Espaces de Lebesgue

Chapitre 4

Espaces de Lebesgue

On rappelle qu’unetribu(ou -alg`ebre) sur un ensembleX est une famille Ade parties de X v´erifiant :

(i) ; 2A;

(ii) siA2A, alorsX\A2A;

(iii) si (A_n)_n2N est une suite d’´el´ements deA, alors S

n2NA_n2A. Le couple (X,A) est appel´eespace mesurable.

Unemesure(positive) est une application µ:A![0,+1] qui satisfait (i) µ(;) = 0 ;

(ii) si (A_n)_n2N est une suite d’ensembles dansA deux `a deux disjoints,

µ [

n2N

A_n

!

=

+1X

n=0

µ(A_n).

Le triplet (X,A, µ) est appel´eespace mesur´e.

Pour les fonctions f : (X,A) ! R on munit implicitement l’espace d’arriv´ee R de la tribu Bor´elienne B(R). Ainsi, f est A-mesurable si f ¹(B) 2 A pour tout B 2 B(R) ce qui est encore ´equivalent `af ¹(U)2Apour tout ouvertU ⇢R.

4.1 Premi` eres d´ efinitions et propri´ et´ es

D´efinition 4.1.1. Soit 1p 1, on d´efinit

L^p(X) := f :X!RA-mesurable : kfk_L^p(X)<+1 , o`u

kfk_L^p(X):=

8>

><

>>

:

✓Z

X|f|^pdµ

◆1/p

si 1p < 1, ess sup

x2X |f(x)|= inf{C 0 : µ({|f|> C}) = 0} sip=1. Commen¸cons par ´etablir deux in´egalit´es fondamentales en th´eorie de l’int´egration.

37

Proposition 4.1.2 (In´egalit´e de H¨older). Soient 1  p  1 et p⁰ 1 son exposant conjugu´e d´efini par 1/p+ 1/p⁰ = 1 (par convention p⁰ = 1si p=1, et p⁰ =1 sip= 1).

Si f 2L^p(X) etg2L^p0(X) alorsf g2L¹(X) et

kf gk_L¹(X) kfk_L^p(X)kgk_L^p0_(X).

D´emonstration. Par concavit´e du logarithme sur ]0,+1[, pour a, b >0 et 1p, p⁰ <1 avec 1/p+ 1/p⁰ = 1, on a

log(ab) = log(a) + log(b) = 1

plog(a^p) + 1

p⁰ log(a^p0)log

✓1 pa^p+ 1

p⁰b^p0

◆ .

Par passage `a l’exponentielle, on obtient l’in´egalit´e de Young ab 1

pa^p+ 1 p⁰b^p0

qui reste vraie pour tout a 0 et b 0. En prenant a = |f(x)|/kfkL^p(X) et b =

|g(x)|/kgk_L^p0_(X) et en int´egrant surX, on obtient l’in´egalit´e voulue.

Dans l’un des cas p = 1 ou p = 1, le r´esultat est imm´ediat par d´efinition du sup- essentiel.

Proposition 4.1.3 (In´egalit´e de Minkowski). Pour 1  p  1 et pour tout f, g 2 L^p(X), on a

kf +gkL^p(X) kfkL^p(X)+kgkL^p(X).

D´emonstration. On commence par le cas p=1. Par d´efinition du sup-essentiel,|f(x)| kfkL¹(X) et|g(x)| kgkL¹(X) pour µ-presque toutx2X, d’o`u

|f(x) +g(x)||f(x)|+|g(x)| kfk_L¹(X)+kgk_L¹(X), pourµ-presque tout x2E, et donckf+gk_L¹(X) kfk_L¹(X)+kgk_L¹(X).

Sip= 1, on a

kf+gk_L¹(X)= Z

E|f+g|dµ Z

X

(|f|+|g|)dµ kfk_L¹(X)+kgk_L¹(X). Enfin, si 1< p <1, l’in´egalit´e de H¨older implique que

kf+gk^p_L^p_(X) = Z

E|f +g|^pdµ= Z

X|f+g||f+g|^{p 1}dµ

 Z

X|f||f+g|^{p 1}dµ+ Z

X|g||f+g|^{p 1}dµ

 (kfk_L^p(X)+kgk_L^p(X))

✓Z

X

(|f +g|^{p 1})^{p/(p 1)}dµ

◆(p 1)/p

= (kfkL^p(X)+kgkL^p(X))kf+gk^p_L^p_(X)¹ , ce qui conclut la preuve de ce r´esultat.

