-+--+ 1x3²x215x2²x lim -+- 1x3²x21 lim lim lim - 1x1 lim lim lim lim lim lim -+--+ 1x3²x215x2²x

Première S Devoir n ° 2 : exemple de corrigé. Page n ° 1 2007 2008

E1

Soit la fonction donnée par l'expression : f ( x ) =

1 x 3

² x 2

15 x 2

² x + −

− + −

pour tout x ∈ ] 1 ; + ∞ [.

En premier lieu, je vérifie que la fonction est bien définie sur le domaine proposé.

-2x² + 3x − 1 est un trinôme du second degré.

Son discriminant est : ∆ = 3² − 4 ( - 1) ( - 2 ) = 9 − 8 = 1.

Ses racines sont : x₁ = ( - 3 − 1 ) / ( - 4 ) = 1 et x2 = ( - 3 + 1 ) / ( - 4 ) = 0,5.

Et sa factorisation est -2x² + 3x − 1 = -2 ( x − 1 ) ( x − 0,5 ).

Donc cette fonction f est bien définie sur ] 1 ; + ∞ [.

x² + 2x − 15. Si je remplace x par 1, j'obtiens : 1² + 2 × 1 − 15 = 1 + 2 − 15 = - 12.

Donc

1 x 1

lim

x

→> ( x² + 2x − 15 ) = - 12. et

1 x 1 x

lim

→> ( -2 ) = - 2 et

1 x 1

lim

x

→> ( x − 1 ) = 0 et

1 x 1

lim

x

→> ( x − 0,5 ) = 0,5 et x > 1 Donc x − 1 > 0 donc

1 x 1 x

lim

→>

x 1

1 −

^{= + ∞ Donc}

lim

^x_{x 1}¹

→> f ( x ) = + ∞∞∞∞.

Au voisinage de la valeur 1, la courbe de f se rapproche de la droite d'équation x = 1.

Donc la droite d'équation x = 1 est une asymptote verticale à la courbe de f.

Deuxième méthode :

1 x 1 x

lim

→> ( x² + 2x − 15 ) = - 12. Le dénominateur est un trinôme du second degré donc le tableau de signes est

x −∞ 0,5 1 +∞

-2x² + 3x − 1 − 0 + 0 −

Ainsi

1 x 1

lim

x

→> ( -2x² + 3x − 1 ) = 0 et si x > 1 alors -2x² + 3x − 1 < 0 donc

1 x 1

lim

x

→>

2 x ² 1 3 x 1

− +

−

^{= - ∞}

D'où

1 x 1

lim

x

→> f ( x ) = + ∞.

f ( x ) =

1 x 3

² x 2

15 x 2

² x + −

− + −

₌

²) x 2

1 x 2 1 3

²(

x 2

²) x 15 x 1 2

²(

x

+

−

−

− +

= - 1 2×

²) x 2

1 x 2 1 3 (

²) x 15 x 1 2 (

+

−

−

+ pour tout x ∈ ] 1 ; + ∞ [.

+∞

→ xlim - 1

2 = - 1

2 et _xlim ( 1 + _→+∞ 2 x −

²

15 ) = 1 et x

+∞

→

xlim ( 1 − 3

2x + 21 ) = 1.x²

Donc

+∞

→

xlim f ( x ) = - 1 2 .

Au voisinage de + ∞, la courbe de f se rapproche de la droite d'équation y = -0,5.

Donc la droite d'équation y = -0,5 est une asymptote horizontale à la courbe de f.

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E2

1. D = { x ∈ / f ( x ) existe } = { x ∈ / x − 2 ≠ 0 } = ] - ∞ ; 2 [ U ] 2 ; + ∞ [.

2. 2 ∈ D et - 2 ∉ D.

C'est un domaine qui n'est pas symétrique par rapport à 0. Donc la fonction f n'est ni paire, ni impaire.

3. C'est une fonction rationnelle, nous devons mettre le terme de plus haut degré en facteur.

Pour tout x ≠ 2 et pour tout x ≠ 0, f ( x ) = 2 x

11 x

²

x +−− =

x) 1 2 ( x

x) 11 x 1 1

²(

x

−

−

+ = x ×

x 1 2

x 11 x 1 1

−

− +

.

−∞

→

xlim x = - ∞ et

−∞

→

xlim ( 1 + 1 x − 11

x ) = 1 et _xlim ( 1 −_→−∞ 2

x ) = 1 donc _xlim_→−∞f ( x ) = - ∞ . 2² + 2 − 11 = 6 − 11 = - 5. Donc

2 x 2 xlim

→< ( x² + x − 11 ) = -5 et

2 x 2 xlim

→< ( x − 2 ) = 0 et x < 2 donc x − 2 < 0 donc

2 x 2 xlim

→< x 2

1− = - ∞ donc

2 x 2 xlim

→< f ( x ) = + ∞

2 x 2 xlim

→> ( x² +x − 11 ) = -5 et

2 x 2 xlim

→> ( x − 2 ) = 0 et x > 2 donc x − 2 > 0 donc

2 x 2 xlim

→> x 2 1− = + ∞

donc

2 x 2 xlim

→> f ( x ) = − ∞ Or xlim x = + ∞ et →+∞

+∞

→

xlim ( 1 + 1 x − 11

x ) = 1 et _xlim ( 1 −_→+∞ 2

x ) = 1 donc _xlim_→+∞f ( x ) = + ∞ .

2 x 2 xlim

→< f ( x ) = + ∞ et

2 x 2 xlim

→> f ( x ) = − ∞

Cela signifie qu'au voisinage de x = 2, la courbe de f se rapproche de la droite d'équation x = 2.

Autrement dit la droite d'équation x = 2 est une asymptote verticale à la courbe de f au voisinage de x = 2.

