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Repr´esentation de fonctions num´eriques Atelier n

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Texte intégral

(1)

Atelier n

o

5

Gloria Faccanoni C´ edric Galusinski Luc Ponsonnet

UFR Sciences et Techniques de l’Universit´ e de Toulon

13-14 juin 2013

(2)

Plan

1 f : R → R

2 f : R n → R

3 f : R 2 → R

Repr´ esentation surfacique Repr´ esentation planaire

Repr´ esentation par lignes de niveau

4 Maxima, minima, points-selle

(3)

Plan

1 f : R → R

2 f : R n → R

3 f : R 2 → R

Repr´ esentation surfacique Repr´ esentation planaire

Repr´ esentation par lignes de niveau

4 Maxima, minima, points-selle

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(4)

Echauffement ´

Exercice 1

Tracer le graphe de la fonction

f : R → R x 7 → x 2

Correction.

−2 −1 1 2

1 2 3 4

x y

(5)

Echauffement ´

Exercice 1

Tracer le graphe de la fonction

f : R → R x 7 → x 2

Correction.

−2 −1 1 2

1 2 3 4

x y

UFR Sciences et Techniques de l’Universit´e de Toulon 13-14 juin 2013 Repr´esentation de fonctions num´eriques 4 / 29

(6)

Echauffement ´

Exercice 2

Construire une fonction polynomiale en double puits.

−2 −1 1 2

−2

−1 1 2 3 4

x y

−2 −1 1 2

−2

−1 1 2 3 4

x y

x4

−x2

Correction.

f : R → R f : R → R

x 7 → (x

2

− 1)(x

2

− 4) x 7 → x

4

− x

2

(7)

Echauffement ´

Exercice 2

Construire une fonction polynomiale en double puits.

−2 −1 1 2

−2

−1 1 2 3 4

x y

−2 −1 1 2

−2

−1 1 2 3 4

x y

x4

−x2

Correction.

f : R → R f : R → R

x 7 → (x

2

− 1)(x

2

− 4) x 7 → x

4

− x

2

UFR Sciences et Techniques de l’Universit´e de Toulon 13-14 juin 2013 Repr´esentation de fonctions num´eriques 5 / 29

(8)

Plan

1 f : R → R

2 f : R n → R

3 f : R 2 → R

Repr´ esentation surfacique Repr´ esentation planaire

Repr´ esentation par lignes de niveau

4 Maxima, minima, points-selle

(9)

Introduction

Les fonctions de plusieurs variables sont naturelles, par exemple

la temp´ erature d´ epend de la latitude, de la longitude et du temps : T : R 3 → R

(x , y , t) 7 → T (x, y, t)

le coˆ ut d’une brochure publicitaire d´ epend de son format (A4, A5), du nombre de pages, du nombre de couleurs utilis´ ees. . .

Difficult´ e

Une fonction de n variables se visualise dans un espace ` a n + 1 dimensions (n pour les variables, 1 pour le r´ esultat de la fonction).

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(10)

Plan

1 f : R → R

2 f : R n → R

3 f : R 2 → R

Repr´ esentation surfacique Repr´ esentation planaire

Repr´ esentation par lignes de niveau

4 Maxima, minima, points-selle

(11)

Repr´ esentation surfacique

xy -plane : z = 0 ; xz-plane : y = 0 ; yz-plane : x = 0.

On visualisera le graphe d’une fonction

f : R 2 → R (x , y ) 7 → f (x, y) par l’altitude z = f (x , y ).

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(12)

Repr´ esentation surfacique

xy -plane : z = 0 ; xz-plane : y = 0 ; yz-plane : x = 0.

On visualisera le graphe d’une fonction

f : R 2 → R

(x , y ) 7 → f (x, y)

par l’altitude z = f (x , y ).

(13)

Repr´ esentation surfacique

xy -plane : z = 0 ; xz-plane : y = 0 ; yz-plane : x = 0.

On visualisera le graphe d’une fonction

f : R 2 → R (x , y ) 7 → f (x, y) par l’altitude z = f (x , y ).

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(14)

Repr´ esentation surfacique

xy -plane : z = 0 ; xz-plane : y = 0 ; yz-plane : x = 0.

