• Aucun résultat trouvé

�������������������������������� � �� q > ��� c > �� lim x =lim cq =+ ∞ � �� q > ��� c < �� lim x =lim cq = −∞ � �� q ∈ ] − � , � [ � lim x =lim cq = � � �� q ≤− �������������� ( x ) �������

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2022

Partager "�������������������������������� � �� q > ��� c > �� lim x =lim cq =+ ∞ � �� q > ��� c < �� lim x =lim cq = −∞ � �� q ∈ ] − � , � [ � lim x =lim cq = � � �� q ≤− �������������� ( x ) �������"

Copied!
24
0
0

Texte intégral

(1)

������ ������������ � ������� � �����

� �� q > � �� c > � � lim

n → + ∞ x n = lim

n → + ∞ c q n = + ∞

� �� q > � �� c < � � lim

n→+∞ x n = lim

n→+∞ c q n = −∞

� �� q ∈ ] − � , �[ � lim

n→+∞ x n = lim

n→+∞ c q n = �

� �� q ≤ −�� ����� �� ����� (x n ) n ∈N �������

(2)

������ ������������ � ������� � �����

� �� ����� ��� n + � �������� ������ �� �� ����� (q n ) n ∈N ���

� n k=�

c q n = q n+� − �

q − � c

(3)

�������

�������� �� ����� � + �

� + �

� + . . . + �

n =

� n k= �

k � ������ ��� ��

������ �� ����� ����� �

(4)

������ � ������� ����������

�������� �� ���� ���������

n → lim + ∞

a k n k + a k−� n k −� + . . . + a

b p n p + b p −� n p−� + . . . + b = lim

n → + ∞

a k n k

b p n p

(5)

� ������� ��������� ��� ��������� ln �� ��� �

n→+∞ lim n ln �

� + α n

� = α; lim

n→+∞

� � + α n

� n

= e α

� ������� ��������� ��� ��������� cos �� sin �

n → lim + ∞ n sin

� � n

= �; lim

n → + ∞ n

� cos

� � n

− �

= �

(6)

��������� ������� �� ����������

��� ����� (x n ) n ∈N ��� ���� ���������� � ������ �� ���� n ��

∀n ≥ n , x n+� ≥ x n

������������ � ������ �� ���� n �� � ∀ n ≥ n , x n+ � ≤ x n

�� �������� �� ���� ��� ���������� �� �������������

������� � ��� ��� ������ ������������� �� �������������

(7)

���������

���� M ∈ R � �� ����� (x n ) n ∈N ��� ������� ��� M ��

∀ n ∈ N , x n ≤ M

���� ��� ������� ��� M �� �

∀n ∈ N , x n ≥ M .

�� ����� (x n ) n ∈N ��� ���� ������ �� �� ����� ( | x n | ) n ∈N ��� ��������

(8)

�������� �������� ��� ������ ������������

�� (x n ) n ∈N ��� ���������� � ������ ���� ������� ����� �� �

������������� �

� ���� (x n ) n ∈N ��� ������� ��� �� ���� M � ����� (x n ) n ∈N �����

��� ������ ���� ��

n → lim + ∞ x n ≤ M

� ���� (x n ) n ∈N ����� ��� �������� ������ ��� ���� ���� ���� + ∞�

(9)

�������

�� �������� ��� �� ����� (x n ) n∈N �� ����� ������� x n =

� n k= �

� k! ���

������������

(10)

�������� ����� �����������

���� (x n ) n ∈N � (y n ) n ∈N �� (z n ) n ∈N ����� ������� �� ������� �

∃n � ∈ N , ∀n ≥ n , x n ≤ y n ≤ z n

�� ������� ��� � lim

n → + ∞ x n = lim

n → + ∞ z n = ��

����� �� ����� (y n ) n ∈N �������� ���� l � lim

n→+∞ y n = � �

(11)

�������� ������� �����������

���� (x n ) n ∈N �� (y n ) n ∈N ���� ������ ����������� �� ������� �

� �� ����� (x n ) n ∈N ��� �����������

� �� ����� (y n ) n ∈N ��� �������������

� �� ����� (x n − y n ) n∈N ���� ���� � � lim

n → + ∞ (x n − y n ) = ��

����� �

� (x n ) n ∈N �� (y n ) n ∈N ���� ����� �����������

� �� ������ � ∈ R ��� ��� � lim

n → + ∞ x n = lim

n → + ∞ y n

� x n ≤ y n ���� ���� ������ n�

(12)

������� ������� �����������

�� ��������� ��� ������ (x n ) n ≥� �� (y n ) n ≥� �� ����� �������

x n =

� n k= �

k �� y n = x n + �

n

(13)

��������� ������� ������������

��� ����� (x n ) n ∈N ��� ���� ���������� �� ���� ��� ������ ��� ��

��������� �������� ��� �������� �� ����������� �

� x ���

∀ n ≥ �� x n+� = f (x n ).

