Atelier n
o5
Gloria Faccanoni C´ edric Galusinski Luc Ponsonnet
UFR Sciences et Techniques de l’Universit´ e de Toulon
13-14 juin 2013
Plan
1 f : R → R
2 f : R n → R
3 f : R 2 → R
Repr´ esentation surfacique Repr´ esentation planaire
Repr´ esentation par lignes de niveau
4 Maxima, minima, points-selle
Plan
1 f : R → R
2 f : R n → R
3 f : R 2 → R
Repr´ esentation surfacique Repr´ esentation planaire
Repr´ esentation par lignes de niveau
4 Maxima, minima, points-selle
UFR Sciences et Techniques de l’Universit´e de Toulon 13-14 juin 2013 Repr´esentation de fonctions num´eriques 3 / 29
Echauffement ´
Exercice 1
Tracer le graphe de la fonction
f : R → R x 7 → x 2
Correction.
−2 −1 1 2
1 2 3 4
x y
Echauffement ´
Exercice 1
Tracer le graphe de la fonction
f : R → R x 7 → x 2
Correction.
−2 −1 1 2
1 2 3 4
x y
UFR Sciences et Techniques de l’Universit´e de Toulon 13-14 juin 2013 Repr´esentation de fonctions num´eriques 4 / 29
Echauffement ´
Exercice 2
Construire une fonction polynomiale en double puits.
−2 −1 1 2
−2
−1 1 2 3 4
x y
−2 −1 1 2
−2
−1 1 2 3 4
x y
x4
−x2
Correction.
f : R → R f : R → R
x 7 → (x
2− 1)(x
2− 4) x 7 → x
4− x
2Echauffement ´
Exercice 2
Construire une fonction polynomiale en double puits.
−2 −1 1 2
−2
−1 1 2 3 4
x y
−2 −1 1 2
−2
−1 1 2 3 4
x y
x4
−x2
Correction.
f : R → R f : R → R
x 7 → (x
2− 1)(x
2− 4) x 7 → x
4− x
2UFR Sciences et Techniques de l’Universit´e de Toulon 13-14 juin 2013 Repr´esentation de fonctions num´eriques 5 / 29
Plan
1 f : R → R
2 f : R n → R
3 f : R 2 → R
Repr´ esentation surfacique Repr´ esentation planaire
Repr´ esentation par lignes de niveau
4 Maxima, minima, points-selle
Introduction
Les fonctions de plusieurs variables sont naturelles, par exemple
la temp´ erature d´ epend de la latitude, de la longitude et du temps : T : R 3 → R
(x , y , t) 7 → T (x, y, t)
le coˆ ut d’une brochure publicitaire d´ epend de son format (A4, A5), du nombre de pages, du nombre de couleurs utilis´ ees. . .
Difficult´ e
Une fonction de n variables se visualise dans un espace ` a n + 1 dimensions (n pour les variables, 1 pour le r´ esultat de la fonction).
UFR Sciences et Techniques de l’Universit´e de Toulon 13-14 juin 2013 Repr´esentation de fonctions num´eriques 7 / 29
Plan
1 f : R → R
2 f : R n → R
3 f : R 2 → R
Repr´ esentation surfacique Repr´ esentation planaire
Repr´ esentation par lignes de niveau
4 Maxima, minima, points-selle
Repr´ esentation surfacique
xy -plane : z = 0 ; xz-plane : y = 0 ; yz-plane : x = 0.
On visualisera le graphe d’une fonction
f : R 2 → R (x , y ) 7 → f (x, y) par l’altitude z = f (x , y ).
UFR Sciences et Techniques de l’Universit´e de Toulon 13-14 juin 2013 Repr´esentation de fonctions num´eriques 9 / 29
Repr´ esentation surfacique
xy -plane : z = 0 ; xz-plane : y = 0 ; yz-plane : x = 0.
On visualisera le graphe d’une fonction
f : R 2 → R
(x , y ) 7 → f (x, y)
par l’altitude z = f (x , y ).
Repr´ esentation surfacique
xy -plane : z = 0 ; xz-plane : y = 0 ; yz-plane : x = 0.
On visualisera le graphe d’une fonction
f : R 2 → R (x , y ) 7 → f (x, y) par l’altitude z = f (x , y ).
UFR Sciences et Techniques de l’Universit´e de Toulon 13-14 juin 2013 Repr´esentation de fonctions num´eriques 9 / 29
Repr´ esentation surfacique
xy -plane : z = 0 ; xz-plane : y = 0 ; yz-plane : x = 0.
