T 5/11 DS 2 19 octobre 2018 Dur´ee 55 minutes. Le bar`eme est donn´e `a titre indicatif.
Le manque de soin et de clart´e dans la r´edaction sera p´enalis´e.
Exercice 1 : Loi binomiale (15 minutes) (5 points)
Dans un club de sport, Julien joue au basket. Il sait que, lors d’un lancer, sa probabilit´e de marquer un panier est ´egale `a 0,6.
Julien lance le ballon vingt-cinq fois de suite. Les vingt-cinq lancers sont ind´ependants les uns des autres.
On note X la variable al´eatoire donnant le nombre de panier marqu´e par Julien sur les vingt-cinq tir´es.
Les calculs seront arrondis `a 10−3 pr`es.
1. Justifier queX suit une loi binomiale dont on pr´ecisera les param`etres.
2. Quelle est la probabilit´e qu’il marque exactement quinze paniers ? 3. Quelle est la probabilit´e qu’il marque au plus quinze paniers ? 4. Quelle est la probabilit´e qu’il marque au moins seize paniers ? 5. Combien de paniers peut-il esp´erer marquer ?
Solution:
1. Lancer un ballon est une ´epreuve de Bernoulli de succ`es Le panier est marqu´ede probabilit´e 0,6.
On observe la r´ep´etition de 25 ´epreuves identiques et ind´ependants.
X est la variable al´eatoire qui compte le nombre de succ´es.
X suit donc la loi binomiale de param`etres 25 et 0,6 2. P(X= 15) = 2515
≈0,161 3. P(X>15)≈0,575
4. P(X616) = 1−P(X >15)≈0,425
5. E(X) = 0,6×25 = 15. Il peut esp´erer marquer 15 paniers.
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Exercice 2 : Probl`eme fonction(25 minutes) (7 points)
On souhaite obtenir les variations de la fonctionf d´efinie par f(x) = x3−1
x2+ 2x+ 1 sur [−4; 1]
1. Soitg d´efinit surg(x) =x3+ 3x2+ 2.
(a) Calculer g0(x) ;
(b) Dresser le tableau de variations de gsur [−4; 1] ;
(c) Montrer que l’´equation g(x) = 0 poss`ede une unique solution dans l’intervale [−4; 1] ; (d) Donner un encadrement `a 10−2 pr`es deα;
(e) Dresser le tableau de signes deg(x) en fonction de α.
2. (a) V´erifier que pour toutx∈[−4; 1],f0(x) = g(x) (x+ 1)3 ; (b) En d´eduire le tableau de variations deg sur [−4; 1] ; Solution:
1. (a) g0(x) = 3x2+ 6x
(b) g0(x) = 0⇔3x(x+ 2) = 0. Les solutions sont 0 et −2.
x g0
g
−4 −2 0 1
+ 0 − 0 +
−14
−14
6 6
2 2
6 6
(c) Sur l’intervalle [−2; 1], le minimum deg est 2, g(x) = 0 n’admet donc pas de solution.
Sur l’intervalle [−4;−2], la fonctiong est croissante, continue et g(−4) =−14 et g(−2) = 6 et−14<0<6.
D’apr`es le corollaire du th´eor`eme des valeurs interm´ediaires, g(x) = 0 admet une unique solution.
Donc g(x) = 0 admet une unique solution sur [−4; 1].
(d) g(−3,2)≈ −0,05 et g(−3,19)≈0,07 donc α∈[−3,2;−2,19].
(e) g est croissante sur [−4;−2] doncg est n´egative sur [−4;α] et positive sur [α;−2].
x g
4 α 1
− 0 +
2. (a) f0(x) = 3x2(x2+ 2x+ 1)−(x3−1)(2x+ 2)
(x+ 1)4 = 3x2(x+ 1)2−2(x3−1)(x+ 1) (x+ 1)4
f0(x) = (3x3+ 3x2−2x3+ 2)(x+ 1) (x+ 1)4
x3+ 3x2+ 2
(x+ 1)3 = g(x) (x+ 1)3. (b) ´Etudions le tableau de signes def0 puis de variations def.
x g(x) (x+ 1)3
f0(x) g
−4 α −1 1
− 0 + +
− − 0 +
− 0 + +
−585
−585
f(α)
f(α) 6363
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Exercice 3 : Variable al´eatoire (15 minutes) (6 points)
Un comit´e d’entreprise propose, pour un week-end, deux formules `a ses employ´es :
• Formule A : le voyage s’effectue en 1`ere classe et l’hˆotel est de cat´egorie sup´erieure, pour 150e;
• Formule B : le voyage s’effectue en 2nd classe et l’hˆotel est de cat´egorie moyenne, pour 100e. 60% des employ´es inscrits choisissent la formuleA.
Le comit´e d’entreprise propose une excursion facultative pour un coˆut de 30e.
Quelle que soit la formule choisie, 80% des employ´es choisissent l’excursion facultative On observe de plus que 30% des employ´es choisissent la formule B et l’excursion facultative.
1. Compl´eter avec des pourcentages le tableau suivant
Formule A Formule B Total
Excursion Pas d’excursion
Total
2. X est la variable al´eatoire donnant le coˆut total du voyage.
D´eterminer la loi de probabilit´e deX.
3. Quelle est la probabilit´e qu’un participant ait pay´e moins de 150e? 4. Quelle est l’esp´erance de cette variable al´eatoire ?
Solution:
1. Compl´eter avec des pourcentages le tableau suivant
Formule A Formule B Total
Excursion 50% 30% 80%
Pas d’excursion 10% 10% 20%
Total 60% 40% 100%
2. Les valeurs possibles deX sont 100, 130, 150 et 180 euros
xi 100 130 150 180 P(X=xi) 0,1 0,3 0,1 0,5 3. P(X <150) = 0,1 + 0,3 = 0,4 ;
4. E(X) = 0,1×100 + 0,3×130 + 0,1×150 + 0,5×180 = 154