4.1. PREMI `ERES D ´EFINITIONS ET PROPRI ´ET ´ES 39 L’in´egalit´e de Minkowski montre que l’application L^p(X) 3 f 7! kfk_L^p(X) satisfait l’in´egalit´e triangulaire. Par ailleurs, k fkp = | |kfkp pour tout 2 R et f 2 L^p(X) et k0k_L^p(X) = 0. Malheureusement, kfk_L^p(X) = 0 n’implique pas forc´ement que f = 0, ce qui montre que l’applicationL^p(X)3f 7! kfk_L^p(X) ne d´efinit pas une norme sur L^p(X) (c’est en fait une semi-norme). En e↵et, on a le r´esultat suivant qui caract´erise toutes les fonctions de semi-norme nulle :

Proposition 4.1.4. Soit f :X ![0,+1[une fonction A-mesurable telle que Z

X

f dµ= 0.

Alors f(x) = 0 µ-presque pour tout x2X.

D´emonstration. On consid`ere les ensembles mesurables E_n := {f 1/n}. La suite d’en- sembles (E_n)_n2N est croissante et {f >0}=S₁

n=1E_n. Par cons´equent, 1

nµ(En) Z

En

f dµ Z

E

f dµ= 0,

et donc, µ(E_n) = 0 pour tout n2N. On en d´eduit par passage `a la limite que µ({f >0}) =µ

[1 n=1

E_n

!

= lim

n!1µ(E_n) = 0, ce qui montre bien quef = 0 µ-p.p. dans X.

Etant donn´ees deux fonctions A-mesurables f et g : X ! [ 1,+1], on dit que f ⇠ g, si f(x) = g(x) µ-presque pour tout x 2 X. On peut montrer que ⇠ d´efinit une relation d’´equivalence (r´eflexive, sym´etrique et transitive) dans la classe des fonctions A-mesurables. Les espacesL^p(X) peuvent ˆetre rendus norm´es en consid´erant l’espace quo- tientL^p(X)/⇠not´e dor´enavantL^p(X). Sif 2L^p(E), on notera (temporairement) [f] sa classe d’´equivalence et par d´efinition de la norme dans un espace quotient, on a

k[f]kL^p(X)= inf

f2[f]kfk_L^p(X)=kfk_L^p(X) pour toutf 2[f].

Par abus de notation, nous identifierons syst´ematiquement une fonction avec sa classe d’´equivalence.

D´efinition 4.1.5. Soit f 2L^p(X), on note

kfkp =kfkL^p(X)= 8>

><

>>

:

✓Z

X|f|^pdµ

◆1/p

si 1p <1, ess sup

x2X |f(x)| sip=1. Les in´egalit´es de H¨older et Minkowski restent vraies dans les L^p(X).

Proposition 4.1.6 (In´egalit´e de H¨older). Soient 1  p  1 et p⁰ 1 son exposant conjugu´e d´efini par 1/p+ 1/p⁰ = 1 (par convention p⁰ = 1si p=1, et p⁰ =1 sip= 1).

Si f 2L^p(X) et g2L^p0(X) alors f g2L¹(X) et kf gk1 kfkpkgkp⁰.

Proposition 4.1.7 (In´egalit´e de Minkowski). Pour1p 1 et toutf,g2L^p(X), on a

kf +gkp kfkp+kgkp.

Proposition 4.1.8. Pour tout 1 p  1, l’application L^p(X) 3 f 7! kfkp d´efinit une norme surL^p(X). De plus, pour p= 2, l’application

(f, g)2L²(X)⇥L²(X)7! hf, gi:=

Z

X

f g dµ.

d´efinit un produit scalaire sur L²(X).

