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ln 3 ln 3 1 1 d e 3 e

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Academic year: 2022

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Texte intégral

(1)

Corrigés d’exercices

Version du 11/03/2014

Les exercices du livre corrigés dans ce document sont les suivants :

Page 164 : N°21, 22, 24 Page 174 : N°90

Page 169 : N°65 Page 1 : N°

Page 170 : N°72 Page 1 : N°

Page 173 : N°86 Page 1 : N°

N°21 page 164

( )2

ln 2

a= e = (en utilisant directement ∀ ∈x \, ln( )ex =x).

( )3

ln 3

b= e = − (idem).

ln 5 5

c=e = (en utilisant directement ∀ ∈x \*+,elnx =x).

ln 3 ln 3

1 1

d e 3 e

= = = (idem) ou

ln1

ln 3 3 1

d =e =e = 3 (en utilisant d’abord

* 1

, ln ln

x x

+ x

∀ ∈\ = ).

( )2

2ln 7 ln 7 72 49

e=e = e = = ou e=e2ln 7 =eln 72 =eln 49 = 49 .

( ) 3

3ln 2 ln 2 3

3

1 1

2 2 8

f =e = e = = = ou 3ln 2 ln 23 3 13 1

2 2 8

f =e =e = = = .

N°22 page 164

a. lnx=3

On résout cette équation dans \*+ (domaine de définition de la fonction logarithme népérien).

On a : lnx= ⇔3 elnx =e3⇔ =x e3 qui est strictement positif.

{ }e3

S = b. 2 lnx+ =6 0

(2)

On résout cette équation dans \*+ (domaine de définition de la fonction logarithme népérien).

On a : 2 lnx+ = ⇔6 0 lnx= − ⇔3 elnx =e3⇔ =x e3 qui est strictement positif.

{ }e3

S =

c. 1 4 ln x=lnx9

On résout cette équation dans \*+ (domaine de définition de la fonction logarithme népérien).

On a : 1 4 ln x=lnx− ⇔9 5 lnx=10lnx= ⇔2 elnx =e2⇔ =x e2 qui est strictement positif.

{ }e2

S =

d. ( )lnx 2=1

On résout cette équation dans \*+ (domaine de définition de la fonction logarithme népérien).

On a : ( )lnx 2 = ⇔1 ( )lnx 2− = ⇔1 0 (lnx1 ln)( x+ = ⇔1) 0 lnx− =1 0 ou lnx+ =1 0.

On a alors :

lnx− = ⇔1 0 lnx= ⇔ =1 x e.

ln 1 1

lnx 1 0 lnx 1 e x e x

e + = ⇔ = − ⇔ = ⇔ = .

1;e e

= ⎨

S

N°24 page 164

a. ln(x+2)=ln 2

On doit avoir x+ >2 0, c'est-à-dire x> −2. On résout donc cette équation dans l’intervalle ]− + ∞2 ; [.

Pour tout x strictement supérieur à 2 , on a : ln(x+2)=ln 2⇔ + = ⇔ =x 2 2 x 0 qui

appartient bien à l’intervalle ]− + ∞2 ; [.

{ }0 S =

(3)

b. ln 2( x− =5) 1

On doit avoir 2x− >5 0, c'est-à-dire 5

x> 2 . On résout donc cette équation dans l’intervalle 5

2;

+ ∞

.

Pour tout x strictement supérieur à 5

2 , on a :

( ) ( ) 5

ln 2 5 1 ln 2 5 ln 2 5

2

x = ⇔ x = e x− = ⇔ =e x e+ qui appartient bien à l’intervalle 5

2;

+ ∞

.

5 2 e+

= ⎨

S

c. 4 ln 1( x)=8

On doit avoir 1− >x 0, c'est-à-dire x<1 . On résout donc cette équation dans l’intervalle

]−∞; 1[.

