lim lim 3x1 lim lim +-- - ²x3x15 - ²x350 ²x350

(1)

Première S2 Chapitre 7 : feuilles annexes. Page n ° 1 2007 2008

1 Limite en l'infini d'une fonction polynôme.

f ( x ) = -3x² + 15x + 50.

Soit x ≠ 0 alors f ( x ) = - 3x² × [ 1 + (

² x 3

x

−15 ^{) + (} 3x²

−50 ) ] = - 3 x² ( 1 − 5 x −

² x 3

50 _).

Or xlim ( - 3 x² ) = - ∞ et →+∞

+∞

→

xlim ( 1 ) = 1 et

+∞

→ xlim (- 5

x ) = 0 et _xlim ( - _→_+∞

² x 350 ) = 0.

Donc

+∞

→

xlim ( 1 − 5 x −

² x

350 ) = 1 et par conséquent

+∞

→

xlim f ( x ) = - ∞.

2 Limite en l'infini d'une fonction rationnelle.

f ( x ) = 2 x 3

1 x 2 +

− − Soit x ≠ 0 et x ≠ 2

3 alors f ( x ) =

( ) ( ) (

¹ ₃²_x

)

x 3

x 2 1 1 x 2

+ −

×

−

×

= - 2 3 ×

x 3 1 2

x 2 1 1

−

− . Or xlim ( - →+∞ 2

3 ) = - 2

3 et _xlim ( 1 ) = 1 et _→_+∞

+∞

→ xlim ( - 1

2x ) = 0 et _xlim ( - _→_+∞ 2 3x ) = 0.

Donc

+∞

→ xlim

x 3 1 2

x 2 1 1

−

= 1 et

+∞

→

xlim f ( x ) = - 2 3 . 3 Limites de fonctions en un point.

Autres notations :

→0+

xlim 1 x = + ∞

→0−

xlim 1 x = − ∞

→a+

xlim a x

1− = + ∞

f ( x ) = 3 x

4 x 3 ++

3 × ( - 3 ) + 4 = - 9 + 4 = - 5.

Trouver la limite de f en - 3 à droite cela signifie rechercher la limite de f lorsque x tend vers - 3 et x > -3.

Or si x > - 3 alors x + 3 > 0 Donc

3

x 3

xlim

−

>−

→ ( x + 3 ) = 0 donc

3

x 3

xlim

−

>−

→ x 3

1+ = + ∞ d'après le théorème sur la limite de l'inverse d'une fonction.

Or

3

x 3

xlim

−

>−

→ 3x + 4 = - 5 donc

3

x 3

xlim

−

>−

→ f ( x ) = − ∞ d'après le théorème sur la limite du produit de deux fonctions.

(2)

5 Asymptotes horizontale et verticale.

Premier exemple :

Soit la fonction f définie sur ] 0 ; + ∞ [ par f ( x ) = 1 x + 9,2.

Trouvons une équation de l'asymptote horizontale à la courbe de f.

+∞

→ xlim ¹

x = 0 et _xlim_→_+∞9,2 = 9,2.

D'après le théorème sur la limite de la somme de deux fonctions,

+∞

→

xlim f ( x ) = 9,2.

Cela signifie que lorsque x tend vers + ∞, la courbe de f se rapproche de la droite d'équation y = 9,2.

Donc une équation de l'asymptote horizontale à la courbe de f est y = 9,2.

Deuxième exemple :

Soit la fonction f définie sur ] 1 ; + ∞ [ par f ( x ) = - 2 + )² 1 x (

−1 .

Trouvons une équation de l'asymptote verticale à la courbe de f. Traçons une allure de la courbe de f.

1 x 1 xlim

→> - 2 = - 2 et

1 x 1 xlim

→> (x 1)²

−1 = + ∞ donc

1 x 1 xlim

→> f ( x ) = + ∞

Lorsque x tend vers 1 par valeurs supérieures, la courbe de f se rapproche de la droite d'équation x = 1.

Donc une équation de l'asymptote verticale à la courbe de f est x = 1.

(3)

6 Asymptote oblique.

Soit la fonction f définie sur ] 0 ; + ∞ [ par f ( x ) = -x + 3 +

² x

1

_.

Trouvons une équation de l'asymptote oblique à la courbe de f.

+∞

→ xlim

² x

1

_{= 0 et}

−∞

→ xlim

² x

1

_{= 0}

Posons g ( x ) =

² x

1

pour tout x ≠ 0.

Alors la fonction f est donnée par l'expression f ( x ) = -x + 3 + g ( x ) avec

+∞

→

xlim g ( x ) = 0 et

−∞

→

xlim g ( x ) = 0.

Donc au voisinage de + ∞ ( et de − ∞ ) la courbe de f se rapproche de la droite d'équation y = - x + 3.

Une équation de l'asymptote oblique à la courbe de f est donc y = - x + 3.