J.M -La fonction logarithmique - 2bac PC

J.M -La fonction logarithmique - 2bac PC

0.1 Fonction Logarithme N´ ep´ erien

D´efinition 0.1.1. . La fonction x7−→ ¹

x est continue sur l’intervalle ]0,+_∞[, donc elle admet une fonction primitive qui s’appelle la fonction logarithme n´ep´erien. On la note par : ln et elle v´erifie : ln(1) = 0.

Remarque 0.1.1. .

ln : R^∗+ −→ R (∀x∈ R^∗+) f⁰(x) = ¹

xln(1) = 0.

x 7−→ln(x). Exemple 0.1.1. .

D´eterminer dans chacun des cas le domaine de d´efinition Df des fonctions suivantes : 1) f(x) = ln(2x−1) 2)- f(x) =ln(x+2) +ln(3−x).

Propri´et´ees

1) La fonction ln est strictement croissante sur l’intervalle ]0,+∞[. 2) ∀(x,y) ∈ (R^∗+)² : ln(x) = ln(y) ⇐⇒ x= y.

3) ∀(x,y) ∈ (R^∗+)² : ln(xy) = ln(x) +ln(y). 4) ∀(_x,y) ∈ (R^∗+)² _: ∀_n∈ N^∗ : lnk=n

∏

k=1

(_xk)=^k=_∑ⁿ

k=1

ln(_xk). 5) ∀x∈ R^∗+ ln1

x

=−_ln(x). 6) ∀(x,y) ∈ (R^∗+)² : lnx

y

=ln(x)−ln(y). 7) ∀r∈ Q: ln(x^r) = rln(x).

Preuve 1. .

4) Cette relation se d´emontre en utilisant un raisonnement par r´ecurrence.

5) Soit x ∈R^∗+, on a :ln(x) +ln1 x

=ln x1

x

. C’est `a dire que ln(x) +ln1

x

=ln(1), donc ln(x) +ln1 x

=0. D’o`u ln1 x

=−ln(x). 6) Soient x et y des ´el´ements deR^∗+, on a :lnx

y

=ln x1

y

=ln(x) +ln1 y

=ln(x)−ln(y). 7) De la propri´et´e 4) on en d´eduitt que (∀n∈ N^∗) (∀x >0) ln(xⁿ) = nln(x), de mˆeme on a : ln(x⁻ⁿ) = ln 1

xⁿ

=−ln(xⁿ) =−nln(x), et ln(x⁰) =ln(1) = 0. Donc (∀_p ∈Z) ln(x^p) = pln(x).

Soit r ∈Q ^o`u r= ^p

q avec p∈ Z ^et q∈ N^∗. On a : qln(x^r) =qln(x

p

q) = ln(x^p) = pln(x), d’o`u ln(x^r) = ^p

q ln(x), doncln(x^r) = rln(x). Remarque 0.1.2. .

Soient a et b deux nombres r´eels strictements n´egatifs, on a : ab>0 et a

b >0, donc d’apr`es la propri´et´e caract´eristique on a :

ln(_ab) = _ln(|_a|) +_ln(|_b|) etlna b

=_ln(|_a|)−_ln(|_b|). On a : (∀x∈]0,+_∞[) ln(x¹²) = ¹

2ln(x) c’est `a dire que (∀x ∈]0,+_∞[) ln(√

x) = ¹

2ln(x). En g´en´eral on a : (∀n∈ N− {_{0, 1}}) (∀x∈]_0,+_∞[) _ln(√ⁿ

x) = ¹

nln(x).

Exemple 0.1.2. .

Simplifier les expressions suivantes :

1) A=_ln(₈)−_{3 ln}(₂) 2)- B =_ln(₃) +_ln¹ 3

3)- C=_ln(√

2)−_ln(√³ 2⁵). Exemple 0.1.3. .

R´esoudre les ´equations et les in´equations suivantes :

1) ln(3x−6) =0 2)- ln(x−1) +ln(x+4) =0 2 ln(x)≤ln(2x+3) ln(3x²−5x)≤ln(x) +ln(2).

