LA FONCTION EXPONENTIELLE. Définition

LA FONCTION EXPONENTIELLE.

Définition : Une équation différentielle est une relation entre une ou plusieurs fonctions inconnues et leurs dérivées. L'ordre d'une équation différentielle correspond au degré maximal de dérivation auquel l'une des fonctions inconnues a été soumise.

Exemple :

Soit l équation différentielle (E) : 2y (x) y(x) x² 5x 3 d inconnue la fonction y.

Vérifier que la fonction f définie sur par f(x) x² x 1 est solution de (E).

I. La fonction exponentielle.

Dans la description de nombreux phénomènes (croissance de population, désintégration radioactive…), la vitesse de variation d’une quantité est proportionnelle à cette quantité.

Si la quantité étudiée s’exprime par la fonction f de la variable réelle t, on a alors f′(x) = k f(x) où k est un réel non nul.

Théorème : Il existe une et une seule fonction f dérivable sur telle que f ’ = f et f(0) = 1.

Démonstration (à connaître) :

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Définition : On appelle fonction exponentielle, notée exp, l’unique fonction f dérivable sur telle que f ′=f et f(0)=1.

II. Propriétés de la fonction exponentielle.

Propriétés :

1. La fonction exponentielle est dérivable sur et sa dérivée est égale à elle même : ...

2. La fonction exponentielle est continue sur et exp(0) = 1.

3. Quels que soient les réels a et b : ...

4. Quels que soient les réels a et b et l’entier n :

Démonstrations :

1 et 2 : découlent de la définition (toute fonction dérivable est continue).

3 :Soit g la fonction définie sur par g(x) = f(a + b  x)  f(x) où f est la fonction exponentielle.

f est dérivable sur . Pour tout x de :

4 :





 On montre par récurrence que pour tout n de : exp(na) = (exp(a))ⁿ. (car na = (n  1)a + a).

 Soit alors un entier n négatif :  n  donc exp(na) = 

exp na = 

expa^n = (exp(a))ⁿ Théorème : Quel que soit le réel a : exp(a) > 0.

Démonstration :

III. La notation e^x.

Définition : L’image de 1 par la fonction exponentielle est notée e. On a donc exp(1) = e.

e est un nombre irrationnel dont une valeur approchée est 2,718 : e 2,718.

On a pour tout entier n : exp(n) = exp(n  1) = (exp(1))ⁿ = eⁿ.

On généralise la notation à tous les réels en notant e^x le nombre exp(x).

On a alors :

La fonction x e^x est dérivable sur et sa dérivée est elle-même.

e⁰ = 1 et pour tout réel x; e^x > 0.

Pour tous réels a et b et pour tout entier n :

IV. Etude de la fonction exponentielle.

1. Sens de variation et limites.

Propriétés :

1. La fonction exponentielle est ... sur . 2. lim

x

e^x = . et lim

x

e^x = ...

3. lim

h 0

e^h  

h = ...

Démonstration :

1. La fonction exp est dérivable sur et pour tout x de , on a : exp′(x) = exp(x) > 0. La fonction exp est donc strictement croissante sur .

x  0+

e^x

Corollaire : x < 0  e^x < 1 et x > 0  e^x > 1.

Pour tous réels a et b, e^a = e^b équivaut à a = b.

e^a < e^b équivaut à a < b.

2. A connaître

3. A connaître

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2. Représentation graphique :

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6

3. Autres limites.

Propriétés admises :

V. Les fonctions composées e^u : x exp(u(x))

Théorème : Soit u une fonction dérivable sur un intervalle I de alors la fonction e^u est dérivable sur I avec : ...

Exemple : Soit f la fonction définie sur par f(x) = e^{3x + 2}. f est dérivable sur et pour tout x de , f ’(x) = ...

Cas particuliers :

La modélisation de nombreux problèmes, en probabilités, statistiques ou biologie amène à l’étude de fonctions de la forme x e^kx ou x e^kx² où k est une constante positive.

Etudions ces fonctions.

1. Fonctions fk: : x e^kx.

On note fk la fonction définie sur par fk(x) e ^kx et Ck sa courbe représentative.

2. Fonctions gk: : x e^kx².

L’axe des abscisses est asymptote à la courbe en  .

On note gk la fonction définie sur par gk(x) e ^kx² et Ck sa courbe représentative.