4. Trouvons trois réels a, b et c tels que pour tout x ∈ D : f ( x ) = ax + b + 2 x

−c

⇔ x 2 11 x

²

x +−− =

2 x

c ) 2 x )(

b ax (

−− +

+ pour tout x ∈ D ⇔ x² + x − 11 = ax² − 2ax + b x − 2b + c pour tout x ∈ D

⇔ a = 1 et - 2 + b = 1 et -2b + c = -11 pour tout x ∈ D ⇔ a = 1 et b = 3 et c = -5.

Donc f ( x ) = x + 3 + 2 x

−5

− 5. a ) Posons h ( x ) =

2 x

−5

− pour x ∈ − { 2 }. On sait que

+∞

→ xlim

2 x

−5

− = 0. Et

−∞

→ xlim

2 x

−5

− = 0

Donc f ( x ) = x + 3 + h ( x ) avec

+∞

→

xlim h( x ) = 0 et

−∞

→

xlim h ( x ) = 0.

Donc au voisinage de + ∞ et de - ∞ , la courbe de f se rapproche de la droite d'équation y = x + 3.

La droite d'équation y = x + 3 est asymptote à la courbe de f au voisinage de + ∞ et de - ∞ . 5. b ) Pour déterminer la position de C et de l'asymptote ∆, il nous faut connaître le signe de h ( x ).

Soit x > 2 alors x − 2 > 0 donc 2 x

−5

− < 0 donc h ( x ) < 0 donc f ( x ) − ( x + 3 ) < 0 ⇔ f ( x ) < x + 3.

Autrement dit la courbe représentative de f se situe strictement en dessous de l'asymptote d'équation y = x + 3.

Première S Devoir n ° 2 : exemple de corrigé. Page n ° 3 2007 2008

Soit x < 2 alors x − 2 < 0 donc 2 x

−5

− > 0 donc h ( x ) > 0 donc f ( x ) − ( x + 3 ) > 0 ⇔ h ( x ) > x + 3.

Autrement dit la courbe représentative de f se situe strictement au dessus de l'asymptote d'équation y = x + 3.

6. Soit g la fonction définie sur par g ( x ) = x + 3.

a ) g est une fonction affine de coefficient directeur égal à 1 donc positif.

Ainsi g est une fonction strictement croissante sur .

b ) Soient x₁ et x₂ deux réels de l'intervalle ] − ∞ ; 2 [ tels que x1 < x₂ < 2.

Alors x₁ − 2 < x2 − 2 < 2 − 2 car la fonction x

a

x − 2 est strictement croissante sur ] − ∞ ; 2 [.

Donc 2 x

1

1− >

2 x

1

2− car la fonction inverse est strictement décroissante sur ] − ∞ ; 0 [.

Ainsi 2 x

5

1−

− <

2 x

5

2−

− car la fonction x

a

− 5x est strictement décroissante sur ] − ∞ ; 0 [.

Par conséquent h ( x₁ ) < h ( x₂ ) .

Conclusion h est strictement croissante sur ] − ∞ ; 2 [.

Soient x1 et x2 deux réels de l'intervalle ] 2 ; + ∞ [ tels que 2 < x1 < x2

Alors 2 − 2 < x1 − 2 < x2 − 2 car la fonction x

a

x − 2 est strictement croissante sur ] − ∞ ; 2 [.

Donc 2 x

1

1− >

2 x

1

2− car la fonction inverse est strictement décroissante sur ] 0 ; + ∞ [.

Ainsi 2 x

5

1−

− <

2 x

5

2−

− car la fonction x

a

₋ 5x est strictement décroissante sur ] 0 ; + ∞ [.

Par conséquent h ( x₁ ) < h ( x₂ ) .

Conclusion h est strictement croissante sur ] 2 ; + ∞ [.

c ) D'après la question 4., f ( x ) = g ( x ) + h ( x ) pour tout x ∈ D.

D'après un théorème du cours, la somme de deux fonctions strictement croissantes sur un intervalle est une fonction strictement croissante.

Ainsi f est une fonction strictement croissante sur ] − ∞ ; 2 [ et sur ] 2 ; + ∞ [.

7. Soit I ( x ; y ) le point d'intersection des asymptotes. Alors x et y vérifient : x = 2 et y = x + 3 = 5.

Soit x ∈ tel que 2 + x et 2 − x sont deux réels de D ; cela signifie x ≠ 0.

Démontrons que les deux points M et M ' d'abscisses 2 + x et 2 − x sont symétriques par rapport à I c'est à dire que I est le milieu du segment [ MM ' ].

Soit x ≠ 0

Alors f ( 2 + x ) + f ( 2 − x ) = 2 + x + 3 + 2 x 2

5−

+− + 2 − x + 3 + 2 x 2

5−

−− = 10 − 5 x + 5

x = 10 = 2 × 5.

Or 5 est l'ordonnée du point I. Donc le point I est centre de symétrie pour la courbe représentative de f.

Première S Devoir n ° 2 : exemple de corrigé. Page n ° 4 2007 2008

8. Traçons les deux asymptotes puis la courbe de f.

E3

f ( 3 ) = ( 9 − 1 ) / 3 = 8 / 3 Donc f ( 3 ) > 1.

Ainsi la seule courbe telle que f ( 3 ) > 1 est la courbe n ° 1.

La fonction f est associée à la courbe n ° 1.

h ( − 1 ) = − 2.

La seule courbe telle que h ( − 1 ) = − 2 est la courbe 2.

Donc la fonction h est associée à la courbe 2.

Lim g ( x ) = 1 lorsque x tend vers + ou − ∞.

Donc la courbe n ° 3 est associée à la fonction g.