Feuille 4 : Espaces de Hilbert

Université Paris-Dauphine 2019/2020 L3 Maths

Analyse Fonctionnelle et Analyse Hilbertienne

Feuille 4 : Espaces de Hilbert

Exercice 1. [Identité du parallélogramme] Soit H un espace de Banach (sur R pour simplifier) dont la normek·kvérifie l’identité du parallélogramme, c’est à dire pour tout u, v∈H on a :

ku−vk²+ku+vk²= 2(kuk²+kvk²).

Montrer queH est un Hilbert.

Exercice 2. Montrer que les espaces L^p(R) ne sont pas des espaces de Hilbert si p∈[1,∞]\ {2}.

Exercice 3. [Mai 2012]

1. Soit (X,h·,·iX),(Y,h·,·iY) deux espaces de Hilbert (avec pour corps de base R). On suppose qu’il existe une isométrie linéaire et surjective L :X → Y (le caractère isométrique signifie kL(x)kY = kxkX, ∀x∈X).

Montrer que L est bijective, et que

∀(x₁, x₂)∈X², hL(x₁), L(x₂)iY =hx₁, x₂iX.

2. On suppose que (e_n)_n∈Z est une base hilbertienne de X. Montrer que la famille (L(e_n))_n∈Z est une base hilbertienne de Y.

Exercice 4. [Mai 2013] On travaille dans L² R,√¹

2πe^−x2/2dx

(on considère ici les fonctions à valeurs réelles).

1. Rappeler la définition de cet espace, et son produit scalaire h·,·i. 2. Calculer les 6 premiers moments de la loi normale centrée réduite.

3. Trouver 4 polynômes (P₀, P₁, P₂, P₃) tels que

∀(i, j)∈J0,3K, hP_i, P_ji=δ_i,j, deg(P_i) =i.

4. En déduire 4 fonctions qui forment une famille orthonormée deL²(R, dx).

Exercice 5. On considère l’espace ℓ²(N). Soit a∈Ctel que0<|a|<1. Pour tout k∈N^∗, on définit la suitef_k par

f_k = (1, a^k, a^2k, a^3k,· · · , a^nk,· · ·).

1. Montrer que, pour toutk∈N∗,f_k∈ℓ²(N).

2. Montrer que l’espace V ect({f_k}k∈N∗) est dense dans ℓ²(N).

Exercice 6. [Polynômes de Tchebycheff] On définit la fonction θ sur [−1,1] par θ(x) = arccos(x), puis on définit pour toutn∈Nles fonctions T_n etU_n (toujours sur[−1,1]) par

T_n(x) = cos(nθ(x)) et U_n(x) = sin((n+ 1)θ(x)) sin(θ(x)) 1. Calculer T_n etU_n pourn= 0,1,2,3.

2. Montrer que pour tout entiern≥1

T_n+1(x) = 2xT_n(x)−T_n−1(x) ∀x∈[−1,1]

et que

Un+1(x) = 2xUn(x)−Un−1(x) ∀x∈[−1,1].

En déduire queTn etUn sont des polynômes de degré net ont la même parité que n. LesTn et les U_nsont appelés respectivement polynômes de Tchebycheff de première et de seconde espèce.

3. Vérifier que(T_n)_n∈N(respectivement(U_n)_n∈N) est une suite de polynômes orthogonaux dansL²([−1,1], p) où le poids p est défini parp(x) = (1−x²)^−1/2 (respectivement par p(x) =√

1−x²).

Exercice 7. [Polynômes de Legendre] Pour tout n ∈N on considère la fonction polynômiale P_n définie pourx∈[−1,1]par

P_n(x) = 1 2ⁿn!

dⁿ

dxⁿ (x²−1)ⁿ 1. Calculer P₀,P₁ etP₂.

2. On définit, pour toutn ∈N,e_n =q

2n+1

2 P_n. Montrer que (e_n)_n∈N est un système orthonormal de L²([−1,1]).

3. Montrer que(en)n∈N est une base hilbertienne deL²([−1,1]).

4. Trouver les valeurs des réelsa,betc qui minimisent l’intégrale I =

Z 1

−1

x³−ax²−bx−c2

dx.

Exercice 8. [Critère de densité des polynomes orthogonaux, Mai 2015] On considère ρ : R → R une fonction mesurable, strictement positive, et telle que

∀α∈R₊, Z

R

e^α|x|ρ(x)dx <∞. (H)

1. Rappeler le produit scalaire usuel de l’espaceL²(R, ρ(x)dx) (on se restreint aux fonctions à valeurs réelles).

2. Montrer queR[X]⊂L²(R, ρ(x)dx).

3. Soitf ∈L²(R, ρ(x)dx)telle que ∀n∈N, R

Rf(x)xⁿρ(x)dx= 0.On pose

∀z∈C, F(z) = Z

R

f(x)e^zxρ(x)dx.

(a) Montrer que F est bien définie et continue sur C.

(b) Après avoir rappelé le développement en série entière de la fonction exponentielle, montrer que F est développable en série entière autour de 0, avec un rayon de convergence infini (autrement dit, il existe (a_n)_n∈N une suite de nombres complexes telle que F(z) = P

n∈Na_nzⁿ pour tout z∈C), puis que la fonction F est nulle (surC).

(c) En déduire que f est nulle (presque partout sur R).

(d) En déduire que l’espace R[X]est dense dans L²(R, ρ(x)dx).