On visualisera le graphe d’une fonction

f : R 2 → R

(x , y ) 7 → f (x, y)

par l’altitude z = f (x , y ).

(15)

Fonctions partielles et repr´ esentation surfacique

Les fonctions partielles associ´ ees ` a f sont des fonctions de R dans R donn´ees par l’intersection de la surface repr´ esentative de f avec des plans



verticaux parall` eles aux axes



.

Plus rigoureusement, si f : R 2 → R est une fonction et (a, b) un point, les fonctions partielles associ´ ees ` a f s’´ ecrivent

f b : R → R f a : R → R

x 7 → f (x, b) y 7 → f (a, y)

Exemple. (Voir Í )

f 1 (x ) = f (x , 1) f 1 (y ) = f (1, y )

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(16)

Fonctions partielles et repr´ esentation surfacique

Exercice 3

Deviner la repr´ esentation surfacique des fonctions

f (x , y ) = 1 f (x , y ) = x 2 f (x , y ) = x 2 + y 2

Correction. (Voir Í )

f

b

(x ) = 1 f

a

(y ) = 1

f

b

(x ) = x

2

f

a

(y ) = a

2

f

b

(x ) = x

2

+ b

2

f

a

(y ) = y

2

+ a

2

(17)

Fonctions partielles et repr´ esentation surfacique

Exercice 3

Deviner la repr´ esentation surfacique des fonctions

f (x , y ) = 1 f (x , y ) = x 2 f (x , y ) = x 2 + y 2

Correction. (Voir Í )

-2,6 2,4 1,4 -1,6

0,4 x-0,6 0,0

-0,6 y

0,4 0,5

-1,6 1,4

1,0

-2,6 2,4

1,5 2,0

f

b

(x ) = 1 f

a

(y ) = 1

f

b

(x ) = x

2

f

a

(y ) = a

2

f

b

(x ) = x

2

+ b

2

f

a

(y ) = y

2

+ a

2

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(18)

Fonctions partielles et repr´ esentation surfacique

Exercice 3

Deviner la repr´ esentation surfacique des fonctions

f (x , y ) = 1 f (x , y ) = x 2 f (x , y ) = x 2 + y 2

Correction. (Voir Í )

-2,6 2,4 1,4 -1,6

0,4 x-0,6 0,0

-0,6 y

0,4 0,5

-1,6 1,4

1,0

-2,6 2,4

1,5 2,0

f

b

(x ) = 1 f

a

(y ) = 1

-2,6 -2,6

y x

-1,6 -1,6

-0,6 0-0,6 0,40,4

1 2

1,4 1,4

3 4 5 6

f

b

(x ) = x

2

f

a

(y ) = a

2

f

b

(x ) = x

2

+ b

2

f

a

(y ) = y

2

+ a

2

(19)

Fonctions partielles et repr´ esentation surfacique

Exercice 3

Deviner la repr´ esentation surfacique des fonctions

f (x , y ) = 1 f (x , y ) = x 2 f (x , y ) = x 2 + y 2

Correction. (Voir Í )

-2,6 2,4 1,4 -1,6

0,4 x-0,6 0,0

-0,6 y

0,4 0,5

-1,6 1,4

1,0

-2,6 2,4

1,5 2,0

f

b

(x ) = 1 f

a

(y ) = 1

-2,6 -2,6

y x

-1,6 -1,6

-0,6 0-0,6 0,40,4

1 2

1,4 1,4

3 4 5 6

f

b

(x ) = x

2

f

a

(y ) = a

2

-2,6 -2,6-1,6yx-1,6

-0,6-0,6 0,0 0,4

0,4 1,4

2,5

1,4 2,4

5,0

2,4 7,5 10,0 12,5

f

b

(x ) = x

2

+ b

2

f

a

(y ) = y

2

+ a

2

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(20)

Repr´ esentation planaire

Les nuances de gris d’une photo noir et blanc sont la repr´ esentation d’une fonction d´ efinie sur un rectangle ` a valeurs dans l’intervalle [0; 1] : 0 noir, 1 blanc.

On parle de repr´ esentation planaire.