On visualisera le graphe d’une fonction
f : R 2 → R
(x , y ) 7 → f (x, y)
par l’altitude z = f (x , y ).
Fonctions partielles et repr´ esentation surfacique
Les fonctions partielles associ´ ees ` a f sont des fonctions de R dans R donn´ees par l’intersection de la surface repr´ esentative de f avec des plans
verticaux parall` eles aux axes
.
Plus rigoureusement, si f : R 2 → R est une fonction et (a, b) un point, les fonctions partielles associ´ ees ` a f s’´ ecrivent
f b : R → R f a : R → R
x 7 → f (x, b) y 7 → f (a, y)
Exemple. (Voir Í )
f 1 (x ) = f (x , 1) f 1 (y ) = f (1, y )
UFR Sciences et Techniques de l’Universit´e de Toulon 13-14 juin 2013 Repr´esentation de fonctions num´eriques 10 / 29
Fonctions partielles et repr´ esentation surfacique
Exercice 3
Deviner la repr´ esentation surfacique des fonctions
f (x , y ) = 1 f (x , y ) = x 2 f (x , y ) = x 2 + y 2
Correction. (Voir Í )
f
b(x ) = 1 f
a(y ) = 1
f
b(x ) = x
2f
a(y ) = a
2f
b(x ) = x
2+ b
2f
a(y ) = y
2+ a
2Fonctions partielles et repr´ esentation surfacique
Exercice 3
Deviner la repr´ esentation surfacique des fonctions
f (x , y ) = 1 f (x , y ) = x 2 f (x , y ) = x 2 + y 2
Correction. (Voir Í )
-2,6 2,4 1,4 -1,6
0,4 x-0,6 0,0
-0,6 y
0,4 0,5
-1,6 1,4
1,0
-2,6 2,4
1,5 2,0
f
b(x ) = 1 f
a(y ) = 1
f
b(x ) = x
2f
a(y ) = a
2f
b(x ) = x
2+ b
2f
a(y ) = y
2+ a
2UFR Sciences et Techniques de l’Universit´e de Toulon 13-14 juin 2013 Repr´esentation de fonctions num´eriques 11 / 29
Fonctions partielles et repr´ esentation surfacique
Exercice 3
Deviner la repr´ esentation surfacique des fonctions
f (x , y ) = 1 f (x , y ) = x 2 f (x , y ) = x 2 + y 2
Correction. (Voir Í )
-2,6 2,4 1,4 -1,6
0,4 x-0,6 0,0
-0,6 y
0,4 0,5
-1,6 1,4
1,0
-2,6 2,4
1,5 2,0
f
b(x ) = 1 f
a(y ) = 1
-2,6 -2,6
y x
-1,6 -1,6
-0,6 0-0,6 0,40,4
1 2
1,4 1,4
3 4 5 6
f
b(x ) = x
2f
a(y ) = a
2f
b(x ) = x
2+ b
2f
a(y ) = y
2+ a
2Fonctions partielles et repr´ esentation surfacique
Exercice 3
Deviner la repr´ esentation surfacique des fonctions
f (x , y ) = 1 f (x , y ) = x 2 f (x , y ) = x 2 + y 2
Correction. (Voir Í )
-2,6 2,4 1,4 -1,6
0,4 x-0,6 0,0
-0,6 y
0,4 0,5
-1,6 1,4
1,0
-2,6 2,4
1,5 2,0
f
b(x ) = 1 f
a(y ) = 1
-2,6 -2,6
y x
-1,6 -1,6
-0,6 0-0,6 0,40,4
1 2
1,4 1,4
3 4 5 6
f
b(x ) = x
2f
a(y ) = a
2-2,6 -2,6-1,6yx-1,6
-0,6-0,6 0,0 0,4
0,4 1,4
2,5
1,4 2,4
5,0
2,4 7,5 10,0 12,5
f
b(x ) = x
2+ b
2f
a(y ) = y
2+ a
2UFR Sciences et Techniques de l’Universit´e de Toulon 13-14 juin 2013 Repr´esentation de fonctions num´eriques 11 / 29
Repr´ esentation planaire
Les nuances de gris d’une photo noir et blanc sont la repr´ esentation d’une fonction d´ efinie sur un rectangle ` a valeurs dans l’intervalle [0; 1] : 0 noir, 1 blanc.
On parle de repr´ esentation planaire.
