Première S2 Exercices sur le chapitre 7 : E4. page n ° 1 2007 2008
E4 Limites de fonctions non définies en un point.
P 80 n ° 22.
a. 3 −
1 x1
+ = x 1 1 3 x 3 ++− =
1 x
2 x
3 ++ pour tout x > - 1.
Donc f ( x ) = 3 − 1 x
1+ .
b. xlim 3 = 3 et →+∞
+∞
→ xlim
1 x
1+ = 0 donc xlim f ( x ) = 3.→+∞
1 xlim
−
→ 3 = 3 et x > - 1 donc x + 1 > 0 donc
1 xlim
−
→ x 1
1+ = + ∞ donc
+∞
→
xlim f ( x ) = − ∞ . p 81 n ° 24.
a. xlim2
→ g ( x ) = + ∞ donc
2 xlim
→ g(1 = 0x)
+∞
→
xlim g ( x ) = 2 donc
+∞
→ xlim
) x ( g1 = 12 b. f ( x ) = x3 + x² − 1
f ( 2 ) = 8 + 4 − 1 = 11.
2 xlim
→ ( f ( x ) + g ( x ) ) = + ∞
2 xlim
→ ( f ( x ) × g ( x ) ) = + ∞ c. xlim2
→ f ( x ) = 11 et
2 xlim
→ g(1 = 0 donc x)
2 xlim
→ g(x) ) x ( f = 0
+∞
→
xlim f ( x ) = + ∞ et
+∞
→ xlim
) x (
g1 = 12 donc xlim→+∞
) x ( g
) x (
f = + ∞
p 85 n ° 63.
f ( x ) = − 1 x 2
3−
−∞
→
xlim ( - 3 ) = - 3 et
−∞
→
xlim ( 2x − 1 ) = - ∞ d'où
−∞
→ xlim
1 x 2
1− = 0 donc xlim f ( x ) = 0.→−∞
2 x 1
lim→ ( - 3 ) = - 3 et
2 x 1
lim→ ( 2x − 1 ) = 0 et x < 1
2 donc 2x − 1 < 0 d'où
2 x 1
lim→ 2x 1
1− = - ∞ donc
2 x 1
lim→ f ( x ) = + ∞ .
Première S2 Exercices sur le chapitre 7 : E4. page n ° 2 2007 2008
p 85 n ° 65.
a. f ( x) = 1 x
x
2− = 2x × x 1 1− .
1
limx
→ ( 2x ) = 2 et
1 xlim
→ ( x − 1 ) = 0 et x > 1 donc x − 1 > 0 d'où
1 xlim
→ x 1
1− = + ∞ donc xlim1
→ f ( x ) = + ∞ .
b. 2 +
1 x2
− = 2xx212
−+
− = 1 x2x
− = f ( x ). Pour tout x ≠ 1.
+∞
→
xlim 2 = 2 et
+∞
→ xlim
1 x
2− = 0 donc xlim→+∞f ( x ) = 2.
P 86 n ° 67.
f ( x ) = x
x x 2 3−
= 2x² − 1 pour tout x ≠ 0.
0 xlim
→ f ( x ) =
0 xlim
→ ( 2x² − 1 ) = - 1.
g ( x ) =
² x
5 x 6 − .
0 xlim
→ ( 6x − 5 ) = - 5 et
0 xlim
→ x1 = + ∞ donc ²
0 xlim
→ g ( x ) = - ∞ . h ( x ) =
² x
5
² x 6 − .
0 xlim
→ ( 6x² − 5 ) = - 5 et
0 x
lim→ x1 = + ∞² donc
0 xlim
→ h ( x ) = - ∞ . p 86 n ° 68.
f ( x ) = 1 x
x 4
² x+−
1 x
lim→ ( x² + 4x ) = 5 et
1 x
lim→ ( x − 1 ) = 0 et x > 1 donc x − 1 > 0 d'où
1 x
lim→ x 1
1− = + ∞ donc
1 x
lim→ f ( x ) = + ∞ .
g ( x ) = 1 x
x
² x−− =
1 x
) 1 x ( x
−− = x pour tout x ≠ 1.
1 xlim
→ g ( x ) = 1.
h ( x ) = x 1
x 3−
1 x
lim→ ( 3x ) = 3 et
1 x
lim→ ( 1 − x ) = 0 or x > 1 donc 1 − x < 0 d'où
1 x
lim→ 1 x
−1 = - ∞ donc
1 x
lim→ h ( x ) = - ∞