Exemple. Repr´ esentation planaire et surfacique de la fonction f : R 2 → R

(x , y ) 7 → x 2 + y 2

-5,0 -2,5 y

0,0 2,5

5,0 -5,0 -2,5 0,0 2,5 x 0 5,0 10 20 30 40 50

5,0

2,5

y 0,0

-2,5

-5,0

-5,0 -2,5 0,0 2,5 5,0

x

(21)

Cartes m´ et´ eorologiques

Sur une carte

m´ et´ eorologique, les nuances de couleur sont la

repr´ esentation de la temp´ erature : ici on va du vert (≈ 7 C) au rouge (≈ 25 C).

7 C 25 C

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(22)

Repr´ esentation par lignes de niveau

La courbe de niveau k est la projection sur le plan d’´ equation z = 0 de

l’intersection de la surface repr´ esentative de f avec le plan horizontal z = k.

(23)

Repr´ esentation par lignes de niveau

Exemple. Repr´ esentation par lignes de niveau et surfacique de la fonction f : R 2 → R

(x , y ) 7 → x 2 + y 2

5,0

2,5

y 0,0

-2,5

-5,0

-2,5 0,0

-5,0 2,5 5,0

x

-5,0 -2,5 y

0,0 2,5

5,0 -5,0 -2,5 0,0 2,5 x 0 5,0 10 20 30 40 50

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(24)

Repr´ esentation par lignes de niveau

Exercice 4

Consid´ erons une fonction f dont les courbes de niveau sont les suivantes :

Donner une estimation de f (1; 3), f (4; 5) et f (3; 3).

Correction. f (1; 3) ≈ 72 et f (4; 5) ≈ 56 ; soit 40 < f (3; 3) < 50 soit 50 < f (3; 3) < 60.

(25)

Repr´ esentation par lignes de niveau

Exercice 4

Consid´ erons une fonction f dont les courbes de niveau sont les suivantes :

Donner une estimation de f (1; 3), f (4; 5) et f (3; 3).

Correction. f (1; 3) ≈ 72 et f (4; 5) ≈ 56 ; soit 40 < f (3; 3) < 50 soit 50 < f (3; 3) < 60.

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(26)

Cartes m´ et´ eorologiques

Sur une carte

m´ et´ eorologique, les courbes de niveau sont les

isothermes (lignes reliant les

points d’´ egale temp´ erature)

ou les isobares (lignes reliant

les points d’´ egale pression).

(27)

Repr´ esentation par lignes de niveau

Exercice 5

Isobares de l’Am´ erique du Nord au 12 aoˆ ut 2008.

La pression indiqu´ ee est mesur´ ee en millibars (mbar).

1

Donner une estimation de la pression

` a Nashville (point N),

` a Chicago (point C),

` a San Francisco (point S) et ` a Vancouver (point V).

2

Dans quelle ville le vent est le plus fort ?

Correction.

1

Au point N la pression est de 1012 mbar environ, au point C la pression est de 1013 mbar environ, au point S la pression est de 1010 mbar environ,

au point V la pression est comprise entre 1016 mbar et 1020 mbar ou entre 1012 mbar et 1016 mbar.

2

Le vent est plus fort ` a San Francisco car les lignes de pression sont le plus rapproch´ ees.

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(28)

Repr´ esentation par lignes de niveau

Exercice 5

Isobares de l’Am´ erique du Nord au 12 aoˆ ut 2008.

La pression indiqu´ ee est mesur´ ee en millibars (mbar).

1

Donner une estimation de la pression

` a Nashville (point N),

` a Chicago (point C),

` a San Francisco (point S) et ` a Vancouver (point V).

2

Dans quelle ville le vent est le plus fort ?

Correction.

1

Au point N la pression est de 1012 mbar environ, au point C la pression est de 1013 mbar environ, au point S la pression est de 1010 mbar environ,

au point V la pression est comprise entre 1016 mbar et 1020 mbar ou entre

1012 mbar et 1016 mbar.

(29)

Repr´ esentation par lignes de niveau

Exercice 6

D´ eterminer les courbes de niveau des fonctions suivantes :

f (x , y ) = x , f (x , y ) = y + 1, f (x , y ) = x + y − 1.