Proposition 0.1.1. . On a : lim

x−→+_∞ln(x) = +_∞ et lim

x−→0⁺ln(x) = −_∞. Preuve 2. .

Soit A >0 donc il existe une infinit´e de nombres entiers naturels n tels que ln(2ⁿ) >A c’est `a dire que n > ^A

ln(2), le plus petit de ces nombres est n0= E A ln(2)

+1, donc on a : ln(2ⁿ⁰) >A.

Il est claire que pour tout x>₂ⁿ⁰, on a : ln(x)> A car la fonction ln est strictement croissante surR^∗+. Donc on a : (∀x > A)(∃B>0) (x> B=⇒ln(x) > A) il suffit de prendre B ≥2ⁿ⁰ par cons´equent

x−→+lim∞ln(x) = +_∞. Pour calculer lim

x−→0⁺ln(x), on pose y= ¹

x, on obtient : lim

x−→0⁺ln(x) = lim

y−→+_∞ln1 y

= lim

y−→+_∞

−ln(y)

d’o`u lim

x−→0⁺ln(x) = −_∞.

Tableau de variation de la fonction ln

On a vu que la foction ln est strictement croissante sur ]_0,+_∞[. x

ln⁰(x) ln(x)

0 1 +∞

+

−_{∞ 0} ++_∞∞

Le nombre e

D’apr`es l’´etude de la fonction ln ,elle est bijective de]0,+<sub>∞</sub>[ vers R<sup>, d’o`</sup>u la proposition suivantes : Proposition 0.1.2. .

L’´equation ln(x) =1 admet une solution unique sur ]0,+∞[, cette solution est d´esign´ee par : e o`u ln(e) = 1. Une valeur approch´ee de nombre e est e≈2, 718281828.

Remarque 0.1.3. .

On a : (∀r ∈Q) _ln(e^r) = r.

Applications

1) D´eterminer le domaine de d´efinition des fonctions suivantes : f(x) = ^ln(x+1)

ln(ln(x)) ^{et g}(x) = ^p1−ln(e−x) et h(x) = _p ^x

(ln(2x))²−1. 2) R´esoudre dansR ^{l’´equation :} (_ln(x))³−₂(_ln(x))²+₃.

0.1.1 Les branches infinies

Proposition 0.1.3. .

1) Dans un rep`ere orthonorm´e, l’axe des ordonn´ees est une asymptote de la courbe C repr´esentative de la fonction logarithme n´ep´erien ln.

2) La courbe repr´esentative de la fonction logarithme n´ep´erien ln admet une branche parabolique de direction l’axe des abscisses : lim

x−→+_∞

ln(x) x =0. Preuve 3. .

1) On a : lim

x−→0⁺ln(x) = +_∞, d’o`u le r´esultat.

2) Consid´erons la fonction f d´efinie sur [1,+_∞[ par : f(x) =ln(x)−√ x−1.

f est d´erivable sur ]1,+_∞[, et on a : (∀x∈]1,+_∞[) f⁰(x) = ¹

x − ¹

2√

x−₁ ^{c’est `a dire que} f⁰(x) = ²

√x−1−x 2x√

x−1 .

qu’on peut ´ecrire encore : f⁰(x) = (√

x−1−1)² 2x√

x−1 , d’o`u la fonction f est strictement d´ecroissante sur [1,+<sub>∞</sub>[. Et comme f(1) =0, alors(∀x ∈[1,+<sub>∞</sub>[) f(x) ≤0 c’est `a dire que (∀x ∈ [1,+_∞[) ln(x) ≤√

x−1, et comme (∀x∈ [1,+_∞[) ln(x) ≥0, alors : (∀x ∈ [1,+_∞[)0≤ ^ln(x)

x ≤

√x−1

x , d’autre part on a :

x−→+lim_∞

√x−₁

x = lim

x−→+_∞

r1 x− ¹

x² =0. On en d´eduit que : lim

x−→+_∞

ln(x)

x =₀ par suite la courbe repr´esentative de la fonction logarithme ln admet une branche parabolique de direction l’axe des abscisses.