���� ��� �������� �������� f �

(14)

�������� ������� ����� ����� �����������

���� (x n ) n ∈N �� ����� ���������� �

� x ���

∀n ≥ �� x n+ � = f (x n ).

�� ������� �

� lim

n → + ∞ x n = � �� � ∈ R

� f ��� �������� �� ����� �

����� l ��� �� ����� ��� �� f � f (�) = ��

(15)

������� �������� �� ������

���� ������� √ a� �� ������� ��� ������ �� �� ����� ����������

�������� � �� �������� f (x) = �

� x + a x

� �

(16)

������� ���������� ��� ������������

�� ���� ��� p n �� ������ ����������� ����� ���������� ������ �

��������� n� ��� ������������� ���������� �� ����������� �� p n ��

�������� �� n ������� � ���������� ��� ��� ��� ������ �����������

� p = b

∀ n ≥ �� p n+� = f (p n )

��������� ��� ��������� � x �→ a x ; x �→ a

e + x x; x �→ a (e − x) x.

(17)

���� �� ��� �� f : x �→ a (� − x) x �� � ��� ������� ���� ��� ���

a = � , � �� a = � , � ��� ��������������� ��������� �

x y

f (x) = � , � (� − x) x

x y

f (x) = � , � (� − x) x

(18)

Limites des fonctions numériques

� f : R �→ R fonction numérique définie sur D f .

Définition (limite finie en un point)

Soit � un nombre réel. La limite de f en a est égale à � si

∀ ε > 0 , ∃ δ > 0 , ∀ x ∈ D f \ { a } , | x − a | < δ = ⇒ | f (x) − � | < ε.

Dans ce cas, on note lim

x → a f (x ) = � .

(19)

Définition (limite + ∞ en un point) La limite de f en a est égale à +∞ si

∀ M ∈ R , ∃ δ > 0, ∀ x ∈ D f \ { a } , | x − a | < δ = ⇒ f (x) > M . Dans ce cas, on note lim

x → a f (x ) = + ∞.

(20)

Exemple (limites classiques)

x lim →0 sin(x)

x = 1; lim

x →0

1−cos(x)

x

2

= 1 2 ; lim

x →0 ln(1+x)

x = 1;

∀ α ∈ R , lim

x →0

(1+x)

α

−1

x = α

En revanche x �→ cos � 1

x

� n’a pas de limite en 0.

(21)

Définition (limite par valeurs supérieures ou inférieures) Dans cette définition � est un nombre réel, ou +∞ ou −∞.

La limite de f en a par valeurs supérieure est égale à � si la restriction de f à [a, + ∞ [ a pour limite � quand x tend vers a :

x lim → a x>a

f (x) = � ou lim

x → a

+

f (x) = �

(22)

Définition (limite en + ∞)

Soit l un nombre réel. La limite de f en +∞ est égale à � si

∀ ε > 0, ∃ A ∈ R , ∀ x > A, | f (x) − � | < ε.

Dans ce cas, on note lim

x → + ∞ f (x) = � .

(23)

Définition (limite en −∞)

Soit l un nombre réel. La limite de f en −∞ est égale à l si

∀ ε > 0, ∃ A ∈ R , ∀ x < A, | f (x) − l | < ε.

Dans ce cas, on note lim

x →−∞ f (x) = l .

(24)

Exemple

x → lim + ∞ ln(x) = +∞; lim

x →−∞ e x = 0; lim

x → + ∞ e x = +∞;

∀ α, lim

x → + ∞

� 1 + α x

� x

= e α

Références

Documents relatifs

[r]

(a) Choisir un manchot est une ´ epreuve de Bernoulli de succ´ es Le manchot fera du tobogan lors de son deuxi` eme plongeon de param` etre 1 4 ... TS 8 DS 4 Correction :

Donc le point I est centre de symétrie pour la courbe représentative

[r]

(d) Puisque u est décroissante et minorée, on peut affirmer qu’elle converge.. Il reste à en déterminer

[r]

Lorsque n augmente, les courbes semblent devenir de plus en plus verticales en s’approchant du

[r]