D´emonstration. D’apr`es la Proposition 4.1.4, si kfkp = 0, alors f = 0 µ-p.p. dans X, et donc f = 0 dans L^p(X). Par ailleurs, k fkp = | |kfkp pour tout 2 R et f 2 L^p(X).

Enfin l’in´egalit´e triangulaire n’est autre que l’in´egalit´e de Minkowski.

Si p = 2, l’in´egalit´e de H¨older (Cauchy-Schwarz dans ce cas) assure que l’int´egrale R

Xf g dµ est bien d´efinie pour f et g 2 L²(X). De plus, il s’agit clairement d’une forme bilin´eaire (par lin´earit´e de l’int´egrale) sym´etrique d´efinie positive (d’apr`es la Proposition 4.1.4) ce qui assure que h·,·i est e↵ectivement un produit scalaire surL²(X).

4.2 Compl´ etude

Th´eor`eme 4.2.1 (Riesz-Fischer). Pour tout 1p 1, l’espace L^p(X) est complet.

D´emonstration. Supposons d’abord que 1  p < 1. Soit (fn)n2N une suite de Cauchy dans L^p(X). Grˆace `a la propri´et´e de Cauchy, on construit par r´ecurrence une sous-suite (f_nj)_{j 1} de (f_n)_n2N ayant la propri´et´e

kf_nj+1 f_njkp 2 ^j pour toutj 1.

Soitu_k=Pk

j=1|f_nj+1 f_nj|, alors la suite (u_k)_{k 1} est croissante et ku_kkp 

Xk j=1

2 ^j 1.

Par cons´equent, le th´eor`eme de la convergence monotone assure que Z

X|u|^pdµ= lim

k!+1

Z

X|u_k|^pdµ1,

4.2. COMPL ´ETUDE 41 o`u l’on a pos´e u := lim_ku_k = P

j 1|f_nj+1 f_nj|, ce qui montre que u(x) < 1 pour µ-presque toutx2X. On pose

f(x) =

(f_n1(x) +P

j 1 f_nj+1(x) f_nj(x) si P

j 1|f_nj+1(x) f_nj(x)|<+1,

0 si P

j 1|f_nj+1(x) f_nj(x)|= +1 La fonctionf ainsi d´efinie est A-mesurable et comme la somme

f_n1(x) +X

j 1

f_nj+1(x) f_nj(x)

se t´el´escope, on en d´eduit que fnj !f µ-p.p. dans X. De plus, le lemme de Fatou assure

que Z

X|f|^pdµ Z

X|f_n1|^pdµ+ Z

X

lim inf

k!+1|u_k|^pdµ Z

X|f_n1|^pdµ+ 1<1,

ce que assure que f 2 L^p(X). Comme |f_nj|  |f_n1|+u 2 L^p(X), le th´eor`eme de la convergence domin´ee montre quef<sub>nj</sub> !f dansL<sup>p</sup>(X). Montrons que toute la suitef<sub>n</sub>!f dansL<sup>p</sup>(X). Soit">0, d’apr`es le crit`ere de Cauchy, il existe un rangN 2Ntel que pour

toutm,n N,kf_n f_mkp ". Soitjassez grand de sorte quen_j N, alors il vient que

kfn fkp kfn fnjkp+kfnj fkp "+kfnj fkp. En faisant tendrej!+1 puis "!0, on obtient la convergence souhait´ee.

Pourp=1, si (f_n)_n2Nest une suite de Cauchy dansL¹(X), alors il existe un ensemble µ-n´egligeableA2A tel que

|fn(x)| kfnk1, |fn(x) fm(x)| kfn fmk1

pour tout x2X\A et toutm, n2N. (4.2.1) Donc six2X\A, (f_n(x))_n2Nest une suite de Cauchy dansRcomplet, elle admet donc une limite not´eef(x). Par ailleurs, on posef(x) = 0 si x2A. La fonction f ainsi d´efinie est A-mesurable comme limite d’une suite de fonctions mesurables. De plus, comme (f_n)_n2N est de Cauchy dans L¹(X) elle est born´ee. Donc il existe M > 0 tel que kf_nk1  M et donc par passage `a la limite dans la premi`ere in´egalit´e de (4.2.1), il vient |f(x)|M µ-presque pour toutx2X soitf 2L¹(X). Enfin d’apr`es le crit`ere de Cauchy, pour tout

">0, il existe un rang N 2N tel que pour tout m,n N,kf_n f_mk1 ". Donc par

passage `a la limite dans la deuxi`eme in´egalit´e de (4.2.1), il vient|f_n(x) f(x)|"pour toutn N etµ-presque tout x2X, soitkf_n fk1"pour tout n N, ce qui montre quef_n!f dans L¹(X).