Applications

Calculer les limites suivantes.

1) lim

x−→+_∞

ln(x+√

x+1)−√ x

2)- lim

x−→−_∞

ln(3x²−2x+1) +x .

0.1.2 La concavit´ e du graphe de la fonction ln

Proposition 0.1.4. .

Le graphe de la fonction logarithme n´ep´erien ln est concave c’est `a dire que sa concavit´e est dirig´ee vers les ordonn´ees n´egatives.

Preuve 4. .

La fonction ln est deux fois d´erivables sur ]0,+_∞[ et on a : (∀x∈]0,+_∞) f”(x) = −¹

x² et comme (∀x ∈]0,+_∞) f”(x) <0, alors le graphe de ln est concave.

0.1.3 La courbe de la fonction ln

Soit C_ln la courbe repr´esentative de la fonction logarithme ln dans un rep`ere orthonorm´e.

On a :

1)- ln(₁) = ₀ et ln⁰(₁) = ₁, donc l’´equation de la tangente `a la coube C_ln au point A(_{1, 0}) est y =x−₁. 2) ln(e) =₁ et ln⁰(e) = ¹

e, alors l’´equation de la tangente `a C_ln au point E(e, 1) est y= ¹ ex.

.

−3. −2. −1. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.

−3.

−2.

−1.

1.

2.

3.

4.

5.

0

f g

h

Exercice 1. .

Soit f une fonction num´erique d´efinie par : f(x) = x−ln(x). 1) D´eterminer Df et calculer les limites aux bornes.

2) ´Etudier les variations de la fonction f.

3) ´Etudier les branches infinies de la courbe (C_f).

4) Construiser dans un rep`ere orthonorm´e la courbe (C_f).

0.1.4 Des limites importante

Proposition 0.1.5. . 1) lim

h−→0

ln(1+h)

h =1 et lim

x−→1

ln(x)

x−₁ =1 et lim

x−→0⁺xln(x) = 0.

2) Pour tout nombre rationnel r strictement positive, on a : lim

x−→0⁺x^rln(x) = 0 et lim

x−→+_∞

ln(x) x^r =0.

Preuve 5. . Applications

Calculer les limtes suivantes : 1) lim

x−→−_∞

r

x²ln 1+ ⁴

x²

2) lim

x−→+_∞

ln(x)

ln|x²−1| ³⁾ x^lim−→3

2x x−₃^ln

x 3

. 4) lim

x−→+_∞

pln(x²+3) px√

x+1 . Exercice 2. .

On consid`ere la suite num´erique (un)_n≥1 d´efinie par : un =lnn+1 n

. 1)a) Calculer u1 et u2.

b) Calculer u_n+1−un et en d´eduire la monotonie de la suite (un)_n≥1. 2) On pose Sn =u1+u2+u3+...+un.

3) Calculer Sn en fonction de n et calculer lim

n−→+_∞Sn.

0.1.5 La d´ eriv´ e logarithmique d’une fonction

Activit´e 1. .

Si u une fonction num´erique d´erivable sur I et ne s’annule pas sur I.

La fonction u est d´erivable sur I donc continue sur I et comme elle ne s’annule pas sur I, alors la fonction u garde le mˆeme signe sur I.

Consid´erons la fonction f d´efinie par : f(_x) = _ln(|_u(_x)|).

•1^ercas :u est strictement positive sur I

On a : (∀x∈ I) : f(x) = lnou(x), et comme u est d´erivable sur I etu(I)⊂]0,+_∞[ et la fonctionln est d´erivable sur ]_0,+_∞[, donc d´erivable sur u(_I) alors :

(∀x ∈ I): f⁰(x) = ln⁰

u(x)×u⁰(x) = ^u

0(x) u(x)^.