Correction. (Voir Í )

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(30)

Repr´ esentation par lignes de niveau

Exercice 6

D´ eterminer les courbes de niveau des fonctions suivantes :

f (x , y ) = x , f (x , y ) = y + 1, f (x , y ) = x + y − 1.

Correction. (Voir Í )

f (x , y ) = x :

f (x , y ) = κ ssi x = κ, les courbes de niveau sont donc des droites verticales et la surface repr´ esentative de f est un plan.

2

1

y 0

-1

-2

1

-1 0 2

-2 x

2 -2 1

2 0

-1

1 x 0

-1 y0 -1 1

-2 -2 2

(31)

Repr´ esentation par lignes de niveau

Exercice 6

D´ eterminer les courbes de niveau des fonctions suivantes :

f (x , y ) = x , f (x , y ) = y + 1, f (x , y ) = x + y − 1.

Correction. (Voir Í )

f (x , y ) = y + 1 :

f (x , y ) = κ ssi y = κ − 1, les courbes de niveau sont donc des droites horizontales et la surface repr´ esentative de f est un plan.

2

1

y 0

-1

-2 -1

-2 0 1 2

x

2 -1 1

2 0

0

1 x 1

-1 y0 -1 2

-2 -2 3

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(32)

Repr´ esentation par lignes de niveau

Exercice 6

D´ eterminer les courbes de niveau des fonctions suivantes :

f (x , y ) = x , f (x , y ) = y + 1, f (x , y ) = x + y − 1.

Correction. (Voir Í )

f (x , y ) = x + y − 1 :

f (x , y ) = κ ssi y = −x + (κ + 1), les courbes de niveau sont donc des droites de pente −1 et la surface repr´ esentative de f est un plan.

2

1

0 y

-1

-2

2

-1 0 1

-2 x

2 -2,8 1

2 0

-0,8

1 x 1,2

-1 y0 -1 3,2

-2 -2

(33)

Repr´ esentation par lignes de niveau

Exercice 7

Associer chaque repr´ esentation par courbes de niveau (I-VI) ` a sa repr´ esentation surfacique (A-F).

Correction. (Voir Í ) I-F, II-C, III-E, IV-A, V-D, VI-B.

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(34)

Repr´ esentation par lignes de niveau

Exercice 7

Associer chaque repr´ esentation par courbes de niveau (I-VI) ` a sa repr´ esentation surfacique (A-F).

Correction. (Voir Í ) I-F, II-C, III-E, IV-A, V-D, VI-B.

(35)

Plan

1 f : R → R

2 f : R n → R

3 f : R 2 → R

Repr´ esentation surfacique Repr´ esentation planaire

Repr´ esentation par lignes de niveau

4 Maxima, minima, points-selle

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(36)

Maximum, minimum, point-selle

(37)

Point-selle (ou col)

-2,6 -1,6 -0,6 0,4y 2,4

-6,5 1,4

x

1,4 0,4

-4,0

-0,6 -1,6 -2,6 2,4 -1,5

1,0 3,5 6,0

2,4

1,4

0,4 y

-0,6

-1,6

-2,6

-0,6 0,4

-1,6 1,4

-2,6 2,4

x

Exercice 8

Deviner la d´ efinition math´ ematique d’un col.

Identifier la ligne de crˆ ete. Identifier la route la plus courte pour franchir le col. Que peut-on dire sur les lignes de niveau ?

Correction. Minimum le long d’une direction, maximum le long d’une autre direction. Le chemin le plus court est aussi celui qui est le plus



pentu



.

Le mot col vient de l’exemple de la fonction altitude et de la configuration (id´ ealis´ ee) d’un col de montagne : minimum de la ligne de crˆ ete, maximum de la route, sans ˆ etre un extremum du paysage. Le mot selle vient de l’exemple d’une selle de cheval.

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(38)

Point-selle (ou col)

-2,6 -1,6 -0,6 0,4y 2,4

-6,5 1,4

x

1,4 0,4

-4,0

-0,6 -1,6 -2,6 2,4 -1,5

1,0 3,5 6,0

2,4

1,4

0,4 y

-0,6

-1,6

-2,6

-0,6 0,4

-1,6 1,4

-2,6 2,4

x

Exercice 8

Deviner la d´ efinition math´ ematique d’un col.