Exemple. Repr´ esentation planaire et surfacique de la fonction f : R 2 → R
(x , y ) 7 → x 2 + y 2
-5,0 -2,5 y
0,0 2,5
5,0 -5,0 -2,5 0,0 2,5 x 0 5,0 10 20 30 40 50
5,0
2,5
y 0,0
-2,5
-5,0
-5,0 -2,5 0,0 2,5 5,0
x
Cartes m´ et´ eorologiques
Sur une carte
m´ et´ eorologique, les nuances de couleur sont la
repr´ esentation de la temp´ erature : ici on va du vert (≈ 7 ◦ C) au rouge (≈ 25 ◦ C).
7 ◦ C 25 ◦ C
UFR Sciences et Techniques de l’Universit´e de Toulon 13-14 juin 2013 Repr´esentation de fonctions num´eriques 13 / 29
Repr´ esentation par lignes de niveau
La courbe de niveau k est la projection sur le plan d’´ equation z = 0 de
l’intersection de la surface repr´ esentative de f avec le plan horizontal z = k.
Repr´ esentation par lignes de niveau
Exemple. Repr´ esentation par lignes de niveau et surfacique de la fonction f : R 2 → R
(x , y ) 7 → x 2 + y 2
5,0
2,5
y 0,0
-2,5
-5,0
-2,5 0,0
-5,0 2,5 5,0
x
-5,0 -2,5 y
0,0 2,5
5,0 -5,0 -2,5 0,0 2,5 x 0 5,0 10 20 30 40 50
UFR Sciences et Techniques de l’Universit´e de Toulon 13-14 juin 2013 Repr´esentation de fonctions num´eriques 15 / 29
Repr´ esentation par lignes de niveau
Exercice 4
Consid´ erons une fonction f dont les courbes de niveau sont les suivantes :
Donner une estimation de f (1; 3), f (4; 5) et f (3; 3).
Correction. f (1; 3) ≈ 72 et f (4; 5) ≈ 56 ; soit 40 < f (3; 3) < 50 soit 50 < f (3; 3) < 60.
Repr´ esentation par lignes de niveau
Exercice 4
Consid´ erons une fonction f dont les courbes de niveau sont les suivantes :
Donner une estimation de f (1; 3), f (4; 5) et f (3; 3).
Correction. f (1; 3) ≈ 72 et f (4; 5) ≈ 56 ; soit 40 < f (3; 3) < 50 soit 50 < f (3; 3) < 60.
UFR Sciences et Techniques de l’Universit´e de Toulon 13-14 juin 2013 Repr´esentation de fonctions num´eriques 16 / 29
Cartes m´ et´ eorologiques
Sur une carte
m´ et´ eorologique, les courbes de niveau sont les
isothermes (lignes reliant les
points d’´ egale temp´ erature)
ou les isobares (lignes reliant
les points d’´ egale pression).
Repr´ esentation par lignes de niveau
Exercice 5
Isobares de l’Am´ erique du Nord au 12 aoˆ ut 2008.
La pression indiqu´ ee est mesur´ ee en millibars (mbar).
1
Donner une estimation de la pression
` a Nashville (point N),
` a Chicago (point C),
` a San Francisco (point S) et ` a Vancouver (point V).
2
Dans quelle ville le vent est le plus fort ?
Correction.
1
Au point N la pression est de 1012 mbar environ, au point C la pression est de 1013 mbar environ, au point S la pression est de 1010 mbar environ,
au point V la pression est comprise entre 1016 mbar et 1020 mbar ou entre 1012 mbar et 1016 mbar.
2
Le vent est plus fort ` a San Francisco car les lignes de pression sont le plus rapproch´ ees.
UFR Sciences et Techniques de l’Universit´e de Toulon 13-14 juin 2013 Repr´esentation de fonctions num´eriques 18 / 29
Repr´ esentation par lignes de niveau
Exercice 5
Isobares de l’Am´ erique du Nord au 12 aoˆ ut 2008.
La pression indiqu´ ee est mesur´ ee en millibars (mbar).
1
Donner une estimation de la pression
` a Nashville (point N),
` a Chicago (point C),
` a San Francisco (point S) et ` a Vancouver (point V).
2
Dans quelle ville le vent est le plus fort ?
Correction.
1
Au point N la pression est de 1012 mbar environ, au point C la pression est de 1013 mbar environ, au point S la pression est de 1010 mbar environ,
au point V la pression est comprise entre 1016 mbar et 1020 mbar ou entre
1012 mbar et 1016 mbar.
