F6 - Fonction carr´e
1 Fonction carr´ e
1.1 D´ efinition, propri´ et´ es
D´efinition 1. La fonction d´efinie sur Rqui a tout nombre r´eelxassocie son carr´e est appel´ee la fonction carr´e. On note f :x7→x2.
Proposition 1.1. Dans un rep`ere orthonorm´e, la courbe repr´esentative de la fonction carr´e est sym´etrique par rapport `a l’axe des ordonn´ees, et passe par l’origine du rep`ere. Elle est appel´ee parabole de centre O.
Faire les figures.
1.2 Variations
Proposition 1.2. La fonction carr´e est d´ecroissante sur ]− ∞; 0] est croissante sur[0; +∞[.
Proof. Prenons deux nombres r´eels a et b tels que a ≤b. On a f(x)−f(b) = a2−b2 = (a−b)(a+b). Or a ≤b, donc a−b≤0. Le signe def(a)−f(b) est donc le signe oppos´e de celui de a+b.
• Siaetb sont tous deux positifs, alorsa+b est aussi positif, doncf(a)−f(b) est n´egatif.
• Siaetb sont tous deux n´egatifs, alorsa+best aussi n´egatif, doncf(a)−f(b) est positif.
1.3 Equations, in´ ´ equations
Proposition 1.3. Equation´ x2=k, avec k r´eel
- Sik <0, comme un carr´e est positif, l’´equationx2=k n’admet pas de solutions.
- Si k=0, l’´equationx2= 0 a pour unique solution x=O - Sik >0, l’´equation x2=kadmet deux solutions, qui sont√
ket −√ k
L’´equations x2=kadmet 0, 1 ou 2 solutions suivant le signe dek.
Exercice 1 : R´esoudre (x−2)2= 25
Proposition 1.4. R´esoudre une in´equationx2≤k oux2≥k avec kr´eel revient `a ´etudier le signe de x2−k.
k <0
L’in´equationx2≤k n’a pas de solution : S=∅
L’in´equationx2≥k est toujours vraie : S=R
k >0
• L’in´equationx2≤k a pour ensemble solution : S=h
−√ k;
√ ki
• L’in´equationx2≥k a pour ensemble solution : S=i
−∞;−√ ki
∪h√
k; +∞h
2 Polynˆ omes du second degr´ e
2.1 D´ efinition et repr´ esentation graphique
D´efinition 2. Une fonction polynomiale du second degr´e est une fonctionf d´efinie surRpar f(x) =ax2+bx+c, avec a, b etc trois r´eels et anon nul.
Exemple f(x) =x2+ 3x+√
2,g(x) =πx2sont des fonction polynomiales du second degr´e, maish(x) = 2xx22+3x+1 n’en n’est pas une.
1
Remarque : Une fonction affine n’est pas une fonction polynˆomiale du second degr´e (c’est une fonction polynomiale du premier degr´e).
Proposition 2.1. Soitf une fonction polynomiale du second degr´ef(x) =ax2+bx+c (a6= 0)
• Sia >0,f est d’abord d´ecroissante, puis croissante.
• Sia <0,f est d’abord croissante, puis d´ecroissante Proof. Admis ici.
Exercice 2 : Dresser les tableaux de variation d’une fonction polynomiale de degr´e 2 dans les casa >0 eta <0.
Exemple f :x7→ −x2+ 3x+ 8 est d’abord croissante, puis d´ecroissante.
f :x7→2x2+ 5x−9 est d’abord d´ecroissante, puis croissante.
2.2 Repr´ esentation graphique
Proposition 2.2. 1. Dans un rep`ere orthonorm´e, la courbe repr´esentative de f est une parabole. Elle admet un axe de sym´etrie parall`ele `a l’axe des ordonn´ees.
2. Le minimum (sia >0) ou maximum (si a <0) def est atteint en −2ab
3. Le point o`u le maximum (ou minimum) est atteint a pour coordonn´ees (−2ab ;f(−2ab )). On l’appelle le sommet de la parabole.
4. La parabole a pour axe de sym´etrie la droitex=−2ab Exemple Faire un graphique
Exercice 3 : Tracer la courbe repr´esentative et dresser le tableau de variation des fonctions suivantes : f(x) = 2x2−8x+ 11 g(x) =−x2+ 3x+ 1
2.3 Diff´ erentes formes d’une expression polynomiale du second degr´ e
Proposition 2.3. Toute fonction polynomiale f de degr´e 2 d´efinie sur < par f(x) = ax2+bx+c peut s’´ecrire sous la forme :
f(x) =a(x−α)2+β avec α=− b
2aetβ=f(α)
Sous cette forme, on voit quef admet f(α) =β comme maximum (si a <0) ou un minimum (sia >0), atteint enα.
Proof. Un peu technique, sera fait en premi`ere.
Exercice 4 : Soitf(x) =−0,5x2+ 2x+ 1.
1. Montrer que f(x) =−0,5(x−2)2+ 3.
2. (a) Montrer quef(x)≤3 (b) Trouver le maximum def. 3. Dresser le tableau de variation def.
2.4 Application : D´ eterminer l’´ equation d’une fonction polynomiale ` a partir de sa courbe repr´ esentative. (*)
Exercice 5 : On donne la courbe repr´esentative de la fonction polynomiale de degr´e 2f(x) =ax2+bx+c. D´eterminer a, b etc.
2
−2 −1 1 2 3 1
2 3 4 5 6 7
0
M´ethode Tout d’abord, on sait que f peut s’´ecrire sous la formef(x) =a(x−α)2+β, avecα=−ab et β=f(α).
Le sommet de la parabole est situ´e enS(1; 2). Doncα=−ba = 1, etβ=f(1) = 2.
Doncf(x) =a(x−1)2+ 2.
On d´eveloppe cette expression. On a
f(x) =a(x2−2x+ 1) + 2 (1)
=ax2−2ax+a+ 2 (2)
=ax2+bx+x (3)
Doncb=−2aetc=a+ 2
D´etermination de a, b et c Tout d’abord, on a f(0) = 4 donc c = 4. De plus, avec l’´equation pr´ec´edente, on a vu que c=a+ 2, donca= 2. Enfin,b=−2a, doncb=−4.
Finalement, il vientf(x) = 2x2−4x+ 4
3