•1^ercas :u est strictement n´egative sur I On a : (∀x∈ I) : f(x) = lno

−u(x), et comme −u est d´erivable sur I

et −u(I) ⊂]0,+_∞[ et la fonction ln est d´erivable sur ]0,+_∞[, donc d´erivable sur −u(I), alors : (∀x ∈ I): f⁰(x) = −ln⁰

−u(x)×u⁰(x) = ^u

0(x) u(x)^. Proposition 0.1.6. .

Si la fonction u est d´erivable et ne s’annule pas sur un intervalle I, alors la fonction x7−→ln(|u(x)|) est d´erivable sur I et sa fonction d´eriv´ee est : x 7−→ ^u

0(x) u(x)^. Exemple 0.1.4. .

D´eterminer f⁰(x) pour toutx ∈ I dans chacun des cas suivants : 1) I =]−_∞,+_∞[ et f(x) = ln(x²+x+1).

2) I =]e,+_∞[ et f(x) =ln|1−ln(x)|.

D´efinition 0.1.2. .

Soit u une fonction d´erivable et ne s’annule pas sur un intervalle I. La fonction x7−→ ^u

0(x)

u(x) s’appelle la d´eriv´e logarithmique de la fonction u sur l’intervalle I.

Proposition 0.1.7. .

Soit u une fonction d´erivable et ne s’annule pas sur un intervalle I. Les fonctions primitives de la fonction x 7−→ ^u

0(x)

u(x) sur l’intervalle I sont les fonctions d´efinie par : x7−→ln(|u(x)|) +k o`u k ∈R^.

Exemple 0.1.5. .

Les fonctions primitives de la fonction x 7−→ ¹

2x+1 sur i

−_∞, ¹ 2 h

sont les fonction d´efinies par : x7−→ ¹

2ln(|2x+1|) +k o`u k ∈R^.

Les fonctions primitives de la fonction x 7−→tan(x) sur i

−^π 2,π

2 h

sont les fonction d´efinies par : x7−→ln|cos(x)|+k o`u k ∈R^.

Exercice 3. .

On consid`ere la fonction f d´efinie sur ]2,+_∞[ par : f(x) = ^x

2

4−x.

1) D´eterminer les nombres r´eels a, b et c tels que : (∀x∈]2,+_∞[): f(x) = a+ ^b

2−_x + ^c 2+x. 2) En d´eduire les fonctions primitives de la fonction f sur l’intervalle ]2,+∞[.

Exercice 4. .

D´eterminer les fonctions primitives sur l’intervalle I dans chacun des cas suivants : 1) I =]−_∞,+_∞[ et f(x) = ^x

3

x⁴+1. 2) I =]0, 1[ et f(x) = ¹

xln(x)^. Exercice 5. .

On consid`ere la fonction num´erique f d´efinie par : f(x) = x+ln(ln(x)). 1) Prouver que le domaine de d´efinition de f est Df =]1,+_∞[.

2) Calculer f⁰(x) et en d´eduire les variations de la fonction f.

3) ´Etudier les branches infinies de la courbe repr´esentative (C_f) de la fonction f. 4) Construiser dans un rep`ere orthonorm´e la courbe (C_f).

Exercice 6. .

On consid`ere les fonctions num´eriques f et u d´efinies par : f(x) = ln(x²−2x+3) et u(x) = x²−2x+3. 1)a) Montrer que : (∀x∈ R): u(x)>0 et en d´eduire que Df =]−_∞,+_∞[.

b) Calculer u(₁+√

2) et 1−√ 2. 2) Calculer les limites suivantes : lim

x−→−_∞ f(x) et lim

x−→+_∞ f(x). 3) Calculer f⁰(x) et ´etudier les variations de f.

4) Montrer que la droite d’´equation x =1 est un axe de sym´etrie de la courbe (C_f). 5)a) Prouver l’´egalit´e suivante : (∀x∈ R^∗): f(x)

x =2ln(|x|)

x +

ln 1−²

x+ ³ x²

x .

b) ´Etudier les branches infinies de la courbe (C_f).

6)a) Montrer que la courbe (C_f) admet deux points d’inflexions et d´eterminer leurs coordonn´ees.

b) Construiser dans un rep`ere orthonorm´e la courbe (C_f).

