T 5/11 DS 2 19 octobre 2018 Dur´ee 55 minutes. Le bar`eme est donn´e `a titre indicatif.
Le manque de soin et de clart´e dans la r´edaction sera p´enalis´e.
Exercice 1 : Loi binomiale (15 minutes) (5 points) Dans un club de sport, Julien joue au basket. Il sait que, lors d’un lancer, sa probabilit´e de marquer un panier est ´egale `a 0,6.
Julien lance le ballon vingt-cinq fois de suite. Les vingt-cinq lancers sont ind´ependants les uns des autres.
On noteXla variable al´eatoire donnant le nombre de panier marqu´e par Julien sur les vingt-cinq tir´es.
Les calculs seront arrondis `a 10−3 pr`es.
1. Justifier queX suit une loi binomiale dont on pr´ecisera les param`etres.
2. Quelle est la probabilit´e qu’il marque exactement quinze paniers ? 3. Quelle est la probabilit´e qu’il marque au plus quinze paniers ? 4. Quelle est la probabilit´e qu’il marque au moins seize paniers ? 5. Combien de paniers peut-il esp´erer marquer ?
Exercice 2 : Probl`eme fonction(25 minutes) (7 points) On souhaite obtenir les variations de la fonctionf d´efinie par
f(x) = x3−1
x2+ 2x+ 1 sur [−4; 1]
1. Soitg d´efinit surg(x) =x3+ 3x2+ 2.
(a) Calculer g0(x) ;
(b) Dresser le tableau de variations de gsur [−4; 1] ;
(c) Montrer que l’´equation g(x) = 0 poss`ede une unique solution dans l’intervale [−4; 1] ;
(d) Donner un encadrement `a 10−2 pr`es deα;
(e) Dresser le tableau de signes deg(x) en fonction de α.
2. (a) V´erifier que pour toutx∈[−4; 1],f0(x) = g(x) (x+ 1)3 ; (b) En d´eduire le tableau de variations deg sur [−4; 1] ;
Exercice 3 : Variable al´eatoire (15 minutes) (6 points) Un comit´e d’entreprise propose, pour un week-end, deux formules `a ses em- ploy´es :
• Formule A : le voyage s’effectue en 1`ere classe et l’hˆotel est de cat´egorie sup´erieure, pour 150e;
• Formule B : le voyage s’effectue en 2nd classe et l’hˆotel est de cat´egorie moyenne, pour 100e.
60% des employ´es inscrits choisissent la formuleA.
Le comit´e d’entreprise propose une excursion facultative pour un coˆut de 30e.
Quelle que soit la formule choisie, 80% des employ´es choisissent l’excursion facultative
On observe de plus que 30% des employ´es choisissent la formule B et l’excur- sion facultative.
1. Compl´eter avec des pourcentages le tableau suivant
Formule A Formule B Total
Excursion Pas d’excursion
Total
2. X est la variable al´eatoire donnant le coˆut total du voyage.
D´eterminer la loi de probabilit´e de X.
3. Quelle est la probabilit´e qu’un participant ait pay´e moins de 150e? 4. Quelle est l’esp´erance de cette variable al´eatoire ?
 la densit´e de la variable al´eatoire X](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAP///wAAACH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAICRAEAOw==)