Pour tout x strictement inférieur à 1, on a :

( ) ( ) ( ) 2 2 2

4 ln 1x = ⇔8 ln 1x = ⇔2 ln 1x =lne ⇔ − =1 x e ⇔ = −x 1 e qui appartient bien à l’intervalle ]−∞; 1[.

{1 e2}

S = −

d. ln 3( x+ =8) lnx

On doit avoir 3x+ >8 0 et x>0, c'est-à-dire 3 8 0 0 x

x + >

>

.

Or :

3 8 0 8

3 0

0 0

x x

x x

x + > > −

⇔ >

>

⎪ >

On résout donc cette équation dans l’intervalle \*+. Pour tout x strictement supérieur à 0, on a :

( )

ln 3x+ =8 lnx3x+ = ⇔8 x 2x= − ⇔ = −8 x 4 qui n’est pas strictement positif.

S = ∅

N°65 page 169

(4)

a. Le premier terme de la suite ( )un est strictement positif et sa raison est strictement supérieure à 1. On en conclut immédiatement que la suite ( )un est (strictement) croissante.

On peut redétailler …

Pour tout entier naturel n, on a : 0 4 5 1, 2

n n

un = ×u q = × .

Il vient donc : 1 1 ( )

4 4 4 4

1, 2 1, 2 1, 2 1, 2 1 1, 2 0, 2

5 5 5 5

n n n n

n n

u + u = × + − × = × × − = × × et on a immédiatement : 4

1, 2 0, 2 0 5

× n× > . D’où le résultat.

La suite ( )un est (strictement) croissante.

b. On a : 4 5

100 1, 2 100 1, 2 100 1, 2 125 ln1, 2 ln125

5 4

n n n

un ⇔ × × ⇔ n .

Comme 1, 2 1> , on a ln1, 2>0 d’où : ln125 ln1, 2 ln125

ln1, 2

n ⇔ ≥n .

Comme ln125 26, 5

ln1, 2 on aura un100 pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 27.

n 100

u pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 27.

N°72 page 170

On pose X =lnx.

On a donc, en considérant les exponentielles : eX =elnx =x. Alors :

( )ln 2 2

x eX

x = X puis :

( )2 2

lim lim

ln

X

x X

x e

x X

→+∞ = →+∞ .

On ne peut conclure directement, la limite classique : lim

X X n

e

→+∞ X = +∞, pour tout n entier naturel, n’étant officiellement plus au programme.

Classiquement, le dénominateur étant un carré, on fait apparaître un carré au numérateur :

2

2 2

2 2

2 2 2 2 2

2 2 2

1 2 4

2 2

X

X X X X

X e

e e e e e

X X

X X X X

×

= = = = × = ×

(5)

On a alors :

( )

composition 2 2

composition 2

2

lim 2

lim 1

lim croissance comparée lim

2 4

1 2 lim 4

X

X X

t X

t X

X

e

X e

e t X

α α

→+∞

→+∞

→+∞ →+∞

→+∞

= +∞ ⎪⎪ = +∞ = +∞

= +∞ ⎪⎭

= +∞⎪

On a donc :

( )

2 2

2 2

lim lim lim 1

ln 4

2

X X

x X X

x e e

X X

→+∞ x →+∞ →+∞

= = = +∞

.

( )2

lim

x ln x

→+∞ x = +∞

N°86 page 173

1. VRAI

Pour tout entier naturel n non nul, on a :

( )1 1n ln 1 1( ) 1 ln 2 ln 2

fn = × + = × =

On en déduite donc que pour tout entier naturel non nul n, le point A 1; ln 2 appartient à ( )

la courbe Cn.

2. VRAI

On a d’abord : u1= f1( )2 = ×21 ln 1 2( + )=2 ln 3. Puis : pour tout entier naturel non nul n, on a :

( )2 2n ln 3 2 ln 3 2n1 1 2n1

n n

u = f = × = × = ×u

On en déduit immédiatement que la suite ( )un est une suite géométrique de raison q=2 et de premier terme u1=2 ln 3.

