Donner la d´efinition math´ematique de lim x→x0 f(x

L1 MPI 2012/2013

S1 Math´ematiques

Examen du 18 Janvier 2013

Dur´ee: 2h30mn. Aucun document ni calculatrice autoris´e. T´el´ephones portables interdits!

Le barˆeme suivant est donn´e `a titre indicatif : 1+3+9+9=22.

Question de cours. Soitf :R→Retx0∈R. Donner la d´efinition math´ematique de lim

x→x0

f(x) = +∞. Exercice 1.

a) Calculer les racines carr´ees du nombre complexe 3−4i.

b) R´esoudre dans Cl’´equation z²−(4 + 5i)z−3 + 11i= 0.

Exercice 2. On consid`ere la fonction f d´efinie surR parf(x) =















e^x−x si x <0,

1 si x= 0,

cos²(πx) si 0< x <1,

1 si x= 1,

1 +ln(x)

x si x >1.

a) Montrer quef est continue sur R.

b) Justifier que f est d´erivable sur D = ]− ∞,0[∪]0,1[∪]1,+∞[, et pour tout x ∈ D calculer f⁰(x). Dresser le tableau de variation def.

c) Etant donn´´ esg:R→Retx₀∈R, donner la d´efinition de “la fonctiongest d´erivable enx₀”.

d) Rappeler, sans justification, les valeurs des limites suivantes

xlim→0

e^x−1

x , lim

x→0

sin(x)

x , lim

x→0

ln(1 +x)

x .

e) La fonctionf est-elle d´erivable en 0? Si oui que vautf⁰(0)?

f ) La fonctionf est-elle d´erivable en 1? Si oui que vautf⁰(1)?

g) Calculer, si elles existent, les limites def en −∞ et +∞.

Exercice 3. Etant donn´´ e un entiern≥2 on d´efinit la fonction Pn: [0,1]→R par Pn(x) =

Xn k=1

x^k

!

−1,

c’est-`a-dire P_n(x) =xⁿ+xⁿ⁻¹+· · ·+x²+x−1.

1. ´Etude d’un cas particulier.

a) Enoncer le Th´´ eor`eme des Valeurs Interm´ediaires.

b) Expliciter la fonction P4 et montrer qu’elle est strictement croissante sur [0,1].

c) Montrer qu’il existe un uniquec∈]0,1[ tel queP₄(c) = 0.

TSVP

2. Construction d’une suite (u_n)_n.

a) Montrer que la fonctionPn est strictement croissante sur [0,1].

b) Montrer qu’il existe un uniqueu_n∈]0,1[ tel que P_n(u_n) = 0.

3. ´Etude de la suite (u_n)_n.

a) Soitx∈]0,1[, montrer que pour tout n≥2 on aP_n+1(x)> P_n(x).

b) En d´eduire le signe dePn+1(un) puis que la suite (un)n est strictement d´ecroissante (on pourra utiliser le 1)b) avec la fonction P_n+1).

c) Montrer que la suite (un)n converge. On note `sa limite.

4. Calcul de la valeur de `.

a) Justifier que`∈[0,1[.

b) V´erifier que pour toutx∈]0,1[ on aPn(x) = 1−xⁿ⁺¹ 1−x −2.

c) En d´eduire queu_n= 1 +uⁿ⁺¹_n

2 .

d) Montrer que uⁿ⁺¹_n → 0 (on pourra remarquer, apr`es l’avoir justifi´e, que pour tout n≥2 on a 0< u_n≤u₂ et queu₂ <1).

e) En d´eduire la valeur de `.