Repr´ esentation par lignes de niveau
Exercice 6
D´ eterminer les courbes de niveau des fonctions suivantes :
f (x , y ) = x , f (x , y ) = y + 1, f (x , y ) = x + y − 1.
Correction. (Voir Í )
UFR Sciences et Techniques de l’Universit´e de Toulon 13-14 juin 2013 Repr´esentation de fonctions num´eriques 19 / 29
Repr´ esentation par lignes de niveau
Exercice 6
D´ eterminer les courbes de niveau des fonctions suivantes :
f (x , y ) = x , f (x , y ) = y + 1, f (x , y ) = x + y − 1.
Correction. (Voir Í )
f (x , y ) = x :
f (x , y ) = κ ssi x = κ, les courbes de niveau sont donc des droites verticales et la surface repr´ esentative de f est un plan.
2
1
y 0
-1
-2
1
-1 0 2
-2 x
2 -2 1
2 0
-1
1 x 0
-1 y0 -1 1
-2 -2 2
Repr´ esentation par lignes de niveau
Exercice 6
D´ eterminer les courbes de niveau des fonctions suivantes :
f (x , y ) = x , f (x , y ) = y + 1, f (x , y ) = x + y − 1.
Correction. (Voir Í )
f (x , y ) = y + 1 :
f (x , y ) = κ ssi y = κ − 1, les courbes de niveau sont donc des droites horizontales et la surface repr´ esentative de f est un plan.
2
1
y 0
-1
-2 -1
-2 0 1 2
x
2 -1 1
2 0
0
1 x 1
-1 y0 -1 2
-2 -2 3
UFR Sciences et Techniques de l’Universit´e de Toulon 13-14 juin 2013 Repr´esentation de fonctions num´eriques 19 / 29
Repr´ esentation par lignes de niveau
Exercice 6
D´ eterminer les courbes de niveau des fonctions suivantes :
f (x , y ) = x , f (x , y ) = y + 1, f (x , y ) = x + y − 1.
Correction. (Voir Í )
f (x , y ) = x + y − 1 :
f (x , y ) = κ ssi y = −x + (κ + 1), les courbes de niveau sont donc des droites de pente −1 et la surface repr´ esentative de f est un plan.
2
1
0 y
-1
-2
2
-1 0 1
-2 x
2 -2,8 1
2 0
-0,8
1 x 1,2
-1 y0 -1 3,2
-2 -2
Repr´ esentation par lignes de niveau
Exercice 7
Associer chaque repr´ esentation par courbes de niveau (I-VI) ` a sa repr´ esentation surfacique (A-F).
Correction. (Voir Í ) I-F, II-C, III-E, IV-A, V-D, VI-B.
UFR Sciences et Techniques de l’Universit´e de Toulon 13-14 juin 2013 Repr´esentation de fonctions num´eriques 20 / 29
Repr´ esentation par lignes de niveau
Exercice 7
Associer chaque repr´ esentation par courbes de niveau (I-VI) ` a sa repr´ esentation surfacique (A-F).
Correction. (Voir Í ) I-F, II-C, III-E, IV-A, V-D, VI-B.
Plan
1 f : R → R
2 f : R n → R
3 f : R 2 → R
Repr´ esentation surfacique Repr´ esentation planaire
Repr´ esentation par lignes de niveau
4 Maxima, minima, points-selle
UFR Sciences et Techniques de l’Universit´e de Toulon 13-14 juin 2013 Repr´esentation de fonctions num´eriques 21 / 29
Maximum, minimum, point-selle
Point-selle (ou col)
-2,6 -1,6 -0,6 0,4y 2,4
-6,5 1,4
x
1,4 0,4
-4,0
-0,6 -1,6 -2,6 2,4 -1,5
1,0 3,5 6,0
2,4
1,4
0,4 y
-0,6
-1,6
-2,6
-0,6 0,4
-1,6 1,4
-2,6 2,4
x
Exercice 8
Deviner la d´ efinition math´ ematique d’un col.
Identifier la ligne de crˆ ete. Identifier la route la plus courte pour franchir le col. Que peut-on dire sur les lignes de niveau ?
Correction. Minimum le long d’une direction, maximum le long d’une autre direction. Le chemin le plus court est aussi celui qui est le plus
pentu
.
Le mot col vient de l’exemple de la fonction altitude et de la configuration (id´ ealis´ ee) d’un col de montagne : minimum de la ligne de crˆ ete, maximum de la route, sans ˆ etre un extremum du paysage. Le mot selle vient de l’exemple d’une selle de cheval.