4. On pose I =]0,+∞[ et on suppose maintenant que ∀x ∈ I, ρ(x) = x^−ln(x) (pour laquelle ce qui précède ne s’applique pas : elle n’est pas définie sur R, mais surtout ne satisfait pas l’hypothèse (H), ce que nous ne demandons pas de vérifier).

(a) Montrer que R[X]⊂L²(I, ρ(x)dx).

(b) On pose∀x∈I, f(x) = sin(2πln(x)). Montrer que f ∈L²(I, ρ(x)dx) et que

∀n∈N, Z

I

xⁿf(x)ρ(x)dx= 0.

(c) Que peut-on en déduire ?

Exercice 9. [L’espace de Sobolev h¹(N)] On travaille dans ℓ²(N) :=

(

u= (u_n)_n∈N∈R^N tel que X

n∈N

u²_n<∞ )

que l’on munit de son produit scalaire usuel. On pose h¹(N) :=

(

u= (u_n)_n∈N∈R^N tel que X

n∈N

n²u²_n<∞ )

.

On note

∀(a, b)∈h¹(N)², ha, bih¹(N) =

+∞

X

n=0

(1 +n²)a_nb_n. 1. Pour quelles valeurs de α ∈ R la suite

1 (n+1)^α

n∈N est-elle dans ℓ²(N)? Pour quelles valeurs de α∈Rest-elle dans h¹(N)?

2. Montrer que l’espace h¹(N) muni du produit scalaire h·,·ih¹(N) est un espace de Hilbert. La norme associée à ce produit scalaire est-elle équivalente à la normek · kℓ²(N)?

3. Montrer queh¹(N)est un sous-espace dense de ℓ²(N).

4. Calculer la distanced(u, h¹(N))pour u∈ℓ²(N).

5. (*) Soit B_h1(N)(0,1) = {a ∈ h¹(N) , kakh¹(N) ≤ 1}. Montrer que B_h1(N)(0,1) est un compact de ℓ²(N).

Exercice 10. [Dualité sur les espaces L^p, cas particuliers, Mai 2015] Pour p ∈ [1,∞], on notera p^′ son exposant conjugué. On travaille sur l’intervalleI =]0,1[(muni de la tribu des boréliens et de la mesure de Lebesgue), et toutes les fonctions considérées sont à valeurs dansR. Pourf ∈L^p′(I), on définit l’application

T_f : L^p(I) −→ R

ϕ 7−→

Z

I

f(x)ϕ(x)dx .

1. Montrer que pour tout p ∈ [1,∞] et tout f ∈ L^p′(I), l’application T_f est bien définie, et linéaire continue.

2. On s’intéresse dans cette question au casp= 2 (p^′= 2).

(a) Pour f ∈L²(I), calculer la norme deT_f.

(b) Montrez que pour toute application T : L²(I) → R linéaire continue, il existe une unique fonction f ∈L²(I) telle queT =T_f.

3. On s’intéresse dans cette question au casp= 1 (p^′=∞).

(a) Pour f ∈L^∞(I), calculer la norme de T_f.

(On pourra, lorsque f est non nulle, considérer les fonctions ϕ_n := signe(f)¹_An où A_n = |f| ≥ kfk∞−_n¹ ).

(b) Soit T :L¹(I)→Rlinéaire continue. Montrer qu’il existe f ∈L^∞(I) telle queT =T_f.

(On pourra commencer par montrer qu’il existef ∈L²(I)telle queT =T_f surL²(I), puis mon- trer que |f| est essentiellement majorée (par exemple par1 +kTk_L(L¹(I),R)), et enfin conclure).

Exercice 11. [Espaces de Sobolev périodiques, Mai 2016]On rappelle queT=R/2πZ, et qu’une fonction f :T→C est la donnée d’une fonction2π-périodique. De plus

L²(T) =

f :T→C, Z π

−π|f(t)|²dt <∞

,

et sif ∈L²(T),fbdésigne la suite des coefficients de Fourier def. On pose, pour s∈R₊,

H^s(T) :=

(

f ∈L²(T), X

n∈Z

|n|^2s|fb(n)|² < +∞ )

.

1. Identifier l’espaceH⁰(T).

2. Soits∈R₊.

(a) Montrer que l’application

H^s(T)×H^s(T) −→ C

(f, g) 7−→ P

n∈Z(1 +|n|^2s)fb(n)bg(n) est bien définie, et est un produit scalaire sur l’espace H^s(T).

(b) Donner une expression de la norme associée à ce produit scalaire, que l’on note k · kH^s(T) et montrer que H^s(T) est complet pour cette norme.

(c) Montrer que P(T), l’ensemble des polynômes trigonométriques, est dense dans H^s(T).

3. Pours₁< s₂ où(s₁, s₂)∈R²₊, y a-t-il une inclusion entre H^s1(T) etH^s2(T)? Justifier.

4. Montrer que sis > ¹₂, etf ∈H^s(T), alors fb∈ℓ¹(Z),f a un représentant continu (que l’on notef), et il existe une constante C_s indépendante de f telle que

kfk∞≤CskfkH^s(T).

5. Soits∈R₊. On pose (on rappelle queP(T) est l’ensemble des polynômes trigonométriques) : T : P(T) −→ H^s(T)

P 7−→ P^′ .

Montrer que T se prolonge en une application linéaire continue de H^s+1(T) vers H^s(T) (que l’on munit de leurs normes respectives).