Université de Bretagne Occidentale L3 EURIA - Intégration
Contrôle continu N2 - 7/11/2017
I. Questions de cours.
a) Ennoncer le théorème de convergence monotone sur un espace mesuré (X,T, µ).
b) En déduire que si P
un est une série de fonctions mesurables posi- tives alors
Z
X
∞
X
n=0
un(x)dµ(x) =
∞
X
n=0
Z
X
un(x)dµ(x).
c) Soit λla mesure de Lebesgue sur Retf =P∞ n=1
1
n1]0,n2−n[. Calculer l'intégraleR
Rf dλ. La fonction f est-elle bornée ? intégrable ?
II. Soit (X,T, µ) un espace mesuré tel que µ(X) < ∞ et f : X → [0,∞[ une fonction mesurable.
a) Montrer que pour tout ε > 0, il existe A ⊂ X mesurable tel que µ(Ac)< εet f est bornée sur A.
b) Est-ce que la propriété précédente est toujours vrai lorsqueµ(X) =
∞?
III. On se place dans l'espace mesuré (R,B(R), λ), où λ désigne la mesure de Lebesgue.
a) Que signie l'expressionf =g λ-presque partout.
b) Soit E un ensemble négligeable. Montrer que Ec est dense dans R (on raisonnera par l'absurde en supposant qu'il existe un intervalle ouvert non vide I tel que I∩Ec =∅).
c) Montrer que si f et g sont continues et égales λ-presque partout alors f =g partout.
1
