TES 4 DST 5 29 janvier 2014
Exercice 1 : (6 points)
Pour chacune des affirmations propos´ees, une seule est exacte. Chaque r´eponse juste rap- porte 1,5 points une r´eponse fausse enl`eve 0,5 point et ne pas r´epondre `a une r´eponse ne rapporte et n’enl`eve aucun point.
(1) Le nombre A= ln(e + e2) peut aussi s’´ecrire :
a. A= ln e2+ ln e b. A= 2,31 c. A= 1 + ln(e + 1)
(2) Soit f la fonction d´efinie pour toutxr´eel de l’intervalle ]−1; 1[ par f(x) = ln(1−x2).
On note Cf sa repr´esentation graphique.
Le point de Cf d’abscisse 12 a pour ordonn´ees : a. ln 12
b. ln 1− 14 c. ln 3−2 ln 2
(3) L’in´equation ln(3−x)60 a pour ensemble de solution : a. ]0; 3] b. ]0; 2] c. [2; 3[
(4) Soit g la fonction d´efinie sur ]0; +∞[ par g(x) =−3x+ 5 + 2 lnx. Une ´equation de la tangente `a la courbe repr´esentative de g au point d’abscisse 1 est :
a. y=−x+ 2 b. y=−x+ 3 c. y=−3x+ 2
Exercice 2 : (10 points)
Partie A
Soit la fonctiong d´efinie sur [1; 10] par g(x) = 2 lnx−1 (1) ´Etudier les variations de g sur [1; 10].
(2) R´esoudre l’´equation g(x) = 0 dans [1; 10].
(3) En d´eduire que g(x)>0 si, et seulement si x >√ e.
Partie B
Soit la fonctionf d´efinie sur [1; 10] par f(x) = 2x2(lnx−1) + 2.
(1) a. Montrer que pour tout nombre r´eel x de l’intervalle [1; 10] : f0(x) = 2xg(x).
b. ´Etudier le signe de f0(x) sur [1; 10] et en d´eduire le tableau de variations def sur [1; 10].
(2) a. Montrer que, dans l’intervalle ]1; 10], l’´equation f(x) = 0 admet une solution unique not´eeα.
b. D´eterminer un encadrement d’amplitude 10−2 deα.
Exercice 3 : (4 points)
On a repr´esent´e en annexe, dans le plan muni d’un rep`ere orthonormal, la courbe repr´esentative C d’une fonction f d´efinie et d´erivable sur l’intervalle [0 ; 20]. On a trac´e les tangentes `e la courbeC aux pointsD et E d’abscisses respectives 6 et 11.
On note f0 la fonction d´eriv´ee de la fonction f.
Par lecture graphique (des justifications sont demand´ees) : (1) Donner les valeurs exactes de f(0), f(1), f0(0) et f0(6).
(2) Indiquer si la courbe C admet un point d’inflexion. Si oui, pr´eciser ce point.
(3) a. Pr´eciser un domaine du plan dont l’aire est ´egale `aI = Z 8
4
f(x)dx b. Hachurer ce domaine.
c. D´eterminer un encadrement, d’amplitude 4, par deux nombres entiers de I.