Corollaire 4.2.2. Pour tout 1 p 1, les espaces L^p(X) sont des espaces de Banach et L²(X) est un espace de Hilbert.

4.3 R´ esultats de densit´ e

Th´eor`eme 4.3.1. Pour tout 1p 1 l’ensemble des fonctions ´etag´ees est dense dans L^p(X).

D´emonstration. Soit f 2 L^p(X), en d´ecomposant f = f₊ f , on peut supposer sans restreindre la g´en´eralit´e que f 0. Soit (f_n)_n2N la suite de fonctions ´etag´ees d´efinies de la fa¸con suivante : pour tout n 2 N et k 2 {0, . . . , n2ⁿ 1}, on d´efinit les ensembles A-mesurables

E_n,k:=

⇢

x2X: k

2ⁿ f(x)< k+ 1

2ⁿ , F_n:={f n}. et pour toutx2X,

f_n(x) :=

n2Xⁿ 1 k=0

k

2^{n En,k}(x) +n _Fn(x).

On v´erifie que la suite (f_n)_n2Nest croissante et qu’elle convergeµ-presque partout versf. Si p = 1, alors pour tout n kfk1, on a |f_n(x) f(x)|  2 ⁿ presque pour tout x2X, et donckf_n fk12 ⁿ!0.

Si 1  p < 1, comme f_n(x) % f(x) pour presque tout x 2 E, on en d´eduit que

|f(x) f_n(x)|^p !0 et |f(x) f_n(x)|^p 2^pf(x)^p µ-presque pour tout x2X, d’o`u par le th´eor`eme de la convergence domin´eekf f_nkp !0.

Dans la suite, nous allons nous restreindre au cas de la mesure de Lebesgue, not´ee L^N. Afin de montrer un r´esultat de densit´e des fonctions continues dans les espaces de Lebesgue, nous aurons besoin d’une propri´et´e de r´egularit´e de la mesure de Lebesgue.

Proposition 4.3.2. Soit E⇢R^N un ensemble Bor´elien, alors

L^N(E) = inf{L^N(U) : U ouvert avecE ⇢U}= sup{L^N(K) : K compact avec K ⇢E}. D´emonstration. La r´egularit´e ext´erieure

L^N(E) = inf{L^N(U) : U ouvert avec E⇢U}

est une cons´equence imm´ediate de la construction de la mesure de Lebesgue.

Montrons maintenant la r´egularit´e int´erieure

L^N(E) = sup{L^N(K) : K compact avecK ⇢E}.

On a toujours que L^N(E) sup{L^N(K) : K compact avecK ⇢ E}. Pour ´etablir la deuxi`eme in´egalit´e, on applique la r´egularit´e ext´erieure `a l’ensemble born´e B(0, n)\E, o`u n 2 N. Pour tout n 2 N, il existe alors un ensemble ouvert V_n B(0, n)\E tel que L^N(V_n)L^N(B(0, n)\E)+". SoitF_n:=V_n^cqui est un ferm´e satisfaisantF_n⇢E[B(0, n)^c et

L^N((E\F_n)\B(0, n)) =L^N((V_n\(E^c))\B(0, n)) =L^N(V_n\B(0, n)) L^N(B(0, n)\E)".

4.3. R ´ESULTATS DE DENSIT ´E 43 On poseK_n=F_n\B(0, n) qui est un ensemble compact satisfaisant K_n⇢E et

L^N(E\B(0, n)) = L^N((E\F_n)\B(0, n)) +L^N(K_n)L^N(K_n) +"

 sup{L^N(K) : K compact avecK ⇢E}+".