7) Soit la fonction g restriction de la fonction f sur l’intervalle I = [1,+_∞[.

a) Montrer que la fonction g est une bijection de I vers un intervalle J `a d´eterminer.

b) D´eterminer l’expression de g⁻¹(x) en fonction de x pour tout x∈ J.

On prend (ln(2)≈0, 7 etln(3) ≈1, 1)

0.2 Fonction Logarithme de base a ( a > ₀ ) et a 6= ₁

D´efinition 0.2.1. .

Soit a un nombre r´eel strictement positif et diff´erent de 1.

La fonction logarithme de base a est la fonction num´erique not´ee Loga d´efinie sur ]0,+_∞[ par : Loga(x) = ^ln(x)

ln(a)^. Cons´equences 1. .

• Loga(1) =0 • Loga(a) =1 • Loga(e) = ¹ ln(a)^. (∀_x >0) : Loge(x) = ln(x) d’o`u ln =Loge.

Proposition 0.2.1. .

Pour tout x et y de ]0,+_∞[ et pour tout r∈ Q^{on a :} 1) Loga(xy) = Loga(x) +Loga(y) 2)Loga

1

x

=−Loga(x). 3) Loga

x

y

= Loga(x)−Loga(y) 4) Loga(x^r) =rLoga(x).

Exemple 0.2.1. .

Simplifier : A= Log₂

1 5

+Log₂(10) et B= Log1 3(√⁵

3).

0.2.1 Etude de la fonction logarithme de base ´ a

La fonction Loga est d´erivable sur ]0,+_∞[ et on a : (∀x>0) : (Loga)⁰(x) = ¹

xln(_a) ^{d’o`u on en d´eduit les} deux tableau de variations suivants :

cas : a >1 x (Loga)⁰(x)

Loga(x)

0 1 a +_∞

+

−_∞ ++_∞∞

0 1

Cas : 0< a<1 x

(Loga)⁰(x) Loga(x)

0 a 1 +_∞

+ +_∞

−_∞

−_∞

1 0

0.2.2 Construction de la courbe de la fonction logarithme de base a

−4.−3.−2.−1. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9.

−5.

−4.

−3.

−2.

−1.

1.

2.

3.

4.

5.

0

f

−4.−3.−2.−1. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9.

−5.

−4.

−3.

−2.

−1.

1.

2.

3.

4.

5.

6.

0

La fonction logarithme de base 10 D´efinition 0.2.2. .

La fonction logarithme d´ecimale est la fonction logarithme de base 10 et on la note par : log `a la place de Log10 et on a :

(∀x >₀) _: log(x) = ^ln(x) ln(10)^. Cons´equences 2. .

• log(1) = 0 • log(10) = 1 • (∀r∈ Q): log(10^r) =r. On a : (∀_x∈]_0,+∞[): log(x) = Mln(x) o`u M ≈_0.43294481. Exemple 0.2.2. .

Simplifier : A=log(250000) +log(√

250)−log(125). Exercice 7. .

Soit f une fonction num´erique d´efinie par :







f(x) = ¹+ln(x)

1−ln(x) ^{si x}>0 f(0) =−1

1)a) Montrer que : Df = [0,+_∞[, puis calculer lim

x−→+_∞ f(x) et interpr´eter g´eom´etriquement ce r´esultat . b) Montrer que la fonction f est continue `a droite de 0.

2)a) ´Etudier la d´erivabilit´e de la fonction f en 0 `a droite et interpr´eter g´eom´etriquement ce r´esultat.

b) Montrer que : (∀x ∈]0,+_∞[): f⁰(x) = ²(1−ln(x)) (x−ln(x))^2. 3) Dresser un tableau de variation de la fonction f.

4)a) Montrer que la courbe (C_f) coupe l’axe des abscisse en un point d’abscisse appartenant `a i1

2, 1h . b) Construiser dans un rep`ere orthonorm´e la courbe (C_f), on prend e ≈2, 7 et ln(2) ≈0, 7