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(3) Calculer la loi deX

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Academic year: 2022

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Texte intégral

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EILCO Probabilit´es CP1

Ann´ee 2020-2021 Fiche n3. Variables al´eatoires discr`etes.

Exercice 1. Un joueur lance trois fois une pi`ece de monnaie non truqu´ee. Il gagne deux euros si le r´esultat est ”pile” et perd un euro si le r´esultat est ”face”. On d´esigne parX le gain (ou la perte) du joueur au bout des trois lanc´es.

(1) Donner l’univers Ω associ´e `a l’exp´erience.

(2) Pr´eciser l’ensemble des valeurs possibles deX. (3) Calculer la loi deX.

Exercice 2. Pour ces exp´eriences al´eatoires, donner l’univers Ω et les probabilit´es qui les d´ecrivent.

Puis, pour chacune des variables al´eatoires que l’on ´etudie, pr´eciser le nom de la loi, ses param`etres et donner l’expression deP(X =k) pour tout entierk.

(1) On lance un d´e vingt fois. Quelle est la loi du nombre de 5 obtenus ? Quelle est la probabilit´e d’obtenir moins de trois fois un 5 ?

(2) Une urne contient une boule blanche et une boule noire. On prend dans cette urne une boule au hasard, on la remet et on ajoute une boule de la mˆeme couleur. Quelle est la loi du nombre de boules blanches dans l’urne ?

(3) Au bord de l’A7, un ´etudiant fait du stop. En cette saison, un vingti`eme des automobilistes s’arrˆete pour prendre un stoppeur. Quelle est la loi du nombre de v´ehicules que l’´etudiant verra passer avant qu’il ne trouve un chauffeur ? Quelle est la probabilit´e qu’il monte dans la quatri`eme voiture qui passe ? Quelle est la probabilit´e qu’il voit passer au moins 6 voitures qui ne s’arrˆetent pas ?

Exercice 3. Dans une poste d’un petit village, on remarque qu’entre 10h et 11h, la probabilit´e pour que deux personnes entrent durant la mˆeme minute est consid´er´ee comme nulle et que l’arriv´ee des personnes est ind´ependante de la minute consid´er´ee. On a observ´e que la probabilit´e pour qu’une personne se pr´esente entre la minutenet la minuten+ 1 estp= 0.1. On veut calculer la probabilit´e pour que 3,4,5,6,7,8. . . personnes se pr´esentent au guichet entre 10h et 11h.

(1) D´efinir une variable al´eatoire adapt´ee, puis r´epondre au probl`eme consid´er´e.

(2) Quelle est la probabilit´e pour qu’au moins 10 personnes se pr´esentent au guichet entre 10h et 11h ?

Exercice 4. Soient X et Y deux variables al´eatoires ind´ependantes telles queX suit une loi de Poisson de param`etreλ >0 etY suit une loi de Poisson de param`etreµ >0.

(1) Quelle est la loi deX+Y ?

(2) Soit un entiern≥0. D´eterminer la loi conditionnelle deX sachantX+Y =n.

Exercice 5. SoientXetY deux variables al´eatoires ind´ependantes de loi uniforme sur{1,2, . . . , n}.

(1) CalculerP(X=Y) etP(X ≥Y).

(2) D´eterminer la loi deX−Y.

Exercice 6. D´esignons parX une variable al´eatoire suivant la loi g´eom´etrique de param`etrep.

(1) D´eterminerP(X > k), pour toutk≥1.

1

(2)

(2) En d´eduire que, pour tousk, n≥1

P(X > k+n|X > k) =P(X > n). Que peut-on dire deX?

Exercice 7. Retrouver les valeurs de l’esp´erance et de la variance d’une variable al´eatoire suivant : (1) la loiB(p), avecp∈[0,1] ;

(2) la loiB(n, p), avecn≥1 etp∈[0,1] ; (3) la loiP(λ), avecλ≥0.

Exercice 8. SoitX une variable al´eatoire telle queE X2

<∞. Trouver le r´eelaminimisant la quantit´eE

(X−a)2 .

