ln 3 ln 3 1 1 d e 3 e

(1)

Corrigés d’exercices

Version du 11/03/2014

Les exercices du livre corrigés dans ce document sont les suivants :

Page 164 : N°21, 22, 24 Page 174 : N°90

Page 169 : N°65 Page 1 : N°

Page 170 : N°72 Page 1 : N°

Page 173 : N°86 Page 1 : N°

N°21 page 164

( )²

ln 2

a= e = (en utilisant directement ^{∀ ∈}^x ^\^{, ln}( )^e^x ⁼^x^).

( )³

ln 3

b= e⁻ = − (idem).

ln 5 5

c=e = (en utilisant directement ∀ ∈x \^*₊,e^ln^x =x).

ln 3 ln 3

1 1

d e 3 e

= − = = (idem) ou

ln1

ln 3 3 1

d =e⁻ =e = 3 (en utilisant d’abord

* 1

, ln ln

x x

+ x

∀ ∈\ − = ).

( )²

2ln 7 ln 7 72 49

e=e = e = = ou e=e^{2ln 7} =e^{ln 7}² =e^{ln 49} = 49 .

( ) ³

3ln 2 ln 2 3

3

1 1

2 2 8

f =e⁻ = e ⁻ = ⁻ = = ou ^{3ln 2} ^{ln 2}³ ³ 1₃ 1

2 2 8

f =e⁻ =e ⁻ = ⁻ = = .

N°22 page 164

a. lnx=3

On résout cette équation dans \^*₊ (domaine de définition de la fonction logarithme népérien).

On a : lnx= ⇔3 e^ln^x =e³⇔ =x e³ qui est strictement positif.

{ }^e³

S = b. 2 lnx+ =6 0

(2)

On a : 2 lnx+ = ⇔6 0 lnx= − ⇔3 e^ln^x =e⁻³⇔ =x e⁻³ qui est strictement positif.

{ }^e⁻³

S =

c. 1 4 ln− x=lnx−9

On a : 1 4 ln− x=lnx− ⇔9 5 lnx=10⇔lnx= ⇔2 e^ln^x =e²⇔ =x e² qui est strictement positif.

{ }^e²

S =

d. ( )^ln^x ²⁼¹

On a : ( )^ln^x ² ^{= ⇔}¹ ( )^ln^x ²^{− = ⇔}¹ ⁰ (^ln^x⁻^{1 ln})( ^x^{+ = ⇔}¹) ⁰ ^ln^x^{− =}¹ ^{0 ou ln}^x^{+ =}¹ ⁰^.

On a alors :

• lnx− = ⇔1 0 lnx= ⇔ =1 x e.

• ^ln ¹ 1

lnx 1 0 lnx 1 e ^x e x

e + = ⇔ = − ⇔ = − ⇔ = .

1;e e

⎧ ⎫

= ⎨ ⎬

⎩ ⎭

S

N°24 page 164

a. ^ln(^x⁺²)⁼^{ln 2}

On doit avoir x+ >2 0, c'est-à-dire x> −2. On résout donc cette équation dans l’intervalle ]^{− + ∞}^{2 ;} [^.

Pour tout x strictement supérieur à 2− , on a : ^ln(^x⁺²)⁼^{ln 2}^{⇔ + = ⇔ =}^x ² ² ^x ⁰^qui

appartient bien à l’intervalle ]^{− + ∞}^{2 ;} [^.

{ }⁰ S =

(3)

b. ^{ln 2}( ^x^{− =}⁵) ¹

On doit avoir 2x− >5 0, c'est-à-dire 5

x> 2 . On résout donc cette équation dans l’intervalle 5

2;

⎤ + ∞⎡

⎥ ⎢

⎦ ⎣.

Pour tout x strictement supérieur à 5

2 , on a :

( ) ( ) ⁵

ln 2 5 1 ln 2 5 ln 2 5

2

x− = ⇔ x− = e⇔ x− = ⇔ =e x e+ qui appartient bien à l’intervalle 5

2;

⎤ + ∞⎡

⎥ ⎢

⎦ ⎣.

5 2 e+

⎧ ⎫

= ⎨ ⎬

⎩ ⎭

S

c. ^{4 ln 1}( ⁻^x)⁼⁸

On doit avoir 1− >x 0, c'est-à-dire x<1 . On résout donc cette équation dans l’intervalle

]^−∞^{; 1}[^.

Pour tout x strictement inférieur à 1, on a :

( ) ( ) ( ) ² ² ²

4 ln 1−x = ⇔8 ln 1−x = ⇔2 ln 1−x =lne ⇔ − =1 x e ⇔ = −x 1 e qui appartient bien à l’intervalle ]^−∞^{; 1}[^.