Comme par ailleurs,L^N(E\B(0, n))!L^N(E) on obtient la deuxi`eme in´egalit´e en faisant tendre n!+1 puis"!0.

Cette propri´et´e de r´egularit´e de la mesure de Lebesgue permet de montrer la densit´e des fonctions continues dans les espaces de Lebesgue pourp <1.

Th´eor`eme 4.3.3. Soit ⌦⇢R^N un ouvert et 1 p < 1. Alors l’espace Cc(⌦) est dense dansL^p(⌦).

D´emonstration. Soit f 2L^p(⌦). D’apr`es le Th´eor`eme4.3.1, pour tout ">0, il existe une fonction ´etag´eegtelle quekf gkp ". On est donc ramen´e `a montrer que toute fonction

´etag´ee `a support compacte peut ˆetre approch´ee par une fonction de Cc(⌦) pour la norme L^p(⌦).

Soit (K_n)_n2Nune suite exhaustive de compacts telle queK_n⇢K˚_n+1 pour toutn2Net

⌦=S

n2NK_n. Le Th´eor`eme de la convergence domin´ee assure quekg _Kngkp!0 quand n!+1. On peut donc supposer sans restreindre la g´en´eralit´e queg= 0 au voisinage de

@⌦.

Par lin´earit´e, il suffit de consid´erer la fonction caract´eristique d’un ensemble mesurable A tel que A est compact et A ⇢ ⌦ (autrement dit A est `a support compact dans ⌦).

En particulier, comme A est born´e, on a L^N(A) < +1. Par cons´equent la Proposition 4.3.2 assure, pour tout " > 0, l’existence d’un ouvert U et d’un compact K tels que

K⇢A⇢U etL^N(U\K)". Le Lemme d’Urysohn donne alors l’existence d’une fonction

h2Cc(⌦; [0,1]) telle queh= 1 surK et Supp(h)⇢U. D’o`u, comme _K h U, Z

⌦|h _A|^pdxL^N(U\K)",

ce qui conclut la preuve du r´esultat.

Nous allons `a pr´esent am´eliorer le r´esultat pr´ec´edent en montrant que l’ensemble des fonctions r´eguli`eres et `a support compact est dense dans les espaces de Lebesgue. Si⌦est un ouvert de R<sup>N</sup> l’espace Cc<sup>1</sup>(⌦) est l’ensemble des fonctions f : ⌦ ! R admettant des d´eriv´ees partielles `a tout ordre et telles que Supp(f) est un compact inclu dans ⌦.

D´efinition 4.3.4. Soit⇢2Cc¹(R^N) telle que⇢ 0, Supp(⇢)⇢B(0,1) etR

R^N⇢(x)dx= 1.

Pour toutn2N, on pose⇢_n(x) :=n^N⇢(nx) de sorte queR

R^N⇢_n(x)dx= 1 et Supp(⇢_n)⇢ B(0,¹_n). On dit que (⇢_n)_n2Nest une suite r´egularisante.

A titre d’exemple, on peut v´erifier que la fonction ⇢:R^N !Rd´efinie par

⇢(x) :=c

(e^{kxk12 1} si kxk<1,

0 si kxk 1,

o`u la constantec:=

✓R

B(0,1)e^{kxk12 1} dx

◆ 1

, satisfait les propri´et´es requises ci-dessus.

D´efinition 4.3.5. Sif :R^N !Rest une fonction localement int´egrable (i.e.dansL¹(K), pour tout compactK ⇢R^N, et on notef 2L¹_loc(R^N)) on d´efinit le produit de convolution

f ⇤⇢_n(x) :=

Z

R^N⇢_n(x y)f(y)dy= Z

R^Nf(x y)⇢_n(y)dy pour toutx2R^N. Remarque 4.3.6. Notons que l’int´egrale est bien d´efnie car y 7! ⇢_n(x y) s’annule en dehors de B(x,¹_n), elle est born´ee sur cet ensemble et f est int´egrable sur cet ensemble.