UFR Sciences et Techniques de l’Universit´e de Toulon 13-14 juin 2013 Repr´esentation de fonctions num´eriques 23 / 29
Point-selle (ou col)
-2,6 -1,6 -0,6 0,4y 2,4
-6,5 1,4
x
1,4 0,4
-4,0
-0,6 -1,6 -2,6 2,4 -1,5
1,0 3,5 6,0
2,4
1,4
0,4 y
-0,6
-1,6
-2,6
-0,6 0,4
-1,6 1,4
-2,6 2,4
x
Exercice 8
Deviner la d´ efinition math´ ematique d’un col.
Identifier la ligne de crˆ ete. Identifier la route la plus courte pour franchir le col. Que peut-on dire sur les lignes de niveau ?
Correction. Minimum le long d’une direction, maximum le long d’une autre direction. Le chemin le plus court est aussi celui qui est le plus
pentu
.
Le mot col vient de l’exemple de la fonction altitude et de la configuration (id´ ealis´ ee) d’un col
de montagne : minimum de la ligne de crˆ ete, maximum de la route, sans ˆ etre un extremum du
Maximum, minimum, point-selle
Exercice 9
A partir de la carte des courbes de ni- ` veau localiser les maxima/minima et les points-selle.
Correction.
UFR Sciences et Techniques de l’Universit´e de Toulon 13-14 juin 2013 Repr´esentation de fonctions num´eriques 24 / 29
Maximum, minimum, point-selle
Exercice 9
A partir de la carte des courbes de ni- ` veau localiser les maxima/minima et les points-selle.
Correction. (Voir Í ) Il s’agit de la fonction f (x , y ) = 4 + x
3+ y
3− 3xy .
x
K2 K1 0 1
y
K2 K1 0 1
2
-242 1
1 0
-14
0 x -1
y -1
-4
-2 -2 6 16
Maximum, minimum, point-selle
Exercice 9
A partir de la carte des courbes de ni- ` veau localiser les maxima/minima et les points-selle.
Correction.
Le point (1, 1) est entour´ e par des courbes de niveau qui sont de forme ovale et qui indiquent que si nous nous ´ eloignons du point dans n’importe quelle direction les valeurs de f augmentent : il s’agit d’un minimum local.
Les courbes de niveau proches du point (0, 0) ressemblent ` a des hyperboles, et si nous nous ´ eloignons de l’origine, les valeurs de f augmentent dans certaines directions et diminuent dans d’autres : il s’agit d’un point-selle.
UFR Sciences et Techniques de l’Universit´e de Toulon 13-14 juin 2013 Repr´esentation de fonctions num´eriques 24 / 29
Cartes topographiques du relief
Sur une carte topographique, les courbes de niveau d´ esignent les points de mˆ eme altitude.
On observe sur l’extrait de carte ci-contre de l’institut G´ eographique National (IGN), des courbes qui donnent une id´ ee du relief (Massif du Sancy). Elles repr´ esentent des coupes horizontales successives du terrain ` a des altitudes qui varient de 10 m` etres en 10 m` etres. Tous les points de mˆ eme altitude sont situ´ es sur la mˆ eme courbe de niveau.
Exercice 10
1
Compl´ eter le tableau
Point A B C D E F G
Altitude 1370
2
Lorsque les courbes de niveau se resserrent, que peut-on dire du relief ?
3
La rivi` ere coule-t-elle d’est en ouest ou vice-versa ?
Correction.
Les endroits du relief o` u les pentes sont plus escarp´ ees ou plus douces correspondent
respectivement aux courbes de niveau tr` es rapproch´ ees ou tr` es distantes. La rivi` ere coule de l’est ` a l’ouest.
Cartes topographiques du relief
Sur une carte topographique, les courbes de niveau d´ esignent les points de mˆ eme altitude.
On observe sur l’extrait de carte ci-contre de l’institut G´ eographique National (IGN), des courbes qui donnent une id´ ee du relief (Massif du Sancy). Elles repr´ esentent des coupes horizontales successives du terrain ` a des altitudes qui varient de 10 m` etres en 10 m` etres. Tous les points de mˆ eme altitude sont situ´ es sur la mˆ eme courbe de niveau.
Exercice 10
1
Compl´ eter le tableau
Point A B C D E F G
Altitude 1370
2
Lorsque les courbes de niveau se resserrent, que peut-on dire du relief ?
3
La rivi` ere coule-t-elle d’est en ouest ou vice-versa ?