Exercice 9. On lance une roue constitu´ee de 4 secteurs num´erot´es 3, 4, 5 et 6. On note X la variable al´eatoire ´egale au num´ero de sorti. On admet que :

P(X <5) = 1

3,P(X >5) = 1

3 etP(X = 3) =P(X = 4). (1) D´eterminer la loi deX.

(2) Calculer l’esp´erance de X et interpr´eter ce r´esultat.

Exercice 10. Soient X et Y deux variables al´eatoires d´efinies sur le mˆeme espace probabilis´e `a valeurs dans{0,1}, dont la loi jointe est donn´ee par le tableau suivant :

(x, y) (0,0) (0,1) (1,0) (1,1) P(X =x, Y =y) 12−a a+13 b 16 −2a (1) Quelles valeurs sont autoris´ees pouraet b?

(2) Calculer en fonction deaetb les lois marginales deX et de Y. (3) D´eterminer la loi deX+Y.

(4) Calculer la covariance deX et deY ainsi que le coefficient de corr´elation.

(5) Quelles valeurs deaetb correspondent `a un couple (X, Y) de variables ind´ependantes ?

Exercice 11. Une entreprise pharmaceutique d´ecide de faire des ´economies sur les tarifs d’affran- chissements des courriers publicitaires `a envoyer aux clients. Pour cela, elle d´ecide d’affranchir, au hasard, une proportion de trois lettres sur cinq au tarif urgent, les autres au tarif normal.

(1) Quatre lettres sont envoy´ees dans un cabinet m´edical de quatre m´edecins : quelle est la probabilit´e des ´ev´enements :

— A: ”Au moins l’un d’entre eux re¸coit une lettre au tarif urgent” ?

— B : ”Exactement deux m´edecins sur les quatre re¸coivent une lettre au tarif urgent” ? (2) SoitX la variable al´eatoire : ”nombre de lettres affranchies au tarif urgent parmi 10 lettres”.

Quelle est la loi deX? Quelle est son esp´erance ? sa variance ?

Exercice 12. On lance trois fois de suite une pi`ece de monnaie ´equilibr´ee. On noteX la variable al´eatoire prenant pour valeur le nombre de ”face” parmi les deux premiers lancers etY la variable al´eatoire prenant pour valeur le nombre de ”pile” parmi les deux derniers lancers.

(1) Donner, sous forme d’un tableau, la loi de probabilit´e du couple (X, Y).

2

(3)

(2) Donner les lois marginales deXetY. Les variables al´eatoiresXetY sont-elles ind´ependantes ? (3) Calculer la covariance du couple (X, Y).

Exercice 13. Soient p, q ∈]0,1[ tels que p+q = 1. On consid`ere deux variables al´eatoires ind´ependantesX etY, `a valeurs dansN, de loi commune donn´ee par :

∀k∈N, P(X =k) =P(Y =k) =pqk. (1) D´eterminer la loi deX+Y.

(2) Pour tout entiern∈N, d´eterminer la loi deX conditionnellement `a{X+Y =n}.

(3) On poseV =Y −X etM = min{X, Y}.

(a) CalculerP(M ≥k) pour toutk∈N.

(b) En d´eduire la la loi deM.

(c) D´eterminer la loi du couple (M, V).

(d) En d´eduire la loi deV. Les variables al´eatoiresM et V sont-elles ind´ependantes ?

Exercice 14. SoientX1etX2deux variables al´eatoires d´efinies sur un espace probabilis´e (Ω,A,P), ind´ependantes et de loi g´eom´etrique de param`etrep∈]0,1[. On poseq= 1−p, U =X1+X2 et T =X1−X2.

(1) D´eterminer la loi deU.

(2) Soit un entier natureln ≥ 2. D´eterminer la loi conditionnelle de X1 sachant l’´ev´enement {U =n}.

(3) D´eterminer la loi deT. (4) (a) Calculer Cov(U, T).

(b) Les variables al´eatoiresU etT sont-elles ind´ependantes ?

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