Lemme 4.3.7. Si f 2L¹_loc(R^N), alors f⇤⇢n2C¹(R^N). De plus

— sif 2Cc(R^N), alorsf⇤⇢_n2Cc¹(R^N),Supp(f⇤⇢_n)⇢Supp(f)+B(0,¹_n)etf⇤⇢_n!f dans L^p(R^N) pour tout 1p 1;

— si f 2L^p(R^N), alors f⇤⇢n!f dans L^p(R^N) pour tout 1p <1.

D´emonstration. Montrons d’abord quef⇤⇢nest de classeC¹. On montre par convergence domin´ee que f ⇤⇢_n est continue sur R^N. Montrons `a pr´esent qu’elle admet des d´eriv´ees partielles d’ordre 1. Soith2Ravec |h|<1, en notant{e₁, . . . , e_N} la base canonique de R^N, on calcule

f⇤⇢_n(x+he_i) f⇤⇢_n(x)

h =

Z

R^N

⇢_n(x+he_i y) ⇢_n(x y)

h f(y)dy.

Pour presque touty2R, on a ^{⇢n(x+h y)}_h ^{⇢n(x y)}f(y)!@_xi⇢_n(x y)f(y) quandh!0 car

⇢_nest di↵´erentiable surR^N. Par ailleurs, le Th´eor`eme des accroissements finis montre que pour presque touty2R<sup>N</sup>, on a <sup>⇢n(x+hei</sup> <sub>h</sub><sup>y) ⇢n(x y)</sup>f(y) max<sub>R</sub>N|@xi⇢n| <sub>B(x,2)</sub>(y)|f(y)| car ⇢<sub>n</sub>(x+y he<sub>i</sub>) = ⇢<sub>n</sub>(x y) = 0 si |y x| > 2. Notons que @<sub>xi</sub>⇢<sub>n</sub> ´etant ´egalement Cc<sup>1</sup>(R<sup>N</sup>) elle est born´ee sur R<sup>N</sup> ce qui montre que max<sub>R</sub>N|@<sub>xi</sub>⇢<sub>n</sub>| <sub>B(x,2)</sub>|f|2L<sup>1</sup>(R<sup>N</sup>). Le Th´eor`eme de la convergence domin´ee montre alors que

hlim!0

f⇤⇢_n(x+he_i) f ⇤⇢_n(x)

h =

Z

R^N@_xi⇢_n(x y)f(y)dy,

ce qui montre quef⇤⇢_nadmet des d´eriv´ees partielles d’ordre 1 et@_xi(f⇤⇢_n) =f⇤(@_xi⇢_n) pour tout 1  i  N. On montre de nouveau par convergence domin´ee que toutes les d´eriv´ees partielles d’ordre 1 sont continues sur R^N, ce qui ´etablit que f⇤⇢n est de classe C¹ surR^N. Par r´ecurrence, on montre ainsi que f ⇤⇢_n est de classeC¹ sur R^N.

Sif 2Cc(R^N), alors il existe R >0 tel que Supp(f)⇢B(0, R). Comme f est continue sur le compact B(0, R) (et donc born´ee) et nulle `a l’ext´erieur de B(0, R), f 2 L¹_loc(R^N).

De plus si x 62 Supp(f) + Supp(⇢_n) et y 2 Supp(⇢_n), alors x y 62 Supp(f) et donc f(x y) = 0. Par cons´equent,

f⇤⇢_n(x) = Z

R^Nf(x y)⇢_n(y)dy= Z

Supp(⇢n)

f(x y)⇢_n(y)dy= 0,

ce qui montre que le support def⇤⇢n(qui est toujours un ferm´e) est inclu dans Supp(f) + Supp(⇢_n) = Supp(f) +B(0,¹_n) et en particulier que f 2 Cc¹(R^N). Comme f est uni- form´ement continue, pour tout " > 0 il existe un > 0 tels que kx x⁰k  implique

4.3. R ´ESULTATS DE DENSIT ´E 45

|f(x) f(x⁰)|". Soit n₀ 2Nassez grand de sorte que 1/n pour tout n n₀. Donc

pour tout y 2B(0,_n¹), on a |f(x) f(x y)|". On multiplie alors cette in´egalit´e par

