Espaces de Lebesgue

Universit´e Paris Saclay Master 1

Ann´ee 2020-2021 Analyse, Math´ematiques G´en´erales II

TD4: Espaces de Lebesgue

Exercice 1. Soient (X,A, µ) un espace mesur´e et 1≤p0 <∞.

1. Montrer que si f ∈L^p0(X)∩L^∞(X), alors

p→∞lim kfk_p =kfk_∞.

2. Soit f ∈L^p(X) pour tout p ∈[p0,∞[ telle quekfk_p → ∞ quand p → ∞. Montrer que f /∈L^∞(X).

3. Soit f ∈ L^p(X) pour tout p ∈ [p0,∞[ telle que f /∈ L^∞(X). Montrer que kfk_p → ∞ quand p→ ∞.

Exercice 2. Soit (X,A, µ) un espace de probabilit´e, i.e. µ(X) = 1. Soit f :X →[0,+∞[ une fonction dansL¹(X).

1. En utilisant l’in´egalit´e de H¨older, montrer que si µ({f >0})<1, alors kfk_p →0 quand p→0.

2. Montrer que

p→0lim Z

X

f^pdµ=µ({f >0}).

3. Montrer que pour toutp∈]0,1[ et pour touty∈]0,+∞[,

|y^p−1|

p ≤y+|logy|.

4. On suppose dor´enavant que f >0 surX et que lnf ∈L¹(X). Montrer que

p→0lim Z

X

f^p−1 p dµ=

Z

X

lnf dµ.

5. Montrer que

p→0limkfk_p = exp Z

X

lnf dµ

.

Exercice 3. (Continuit´e de la translation dansL^p(R^N)). On se place dans l’espace mesur´e (R^N,B(R^N),L^N). Soit 1≤p < ∞ et f ∈L^p(R^N). Pour tout h∈R^N, on d´efinit la translation de f par

τhf(x) :=f(x−h) pour toutx∈R^N. Montrer que

khk→0lim kτ_hf−fk_p= 0.

1

Exercice 4. (In´egalit´e de Jensen). Soient (X,A, µ) un espace de probabilit´e etϕ: [a, b]→R une fonction convexe (avec−∞ ≤a < b≤+∞).

1. Montrer que

ϕ(t)−ϕ(s)

t−s ≤ ϕ(u)−ϕ(s)

u−s ≤ ϕ(u)−ϕ(t) u−t pour touta≤s < t < u≤b.

2. En d´eduire queϕ et continue et que pour touts∈[a, b], il existeβs ∈Rtel que ϕ(t)≥ϕ(s) +βs(t−s) pour toutt∈[a, b].

3. Soit f :X →[a, b] telle que f ∈L¹(X). Montrer que ϕ◦f est mesurable et que ϕ

Z

X

f dµ

≤ Z

X

ϕ◦f dµ.

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