Correction.
Les endroits du relief o` u les pentes sont plus escarp´ ees ou plus douces correspondent respectivement aux courbes de niveau tr` es rapproch´ ees ou tr` es distantes. La rivi` ere coule de l’est ` a l’ouest.
UFR Sciences et Techniques de l’Universit´e de Toulon 13-14 juin 2013 Repr´esentation de fonctions num´eriques 25 / 29
Cartes topographiques du relief
Sur une carte topographique, les courbes de niveau d´ esignent les points de mˆ eme altitude.
On observe sur l’extrait de carte ci-contre de l’institut G´ eographique National (IGN), des courbes qui donnent une id´ ee du relief (Massif du Sancy). Elles repr´ esentent des coupes horizontales successives du terrain ` a des altitudes qui varient de 10 m` etres en 10 m` etres. Tous les points de mˆ eme altitude sont situ´ es sur la mˆ eme courbe de niveau.
Exercice 10
1
Compl´ eter le tableau
Point A B C D E F G
Altitude
14701370
1380 1470 1400 1460 15202
Lorsque les courbes de niveau se resserrent, que peut-on dire du relief ?
3
La rivi` ere coule-t-elle d’est en ouest ou vice-versa ?
Correction. Les endroits du relief o`u les pentes sont plus escarp´ees ou plus douces correspondent respectivement aux courbes de niveau tr`es rapproch´ees ou tr`es distantes. La rivi`ere coule de l’est `a l’ouest.
Fleuve 1
Exercice 11
Deviner l’expression d’une fonction dont l’iso-0 (c’est-` a-dire la ligne de niveau 0) repr´ esente la berge d’un fleuve rectiligne :
Correction.
f : R
2→ R
(x , y ) 7 → f (x, y) = y
2UFR Sciences et Techniques de l’Universit´e de Toulon 13-14 juin 2013 Repr´esentation de fonctions num´eriques 26 / 29
Fleuve 1
Exercice 11
Deviner l’expression d’une fonction dont l’iso-0 (c’est-` a-dire la ligne de niveau 0) repr´ esente la berge d’un fleuve rectiligne :
Correction.
f : R
2→ R
(x , y ) 7 → f (x, y) = y
2Fleuve 2
Exercice 12
Modifier la fonction pr´ ec´ edente pour que l’eau coule dans la direction des x positifs :
Correction.
f : R
2→ R
(x , y ) 7 → f (x, y) = y
2− x 10
UFR Sciences et Techniques de l’Universit´e de Toulon 13-14 juin 2013 Repr´esentation de fonctions num´eriques 27 / 29
Fleuve 2
Exercice 12
Modifier la fonction pr´ ec´ edente pour que l’eau coule dans la direction des x positifs :
Correction.
f : R
2→ R
(x , y ) 7 → f (x, y) = y
2− x
10
Fleuve 3
Exercice 13
Deviner l’expression d’une fonction dont l’iso-0 repr´ esente la berge d’un fleuve rectiligne qui s’est s´ epar´ e en deux affluents. Modifier ensuite la fonction pour que l’eau coule dans la direction des x positifs :
Correction.
f : R
2→ R f : R
2→ R
(x , y ) 7 → f (x, y) = y
4− y
2(x , y ) 7 → f (x, y) = y
4− y
2− x 10
UFR Sciences et Techniques de l’Universit´e de Toulon 13-14 juin 2013 Repr´esentation de fonctions num´eriques 28 / 29
Fleuve 3
Exercice 13
Deviner l’expression d’une fonction dont l’iso-0 repr´ esente la berge d’un fleuve rectiligne qui s’est s´ epar´ e en deux affluents. Modifier ensuite la fonction pour que l’eau coule dans la direction des x positifs :
Correction.
f : R
2→ R f : R
2→ R
(x , y ) 7 → f (x, y) = y
4− y
2(x , y ) 7 → f (x, y) = y
4− y
2− x
10
Fonctions radiales
On pose r = p
x 2 + y 2 (distance ` a l’origine).
On s’int´ eresse au cas particulier f (x , y ) = g (r ).
Exercice 14
Trouver l’expression d’une fonction qui pr´ esente un
canyon
circulaire :
Correction. (Voir Í )
g : R → R g : R → R
r 7 → (r
2− 1)(r
2− 4) r 7 → r
4− r
2UFR Sciences et Techniques de l’Universit´e de Toulon 13-14 juin 2013 Repr´esentation de fonctions num´eriques 29 / 29