DevoirdeMath ´e matiquesn 4

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Sujet Droit

Devoir de Math´ematiques n

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Exercice 1

_{(6 points)}

1. D´eterminer les limites de la fonction f(x) = x−e⁻^x

e^x en +∞ et−∞. 2. Simplifier l’expression g(x) = e^x+ 1

e^x⁻¹ −e.

3. ´Etudier les variations de la fonction h(x) = (x+ 2)e^x, montrer qu’elle admet un minimum et exprimer sa valeur en fonction dee.

Exercice 2

_{(6 points)}

1. Déterminer l’écriture algébrique des nombres complexes a= 3e⁻ⁱ^π²,b= −1

eîπ,c= 5eⁱ^π⁶ etd=e⁻ⁱ^π² −eⁱ²³^π. 2. Déterminer la forme trigonométrique des nombres complexes m= 3,n=−5i,p= 1 +ietq= 1−i√

3.

3. Calculer q⁷ et i

p³ sous forme alg´ebrique.

Exercice 3

_{(8 points)}

On consid`ere la fonctionϕ(x) = 10xe⁻⁽

x+1)2

4 .

1. Prouver que la fonction ϕest d´efinie sur Ret calculer ses limites en +∞ et−∞.

2. Prouver que la fonction ϕest d´erivable surR et montrer queϕ^′(x) = (−5x²−5x+ 10)e⁻⁽^x⁺¹⁾²⁴ . 3. Construire le tableau de variations de la fonctionϕ.

4. Construire la courbe repr´esentative de la fonction ϕdans un rep`ere orthonormal.

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