Chapitre 4 – Suites num´eriques – Exercices

Chapitre 4 – Suites num´eriques – Exercices

I. Ciril, F. De Lepine, F. Duffaud, C. Peschard

Exercice 1

Etudier la nature des suites num´´ eriques d´efinies par : 1. un=n−√

n²−n;

2. un= ⁽⁻¹⁾_nⁿ +i(1 +_n²ⁿ2+1);

3. un= ⁿ₂sin^nπ₂ ; 4. un= ^sinn2−cos_n ⁿ³; 5. un= _n+1ⁿ e^inπ3 ; 6. un= √ⁿ

3−sinn²; 7. u_n= ⁿ³₃⁺²_nⁿ;

8. u_n= (cosn) sin^(−1)√_nⁿ; 9. un= ⁿ²_n⁺⁽⁻¹⁾₂₊^√_nⁿ; 10. un= (−1)^{n n+1}_n ; 11. un=nP2n+1

k=1 1 n²+k; 12. u_n= ¹_nPn−1

k=0cos(^√1

n+k).

13. u_n= ^{sin (n)}_n ; 14. un= _n^n!n; 15. u_n= (−1)^{n n+1}_n ; 16. un= pⁿ

2 + (−1)ⁿ; 17. un=Pn²

k=1

√ 1 n²+k. Exercice 2

Montrer que (un) converge ssi (u2n),(u2n+1),(u3n) convergent (leurs limites n’´etant pas n´ecessairement ´egales).

Exercice 3

Les noncs suivants sont-ils vrais ou faux ?

1. Si une suite positive est non major´ee, elle tend vers +∞.

2. Si une suite d’entiers converge, elle est stationnaire.

3. Si une suite a un nombre fini de valeurs, elle converge si et seulement si elle est sta- tionnaire.

4. Une suite est convergente si et seulement si elle est born´ee.

5. Si une suite n’est pas major´ee, elle est minor´ee.

1

Exercice 4

1. D´eterminer les trois termes cons´ecutifsx, yetz d’une suite arithm´etique tels que : x+y+z= 12 et x²+y²+z²= 120.

2. D´eterminer les trois termes cons´ecutifsx, yetz d’une suite g´eom´etrique tels que : x+y+z= 49

5 et xyz= 27.

Exercice 5

Soit la suite r´eelle (un)_n∈N d´efinie par :

u₀= 3 et u_n+1=4un−2 u_n+ 1 . 1. La suite (un)n∈Nest-elle arithm´etique, g´eom´etrique ?

2. Justifier que si quel que soitn∈N, on au_n>1,il en est de mˆeme deu_n+1.Pour tout n∈N, on pose :

v_n= u_n−2 un−1. 3. Montrer que la suite (vn)n∈Nest g´eom´etrique.

4. En d´eduireu_n en fonction den.

Exercice 6

Soit la suite r´eelle (un)n∈Nd´efinie par :

u0= 6 et un+1=1 3un+ 2.

On d´efinie une suite r´eelle (vn)_n∈N`a paetir de la suite r´eelle (un)<sub>n∈N</sub>de la mani`ere suivante : vn=un−3.

1. Montrer que la suite (vn)_n∈N est g´eom´etrique dont on d´eterminera la raison et le premier terme v0.

2. Exprimer vn puisun en fonction den.

3. En d´eduire lim_nv_n et lim_nu_n. 4. Pour toutn∈Non pose :

Sn=

n

X

k=0

vk et Σn=

n

X

k=0

uk.

Donner l’expression de Sn et Σn en fonction den.

5. On constate que pour toutn∈N, vn est strictement positif et on pose : wn= ln (vn).

Montrer que la suite (wn)_n∈N est arithm´etique dont on d´eterminera la raison et le premier terme w0.

2

6. Exprimer w_n en fonction den.

7. Pour quelle valeur dena-t-on :w_n=−ln (27³)−ln 9 ? Exercice 7

On note, pour toutn∈N^∗:

Sn=

n

X

k=0

√1

k, un= Sn

√n, vn=Sn−2√ n.

1. Montrer que :

∀n∈N^∗, Sn≤√ n+√

n−1.

2. Montrer que :

∀n∈N^∗, 2√

n+ 1−2≤S_n. 3. En d´eduire que les suites (un)_n∈N^∗ et (vn)_n∈N^∗ convergent.

Exercice 8

Montrer que les suites (u_n)_n≥2 et (v_n)_n≥2 d´efinies par :

un =

n−1

X

k=1

1

k²(k+ 1)² et vn=un+ 1 3n², sont adjacentes.

Exercice 9

Soienta₀ etb₀ deux r´eels fix´es. On d´efinit par r´ecurrence les suites (a_n) et (b_n) par a_n+1=

2a_n+b_n

3 et b_n+1= ^an+2b₃ ⁿ.

1. Montrer que ces deux suites sont adjacentes.

2. En calculanta_n+b_n, montrer qu’elles convergent vers ^a0+b₂ ⁰.

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