(6)

3. VRAI

Pour tout entier naturel non nul n, on a :

( ) 1 ( ) 1

' ln 1

1

n n

f n x n x x x

x

= × + + ×

+

D’où : ( ) 1 ( ) N

0 0

' 0 0 ln 0 1 0 1 0

0 1

n n

f n n

= =

= × × + + × =

+ .

Ainsi, le coefficient directeur de la tangente au point d’abscisse 0 est toujours nul : la tangente est horizontale.

4. FAUX

Pour tout entier naturel non nul n et tout x dans l’intervalle [ ]0 ; 1 , on a :

( ) ( ) 1 ( ) ( ) ( ) ( )

1 n ln 1 nln 1 nln 1 1

n n

f + x f x =x + x+ −x x+ =x x+ × −x

x≥ ⇒0 xn 0.

x≥ ⇔ + ≥ ⇔0 1 x 1 ln 1( +x)ln1ln 1( +x)0.

x≤ ⇔ − ≤1 x 1 0.

En définitive, pour tout x dans l’intervalle [ ]0 ; 1 , on a : xnln(x+ × − ≤1) (x 1) 0, soit ( ) ( )

1 0

n n

f + x f x .

N°90 page 174

1. Soit a un réel quelconque fixé.

Pour tout réel x strictement positif, on a :

( ) (ln ) 1

fa x x a

= + ×x D’où :

( )

( )

0 somme

0

0 produit

0 0

0 0

0

0 0

lim ln

lim ln

lim 1

lim ln lim1

x x

x x x

x x

x

x x

x

x a a a

x a x x

>

>

>

>

>

= −∞

+ = −∞⎪

= + × = −∞

= +∞⎪

(7)

0 ( )

0

lim a

x x

f x

>

= −∞

On a aussi : a( ) ln

x a f x

x x

= + . D’où :

( ) somme

lim ln 0 croisssance comparée

lim ln 0

lim 0

x

x x

x

x a x

a x x

x

→+∞

→+∞

→+∞

= = ⎪⎪ + =

⎪⎭

( )

lim a 0

x f x

→+∞ =

2. La fonction f est dérivable sur \*+ comme rapport de deux fonctions dérivables sur cet intervalle et pour tout réel strictement positif x, on a :

( ) ( )

2 2

1 ln 1

ln 1

a'

x x a

x x a f x

x x

× − + × − +

= =

( )

*

2

ln 1

, a' x a

x f x

+ x

− +

∀ ∈\ =

3. Comme x> ⇒0 x2>0, le signe de fa'( )x est celui de lnx a− +1. On a : lnx− + ≥ ⇔a 1 0 lnx≤ − + ⇔ ≤a 1 x e− +a1.

On en déduit immédiatement :

Pour tout réel x de 0 ;e− +a1, on a : fa'( )x 0 et la fonction fa est croissante.

Pour tout réel x de e− +a1;+ ∞, on a : fa'( )x 0 et la fonction fa est croissante.

On en déduit immédiatement que la fonction fa admet un maximum en xa =e− +a 1 et on

a : ( ) ( 1) 1

1 1 1

ln a 1 1 a

a a a a a

e a a a

y f x e

e e e

− +

− + − + − +

+ − + +

= = = = = .

La fonction fa admet un maximum en xa=e− +a1 et on a : ya= f x( )a =ea1.

4. Comme on l’a vu précédemment, on a : a ( )a 1a1 1 a

y f x

e− + x

= = = . Ainsi, le point

( a; a)

A x y appartient à la courbe représentative de la fonction inverse.

(8)

Le point A x( a;ya) appartient à la courbe représentative de la fonction inverse.

A titre de complément, nous fournissons ci-dessous les courbes représentatives de quelques fonctions fa pour 1

a= −2, 0, 1 et 2. Pour une valeur de a donnée, le sommet de la courbe est noté Sa. En bleu, on a fait apparaître la partie de la courbe représentative de la fonction inverse correspondant aux abscisses strictement positives.

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