Séries de nombres réels ou complexes. Comportement des restes ou des sommes partielles des séries numériques.

Séries de nombres réels ou complexes. Comportement des restes ou des sommes partielles des séries numériques.

Kevin Quirin et Pierre Vigué 2011-2012

Dans la suite, on prendK=RouC.

1 Définitions, séries à termes positifs

1.1 Définitions

Définition. Soit(u_n)_n∈K^N. La série de terme général u_n est la suite(S_n)_n définie par

∀n∈N, S_n =

n

X

k=0

u_k.

On note cette série Pu_n.

S_n est la somme partielle d’indicen.

On dit quePu_n converge si la suite(S_n)_n converge(sinon, on dit qu’ellediverge), et dans le cas de la convergence,limS_n est la somme de la série, notée

∞

X

n=0

u_n. Si P

un converge, on définit pour tout nlereste d’indice npar Rn=

∞

X

n=0

un−Sn =

∞

X

k=n+1

uk

Exemple Soitq ∈K. La série Pqⁿ est appelée série géométrique, qui convergesi et seulement si

|q|<1.

Dans ce cas,

∞

X

n=0

qⁿ= 1 1−q. Définition. Une série P

un est dite de Cauchysi(Sn)n est une suite de Cauchy.

Proposition. La série Pu_n converge si et seulement si

∀ε >0, ∃N ∈N, ∀n>N, ∀p∈N,

n+p

X

k=n

uk

< ε.

Proposition. Si Pun converge, alorslimun= 0.

Définition. Une série Pun est dite absolument convergente siP|un| converge.

Théorème. Une série absolument convergente est convergente.

1.2 Comparaison

Dans la suite,(u_n)_n,(v_n)_n∈(R+)^N.

Théorème. Pu_n convergesi et seulement si(S_n)est majorée.

Théorème. On a les résultats suivants : – Si ∀n∈N, un 6vn, alors

Xvn converge

⇒X

un converge – Si u_n =O(v_n), alors

Xvn converge )⇒(X

un converge Théorème. On suppose queun∼vn. Alors :

– Si Pu_n converge, alorsPv_n aussi et les restes des séries sont équivalents.

– Si Pu_n diverge, alorsPv_n aussi et les sommes partielles sont équivalentes.

Application : formule de Stirling

n!∼√

2πnⁿ⁺¹²e⁻ⁿ.

Exemple: développement asymptotique de la suite définie parun+1= sinun etu0∈(0,^π₂).

1.3 Critères usuels

Dans ce paragraphe, on supposeu_n >0pour toutn.

Proposition (Règle de d’Alembert). On suppose limun+1

un

existe et vaut λ∈[0,∞].

– si λ <1, alorsP

un converge.

– si λ >1, alorsP

un diverge.

– si λ= 1⁺, alorsP

un diverge.

Proposition (Règle de Cauchy). On suppose lim√ⁿ

un existe et vaut λ∈[0,∞].

– si λ <1, alorsPun converge.

– si λ >1, alorsP

un diverge.

– si λ= 1⁺, alorsP

un diverge.

Proposition (Règle de Raab-Duhamel). On suppose que u_n+1

un

= 1

1 + ^a_n+O _n¹α

.

Sia >1 etα >1, alors P

un converge.

1.4 Comparaison à des séries usuelles

Proposition (Séries de Riemann). Soitα∈R. AlorsP

n^−α converge si et seulement siα >1.

Proposition (Séries de Bertrand). Soient α, β ∈ R. Alors X 1

n^αlog^βn converge si et seulement si (α >1) ou(α= 1etβ >1).

La combinaison des résultats du 1.2 et sur les séries géométriques, de Riemann et de Bertrand permet de traiter de nombreux exemples.

Exemples: – Xsin²n

n² converge.

– La série harmoniqueX1

n diverge.

2 Cas général

On revient maintenant au cas (u_n)_n∈K^N.

2.1 La transformation d’Abel

Principe de la méthode :

Soitun=αnvn. On noteSn=Pn

k=0vk. Alors

n

X

k=0

uk =

n−1

X

k=0

(αk−αk+1)Sk+αnSn. Théorème (Règle d’Abel). Avec les notations précédentes :

si(αn)est positive, décroissante, tend vers 0, et (Sn)bornée, alorsP

un converge.

Application : Critère des séries alternées

Soit(an)∈(R+)^N décroissante et tendant vers 0. AlorsP

(−1)ⁿan converge, et

∞

X

k=n+1

(−1)^kak

6an+1.

Exemple:Xe^inθ

n converge pour toutθ∈R\2πZ.

2.2 Ordre des termes

Définition. On dit queP

un estcommutativement convergenteet de somme S si pour toute bijection ϕ : N→N,P

uϕ(n) converge et a pour sommeS.

Théorème. Sont équivalentes : – Pu_n converge absolument – Pu_n converge commutativement.

Théorème (de Riemann). SoitPu_n une série réelle semi-convergente, et soitα∈R. Alors il existe une bijectionϕ : N→Ntelle que Pu_ϕ(n) converge, et

∞

X

n=0

uϕ(n)=α.