Identifier la ligne de crˆ ete. Identifier la route la plus courte pour franchir le col. Que peut-on dire sur les lignes de niveau ?

Correction. Minimum le long d’une direction, maximum le long d’une autre direction. Le chemin le plus court est aussi celui qui est le plus



pentu



.

Le mot col vient de l’exemple de la fonction altitude et de la configuration (id´ ealis´ ee) d’un col

de montagne : minimum de la ligne de crˆ ete, maximum de la route, sans ˆ etre un extremum du

(39)

Maximum, minimum, point-selle

Exercice 9

A partir de la carte des courbes de ni- ` veau localiser les maxima/minima et les points-selle.

Correction.

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(40)

Maximum, minimum, point-selle

Exercice 9

A partir de la carte des courbes de ni- ` veau localiser les maxima/minima et les points-selle.

Correction. (Voir Í ) Il s’agit de la fonction f (x , y ) = 4 + x

3

+ y

3

− 3xy .

x

K2 K1 0 1

y

K2 K1 0 1

2

-242 1

1 0

-14

0 x -1

y -1

-4

-2 -2 6 16

(41)

Maximum, minimum, point-selle

Exercice 9

A partir de la carte des courbes de ni- ` veau localiser les maxima/minima et les points-selle.

Correction.

Le point (1, 1) est entour´ e par des courbes de niveau qui sont de forme ovale et qui indiquent que si nous nous ´ eloignons du point dans n’importe quelle direction les valeurs de f augmentent : il s’agit d’un minimum local.

Les courbes de niveau proches du point (0, 0) ressemblent ` a des hyperboles, et si nous nous ´ eloignons de l’origine, les valeurs de f augmentent dans certaines directions et diminuent dans d’autres : il s’agit d’un point-selle.

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(42)

Cartes topographiques du relief

Sur une carte topographique, les courbes de niveau d´ esignent les points de mˆ eme altitude.

On observe sur l’extrait de carte ci-contre de l’institut G´ eographique National (IGN), des courbes qui donnent une id´ ee du relief (Massif du Sancy). Elles repr´ esentent des coupes horizontales successives du terrain ` a des altitudes qui varient de 10 m` etres en 10 m` etres. Tous les points de mˆ eme altitude sont situ´ es sur la mˆ eme courbe de niveau.

Exercice 10

1

Compl´ eter le tableau

Point A B C D E F G

Altitude 1370

2

Lorsque les courbes de niveau se resserrent, que peut-on dire du relief ?

3

La rivi` ere coule-t-elle d’est en ouest ou vice-versa ?

Correction.

Les endroits du relief o` u les pentes sont plus escarp´ ees ou plus douces correspondent

respectivement aux courbes de niveau tr` es rapproch´ ees ou tr` es distantes. La rivi` ere coule de l’est ` a l’ouest.

(43)

Cartes topographiques du relief

Sur une carte topographique, les courbes de niveau d´ esignent les points de mˆ eme altitude.

On observe sur l’extrait de carte ci-contre de l’institut G´ eographique National (IGN), des courbes qui donnent une id´ ee du relief (Massif du Sancy). Elles repr´ esentent des coupes horizontales successives du terrain ` a des altitudes qui varient de 10 m` etres en 10 m` etres. Tous les points de mˆ eme altitude sont situ´ es sur la mˆ eme courbe de niveau.

Exercice 10

1

Compl´ eter le tableau

Point A B C D E F G

Altitude 1370

2

Lorsque les courbes de niveau se resserrent, que peut-on dire du relief ?

3

La rivi` ere coule-t-elle d’est en ouest ou vice-versa ?

Correction.

Les endroits du relief o` u les pentes sont plus escarp´ ees ou plus douces correspondent respectivement aux courbes de niveau tr` es rapproch´ ees ou tr` es distantes. La rivi` ere coule de l’est ` a l’ouest.

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(44)

Cartes topographiques du relief

Sur une carte topographique, les courbes de niveau d´ esignent les points de mˆ eme altitude.

On observe sur l’extrait de carte ci-contre de l’institut G´ eographique National (IGN), des courbes qui donnent une id´ ee du relief (Massif du Sancy). Elles repr´ esentent des coupes horizontales successives du terrain ` a des altitudes qui varient de 10 m` etres en 10 m` etres. Tous les points de mˆ eme altitude sont situ´ es sur la mˆ eme courbe de niveau.