{¹ ^e²}

S = −

d. ^{ln 3}( ^x^{+ =}⁸) ^ln^x

On doit avoir 3x+ >8 0 et x>0, c'est-à-dire 3 8 0 0 x

x + >

⎧⎨ >

⎩ .

Or :

3 8 0 8

3 0

0 0

x x

x + > ⎧ > −

⎧ ⇔⎪ ⇔ >

⎨ > ⎨

⎩ ⎪ >⎩

On résout donc cette équation dans l’intervalle \^*₊. Pour tout x strictement supérieur à 0, on a :

( )

ln 3x+ =8 lnx⇔3x+ = ⇔8 x 2x= − ⇔ = −8 x 4 qui n’est pas strictement positif.

S = ∅

N°65 page 169

(4)

a. Le premier terme de la suite ( )un est strictement positif et sa raison est strictement supérieure à 1. On en conclut immédiatement que la suite ( )un est (strictement) croissante.

On peut redétailler …

Pour tout entier naturel n, on a : ₀ 4 5 1, 2

n n

un = ×u q = × .

Il vient donc : 1 ¹ ( )

4 4 4 4

1, 2 1, 2 1, 2 1, 2 1 1, 2 0, 2

5 5 5 5

n n n n

n n

u ₊ −u = × ⁺ − × = × × − = × × et on a immédiatement : 4

1, 2 0, 2 0 5

× n× > . D’où le résultat.

La suite ( )un est (strictement) croissante.

b. On a : 4 5

100 1, 2 100 1, 2 100 1, 2 125 ln1, 2 ln125

5 4

n n n

un≥ ⇔ × ≥ ⇔ ≥ × ⇔ ≥ ⇔n ≥ .

Comme 1, 2 1> , on a ln1, 2>0 d’où : ln125 ln1, 2 ln125

ln1, 2

n ≥ ⇔ ≥n .

Comme ln125 26, 5

ln1, 2 on aura u_n≥100 pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 27.

n 100

u ≥ pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 27.

N°72 page 170

On pose X =lnx.

On a donc, en considérant les exponentielles : e^X =e^ln^x =x. Alors :

( )^ln ² ²

x eX

x = X puis :

( )² ²

lim lim

ln

X

x X

x e

x X

→+∞ = →+∞ .

On ne peut conclure directement, la limite classique : lim

X X n

e

→+∞ X = +∞, pour tout n entier naturel, n’étant officiellement plus au programme.

Classiquement, le dénominateur étant un carré, on fait apparaître un carré au numérateur :

2

2 2

2 2 2 2 2

2 2 2

1 2 4

2 2

X

X X X X

X e

e e e e e

X X

X X X X

× ⎛⎜⎝ ⎞⎟⎠ ⎛⎜ ⎞⎟ ⎛⎜ ⎞⎟ ⎛⎜ ⎞⎟

= = =⎜⎜⎝ ⎟⎟⎠ =⎜⎜⎝ × ⎟⎟⎠ = ×⎜⎜⎝ ⎟⎟⎠

(5)

On a alors :

( )

composition 2 2

composition 2

2

lim 2

lim 1

lim croissance comparée lim

2 4

1 2 lim 4

X

X X

t X

X

e

X e

e t X

α α

→+∞

→+∞ →+∞

→+∞

⎫ ⎫

= +∞ ⎪⎪⎬⎪ ⇒ = +∞⎪⎪⎪ ⇒ ⎛⎜ ⎞⎟ = +∞

= +∞ ⎪⎭ ⎬⎪ ⎜⎜ ⎟⎟

⎝ ⎠

= +∞⎪⎪

⎭

On a donc :

( )

2 2

lim lim lim 1

ln 4

2

X X

x X X

x e e

X X

→+∞ x →+∞ →+∞

⎛ ⎞

⎜ ⎟

= = ⎜ ⎟ = +∞

⎜ ⎟

⎝ ⎠

.

( )²

lim

x ln x

→+∞ x = +∞

N°86 page 173

1. VRAI

Pour tout entier naturel n non nul, on a :

( )¹ ¹ⁿ ^{ln 1 1}( ) ^{1 ln 2} ^{ln 2}

fn = × + = × =

On en déduite donc que pour tout entier naturel non nul n, le point A 1; ln 2 appartient à ( )

la courbe C_n^.

2. VRAI

On a d’abord : u1= f1( )2 = ×2¹ ln 1 2( + )=2 ln 3. Puis : pour tout entier naturel non nul n, on a :

( )2 2ⁿ ln 3 2 ln 3 2ⁿ¹ 1 2ⁿ¹

n n

u = f = × = × ⁻ = ×u ⁻

On en déduit immédiatement que la suite ( )un est une suite géométrique de raison q=2 et de premier terme u₁=2 ln 3.