Théorème (Sommation par paquets). Soit (I_α)_α∈A une partition de Net Pu_n une série commutati- vement convergente. Alors ∀α∈A, P

n∈Iαu_n est commutativement convergente, vers S_α, et P

α∈AS_α converge commutativement avec

∞

X

n=0

u_n=X

α∈A

X

n∈Iα

u_n

Théorème. Si une série converge, alors toute série obtenue par regroupement de termes consécutifs converge aussi vers la même limite. Pour une série à termes positifs, toute série obtenue par regroupement de termes consécutifs est de même nature.

Exemple: on notepn len^ème entier naturel non nul dont l’écriture décimale ne comporte pas de 9.

AlorsP 1

pn converge.

2.3 Produit de convolution

Théorème (de Mertens). Soit Pun une série absolument convergente de somme U, et soitPvn une série convergente de sommeV.

Alors la série Pwn, oùwn=Pn

i=0uiv_n−i, converge, et a pour somme U V. Exemple: contre-exemple de Cauchy Avecu_n=v_n= (−1)ⁿ

√n+ 1, la série produit diverge.

2.4 Séries doubles

Théorème. Soit(u_p,q)_(p,q)∈N2 une suite à double entrée. Sont équivalentes : (i) Pour tout q∈N,P

pu_p,q converge abolument etX

q

∞

X

p=0

|u_p,q|

!

converge

(ii) Pour toutp∈N,P

qup,q converge abolument etX

p

∞

X

q=0

|up,q|

!

converge Dans ce cas,

∞

X

p=0

∞

X

q=0

up,q =

∞

X

q=0

∞

X

p=0

up,q.

Exemple:

∞

X

k=2

(ζ(k)−1) = 1,

oùζest la fonction de Riemann

ζ(k) =

∞

X

n=1

n^−k.

3 Utilisation de fonctions

3.1 Utilisation d’une intégrale

Théorème. Soit f : R+ → R+ décroissante, continue par morceaux. Alors σf(n) et R∞

0 f(t)dt ont même nature.

Exemple: On a :

E





10⁹

X

n=1



= 2997.

Théorème. Soientx0>0etf : [x0,∞)→C de classeC¹. Si Z ∞

x0

|f⁰(t)|dt converge, alorsPf(n)et Z ∞

x₀

f(t)dt sont de même nature.

Application : On peut prolongerζ : {s∈C| <(s)} →Cà {s∈C| <(s)>0}\{1}.

3.2 Séries entières

Définition. On appellesérie entièretoute série de fonctions de la formeP

nanzⁿ, oùz est une variable complexe, et(an)n∈C^N.

On appelle rayon de convergencele nombre

R= sup{r>0 | ∃M >0, ∀n∈N, |anrⁿ|< M}.

Théorème (d’Abel angulaire). SoitP

anzⁿ une série entière de rayon de convergenceR>1, telle que Pa_n converge. On notef la somme de cette série entière sur le disque unité. Pourθ₀∈[0,^π₂), on pose

∆θ₀ ={z∈C, |z|<1 | ∃ρ >0, ∃ϕ∈[−θ0, θ0], z= 1−ρe^iϕ. Alors

z→1,z∈∆lim _θ0f(z) =

∞

X

n=0

a_n.

Exemple: On a

∞

X

n=0

(−1)ⁿ

2n+ 1 = lim

x→1,x<1arctanx= π 4. Théorème (taubérien faible). SoitP

anzⁿ une série entière de rayon de convergenceR>1, et soitf la somme de cette série sur le disque unité. On suppose :

∃S ∈C, lim

x→1,x<1f(x) =S eta_n=o 1

n

.

AlorsPa_n converge, vers S.

3.3 Séries de Fourier

Définition. Soitf : R→Cune fonction2π-périodique, continue par morceaux. On appellecoefficients de Fourierdef les nombres :

∀n∈Z, cn(f) = 1 2π

Z 2π 0

f(t)e^−intdt.

On appelle série de Fourierassociée à f la sérieP

n∈Zc_n(f)e^inx.

Théorème(de Dirichlet). Sif est2π-périodique etC¹par morceaux, alors pour toutx∈R,

∞

X

n=−∞

c_n(f)e^inx

converge vers f(x⁺) +f(x⁻)

2 .

Application : Formule d’Euler

On définit les nombres de Bernoullib_n par z e^z−1 =

∞

X

n=0

bn

n!zⁿ. On a alors :

X

n>1

1

n^2k = (−1)^k−1(2π)^2k 2(2n)!b2k.

Théorème(Formule de Parseval).Soitf : R→Cune fonction2π-périodique et continue par morceaux.

AlorsX

n∈Z

|cn(f)|² converge, et

X

n∈Z

|cn(f)|²= 1 2π

Z 2π 0

|f(t)|²dt.

Exemple: on peut retrouver avec la formule de Parseval :

∞

X

n=1

1 n⁴ = π⁴

90.

Théorème(Formule sommatoire de Poisson). Soitf ∈ S(R). On pose pour toutn∈Z,fˆ(n) = Z

R

f(t)e^−2iπntdt.

Alors

X

n∈Z

f(n) =X

n∈Z

fˆ(n).

Application : Pour touts >0 : X

n∈Z

e^−πn2s=s^−1/2X

n∈Z

e^−πk2/s.