Exercice 10

1

Compl´ eter le tableau

Point A B C D E F G

Altitude

1470

1370

1380 1470 1400 1460 1520

2

Lorsque les courbes de niveau se resserrent, que peut-on dire du relief ?

3

La rivi` ere coule-t-elle d’est en ouest ou vice-versa ?

Correction. Les endroits du relief o`u les pentes sont plus escarp´ees ou plus douces correspondent respectivement aux courbes de niveau tr`es rapproch´ees ou tr`es distantes. La rivi`ere coule de l’est `a l’ouest.

(45)

Fleuve 1

Exercice 11

Deviner l’expression d’une fonction dont l’iso-0 (c’est-` a-dire la ligne de niveau 0) repr´ esente la berge d’un fleuve rectiligne :

Correction.

f : R

2

→ R

(x , y ) 7 → f (x, y) = y

2

UFR Sciences et Techniques de l’Universit´e de Toulon 13-14 juin 2013 Repr´esentation de fonctions num´eriques 26 / 29

(46)

Fleuve 1

Exercice 11

Deviner l’expression d’une fonction dont l’iso-0 (c’est-` a-dire la ligne de niveau 0) repr´ esente la berge d’un fleuve rectiligne :

Correction.

f : R

2

→ R

(x , y ) 7 → f (x, y) = y

2

(47)

Fleuve 2

Exercice 12

Modifier la fonction pr´ ec´ edente pour que l’eau coule dans la direction des x positifs :

Correction.

f : R

2

→ R

(x , y ) 7 → f (x, y) = y

2

− x 10

UFR Sciences et Techniques de l’Universit´e de Toulon 13-14 juin 2013 Repr´esentation de fonctions num´eriques 27 / 29

(48)

Fleuve 2

Exercice 12

Modifier la fonction pr´ ec´ edente pour que l’eau coule dans la direction des x positifs :

Correction.

f : R

2

→ R

(x , y ) 7 → f (x, y) = y

2

− x

10

(49)

Fleuve 3

Exercice 13

Deviner l’expression d’une fonction dont l’iso-0 repr´ esente la berge d’un fleuve rectiligne qui s’est s´ epar´ e en deux affluents. Modifier ensuite la fonction pour que l’eau coule dans la direction des x positifs :

Correction.

f : R

2

→ R f : R

2

→ R

(x , y ) 7 → f (x, y) = y

4

− y

2

(x , y ) 7 → f (x, y) = y

4

− y

2

− x 10

UFR Sciences et Techniques de l’Universit´e de Toulon 13-14 juin 2013 Repr´esentation de fonctions num´eriques 28 / 29

(50)

Fleuve 3

Exercice 13

Deviner l’expression d’une fonction dont l’iso-0 repr´ esente la berge d’un fleuve rectiligne qui s’est s´ epar´ e en deux affluents. Modifier ensuite la fonction pour que l’eau coule dans la direction des x positifs :

Correction.

f : R

2

→ R f : R

2

→ R

(x , y ) 7 → f (x, y) = y

4

− y

2

(x , y ) 7 → f (x, y) = y

4

− y

2

− x

10

(51)

Fonctions radiales

On pose r = p

x 2 + y 2 (distance ` a l’origine).

On s’int´ eresse au cas particulier f (x , y ) = g (r ).

Exercice 14

Trouver l’expression d’une fonction qui pr´ esente un



canyon



circulaire :

Correction. (Voir Í )

g : R → R g : R → R

r 7 → (r

2

− 1)(r

2

− 4) r 7 → r

4

− r

2

UFR Sciences et Techniques de l’Universit´e de Toulon 13-14 juin 2013 Repr´esentation de fonctions num´eriques 29 / 29

(52)

Fonctions radiales

On pose r = p

x 2 + y 2 (distance ` a l’origine).

On s’int´ eresse au cas particulier f (x , y ) = g (r ).

Exercice 14

Trouver l’expression d’une fonction qui pr´ esente un



canyon



circulaire :

Correction. (Voir Í )

g : R → R g : R → R

→ (r

2 2

→ r

4 2

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