(6)

3. VRAI

Pour tout entier naturel non nul n, on a :

( ) ¹ ( ) ¹

' ln 1

1

n n

f n x n x x x

x

= − × + + ×

+

D’où : ( ) ¹ ( ) _N

0 0

' 0 0 ln 0 1 0 1 0

0 1

n n

f n n ⁻

= =

= × × + + × =

+ .

Ainsi, le coefficient directeur de la tangente au point d’abscisse 0 est toujours nul : la tangente est horizontale.

4. FAUX

Pour tout entier naturel non nul n et tout x dans l’intervalle [ ]0 ; 1 , on a :

( ) ( ) ¹ ( ) ( ) ( ) ( )

1 ⁿ ln 1 ⁿln 1 ⁿln 1 1

n n

f ₊ x − f x =x ⁺ x+ −x x+ =x x+ × −x

• x≥ ⇒0 xⁿ ≥0.

• ^x^{≥ ⇔ + ≥ ⇔}⁰ ¹ ^x ¹ ^{ln 1}( ⁺^x)^≥^ln1^⇔^{ln 1}( ⁺^x)^≥⁰^.

• x≤ ⇔ − ≤1 x 1 0.

En définitive, pour tout x dans l’intervalle [ ]0 ; 1 , on a : ^xⁿ^ln(^x^{+ × − ≤}¹) (^x ¹) ⁰^{, soit} ( ) ( )

1 0

n n

f ₊ x − f x ≤ .

N°90 page 174

1. Soit a un réel quelconque fixé.

Pour tout réel x strictement positif, on a :

( ) (^ln ) ¹

fa x x a

= + ×x D’où :

( )

0 somme

0

0 produit

0 0

0

0 0

lim ln

lim 1

lim ln lim1

x x

x x x

x x

x

x x

x

x a a a

x a x x

→>

→> →

>

→>

= −∞⎫ ⎫

⎪ ⎪

⇒ + = −∞⎪

= ⎬⎪⎭ ⎪⎬⎪ ⇒ ⎡⎢⎣ + × ⎤⎥⎦= −∞

= +∞⎪⎪⎭

(7)

0 ( )

0

lim _a

x x

f x

→>

= −∞

On a aussi : a( ) ^ln

x a f x

x x

= + . D’où :

( ) _somme

lim ln 0 croisssance comparée

lim ln 0

lim 0

x

x x

x

x a x

a x x

x

→+∞

= = ⎫⎪⎪⎬⎪ ⇒ ⎛⎜⎝ + ⎞⎟⎠=

⎪⎭

( )

lim _a 0

x f x

→+∞ =

2. La fonction f est dérivable sur \^*₊ comme rapport de deux fonctions dérivables sur cet intervalle et pour tout réel strictement positif x, on a :

( ) ( )

2 2

1 ln 1

ln 1

a'

x x a

x x a f x

x x

× − + × − − +

= =

( )

*

2

ln 1

, _a' x a

x f x

+ x

− − +

∀ ∈\ =

3. Comme x> ⇒0 x²>0, le signe de fa^'( )x est celui de −lnx a− +1. On a : −lnx− + ≥ ⇔a 1 0 lnx≤ − + ⇔ ≤a 1 x e^{− +}^a¹.

On en déduit immédiatement :

• Pour tout réel x de ⎤⎦0 ;e^{− +}^a¹⎤⎦, on a : fa^'( )x ≥⁰ et la fonction f_a est croissante.

• Pour tout réel x de ⎡⎣e^{− +}^a¹;+ ∞⎡⎣, on a : fa^'( )x ≤⁰ et la fonction f_a est croissante.

On en déduit immédiatement que la fonction f_a admet un maximum en x_a =e^{− +}^a ¹ et on

a : ( ) ( ¹) 1

1 1 1

ln ^a 1 1 a

a a a a a

e a a a

y f x e

e e e

− +

−

− + − + − +

+ − + +

= = = = = .

La fonction f_a admet un maximum en x_a=e^{− +}^a¹ et on a : ya= f x( )a =e^a⁻¹.

4. Comme on l’a vu précédemment, on a : a ( )a ¹a₁ ¹ a

y f x

e^{− +} x

= = = . Ainsi, le point

( a^; a)

A x y appartient à la courbe représentative de la fonction inverse.

(8)

Le point A x( a^;ya) appartient à la courbe représentative de la fonction inverse.

A titre de complément, nous fournissons ci-dessous les courbes représentatives de quelques fonctions f_a pour 1

a= −2, 0, 1 et 2. Pour une valeur de a donnée, le sommet de la courbe est noté S_a. En bleu, on a fait apparaître la partie de la courbe représentative de la fonction inverse correspondant aux abscisses strictement positives.