Dualité dans les espaces de Lebesgue

Universit´e Paris Saclay Master 1

Ann´ee 2020-2021 Analyse, Math´ematiques G´en´erales II

TD5: Dualit´e dans les L^p

Dans les exercices qui suivent, (X,A, µ) d´esigne un espace mesur´e.

Exercice 1. Soient 0< α < β <∞ et a∈L^∞(X) tels que α≤a(x) ≤β pour µ-presque tout x∈X.

1. Montrer que l’application

(u, v)∈L²(X)×L²(X)7→ hu, vi:=

Z

X

auv dµ

d´efinit un produit scalaire sur L²(X) ´equivalent au produit scalaire canonique.

2. Soit b∈L²(X), on pose Φ(u) =

Z

X

(au²+bu)dµ pour toutu∈L²(X).

V´erifier que Φ est bien d´efinie et continue.

3. Soit Gun sous-espace vectoriel ferm´e de L²(X). Le probl`eme inf{Φ(u) :u∈G}

admet-il une solution ? Est-elle unique ? Peut-on la caract´eriser ? Exercice 2. Pouru₀∈L²(X), on consid`ere l’ensemble

C:={u∈L²(X) : u≥u0}.

1. Montrer que C est un convexe ferm´e deL²(X) et donner une formule pour la projection orthogonalePC surC.

2. Mˆemes questions avecC :={u∈L²(X) : u1 ≥u≥u0}o`uu1 est une fonction deL²(X).

Exercice 3. (Dual de L^p(X) pour 0< p <1).

1. Pour tout 0< p <1, on d´efinit

d(f, g) = Z

X

|f−g|^pdµ.

Montrer quedest une distance surL^p(X) et queL^p(X) est un espace m´etrique complet.

2. On suppose maintenant que X = [0,1], A = B([0,1]) et µ =L¹. Soient V ⊂ L^p([0,1]) un ouvert convexe de L^p(X) contenant 0, r >0 tel que B(0, r) ⊂ V, et f ∈ L^p([0,1]).

Montrer qu’il existe n∈N tel quen^p−1d(f,0)< r.

1

3. Montrer qu’il existe des points 0 =x₀ < x₁< . . . < x_n= 1 tels que Z xi

xi−1

|f(t)|^pdt=n⁻¹d(f,0).

4. Soit g_i:=nf1_(xi−1,xi] pour touti∈ {1, . . . , n}. Montrer queg_i∈V et que d(gi,0) =n^p−1d(f,0)< r.

5. Montrer quef = ¹_nPn

i=1g_i ∈V et en d´eduire queV =L^p([0,1]).

6. En d´eduire que (L^p([0,1]))⁰ ={0}.

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