0). Ainsi,x0 est 2-p´eriodique.

Soit maintenantn>4. On ´ecrit le cycleI0→I1→ · · · →I1

| {z }

n−1 fois

→I0. D’apr`es leLemme 2,fⁿadmet un point fixex∈I0

tel quef^k(x)∈I1 pourk < n.xne peut être égal àb(sinon∃k < ntel quef^k(x) =a /∈I1) et doncxestn-périodique.

•Sia < c < b

On pose I0 = [a, c] etI1 = [c, b]. On a cette foisI1 →I0,I0 →I0 etI0 →I1. On reprend le même raisonnement que précédemment en échangeantI0 etI1.

On a donc montr´e dans tous les cas quef admet des pointsn-p´eriodiques pour toutn>1.

Notes :

X Il est indispensable que I soit stable par f, comme on le voit avec le contre-exemple suivant : on prend I = [0, a]⊂[0,1[ etf :I →R:x7→ 1

1−x. On constate quef³(x) =xpour toutx dans l’intervalleI, donc tout point deI est de p´eriode au plus 3, donc il n’existe aucun point de p´eriode plus grande que 3.

XLe théorème n’est plus vrai en dimension supérieure. Par exemple, la rotation d’angle 2π

3 n’a que des points de p´eriode 3 sur le cercle unit´e.

X Pour construire une fonction périodique de période 3, il suffit de faire une interpolation de Lagrange pour construire un polynômeP vérifiant par exemple P(0) = 1,P(1) = 2,P(2) = 0.

♣Oleksandr Mykolaiovych Sharkovsky(1936 - ) est un mathématicien ukrainien principalement connu pour ce théorème. Il est à la tête du département de théorie des systèmes dynamiques de l’institut mathématique de l’académie national des sciences d’Ukraine.

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