⇢n(y) 0, puis on int`egre surR^N,

|f(x) f⇤⇢_n(x)| = Z

R^N(f(x) f(x y))⇢_n(y)dy

 Z

R^N|f(x) f(x y)|⇢n(y)dy", (4.3.1)

o`u l’on a utilis´e le fait que R

R^N⇢_n(y)dy = 1. On a donc montr´e que, pour tout "> 0, il existe unn₀ 2N (qui ne d´epend que de donc") tels que pour tout n n₀ et pour tout

x2R,|f(x) f⇤⇢n(x)|", ce qui montre quef⇤⇢n!f uniform´ement surR^N et donc

dansL¹(R^N). Si 1p <1, comme f(x) =f⇤⇢_n(x) = 0 si |x|> R+_n¹, on peut ´elever l’expression (4.3.1) `a la puissancep, puis par int´egration,

Z

R^N|f(x) f⇤⇢_n(x)|^pdx= Z

B(0,R+_n¹)|f(x) f⇤⇢_n(x)|^pdx"^pL^N(B(0, R+ 1)), (4.3.2) ce qui montre ´egalement que f⇤⇢_n!f dansL^p(R^N) pour tout 1p <1.

Supposons enfin quef 2L^p(R^N), pour 1p <1. D’apr`es l’in´egalit´e de H¨older, pour tout compact K⇢R^N,

Z

K|f(x)|dx kfkpL^N(K)^{1 1/p}<1,

ce qui prouve que f 2 L¹_loc(R^N), et donc que le produit de convolution f ⇤⇢n est bien d´efini. D’apr`es le Th´eor`eme4.3.3, pour tout ">0 il existe une fonctiong 2Cc(R^N) telle

quekf gkp ". Par ailleurs, d’apr`es (4.3.2), on akg g⇤⇢_nkp "pour nassez grand.

Par cons´equent,

kf f⇤⇢_nkp  kf gkp+kg g⇤⇢_nkp+k(g f)⇤⇢_nkp 2"+k(g f)⇤⇢_nkp. Or, d’apr`es l’in´egalit´e de H¨older et le fait queR

R^N⇢_n(y)dy= 1,

|(g f)⇤⇢_n(x)|^p = Z

R^N

(g(x y) f(x y))⇢_n(y)dy

p

= Z

R^N(g(x y) f(x y))⇢_n(y)^1/p⇢_n(y)^1/p0dy

p

 Z

R^N|g(x y) f(x y)|^p⇢_n(y)dy,

puis, en int´egrant par rapport `ax et en appliquant le th´eor`eme de Fubini-Tonelli, il vient que

k(g f)⇤⇢_nk^pp Z

R^N

✓Z

R^N|g(x y) f(x y)|^pdx

◆

⇢_n(y)dy=kg fk^pp. Par cons´equent,kf f⇤⇢_nkp 3", ce qui conclut la preuve du lemme.

Corollaire 4.3.8. Soit ⌦⇢R^N un ouvert et 1p <1. Alors l’espace Cc¹(⌦) est dense dansL^p(⌦).

D´emonstration. D’apr`es le Th´eor`eme 4.3.3, pour tout f 2L^p(⌦) et tout "> 0, il existe ung2Cc(⌦) tel quekf gkp ". On ´etendg par z´ero en dehors de⌦ et on note ˜g cette extension. Alors ˜g2Cc(R^N) et Supp(˜g)⇢⌦. D’apr`es le Lemme4.3.7, on peut choisirn₀ 2 Nsuffisamment grand de sorte que pour toutn n0, Supp(˜g⇤⇢n)⇢Supp(˜g)+B(0,_n¹)⇢⌦ etkg˜⇤⇢_n ˜gkp ". Finalement, on obtient quef_n:= ˜g⇤⇢_n|⌦ 2Cc¹(⌦) et

kf f_nkp  kf gkp+kg g˜⇤⇢_nkp 2", ce qui conclut la preuve du corollaire.

4.4 S´ eparabilit´ e

Nous somme `a pr´esent en mesure de discuter la s´eparabilit´e des espaces de Lebesgue.

Proposition 4.4.1. Soit ⌦ un ouvert de R^N et 1  p < 1. Alors l’espace L^p(⌦) est s´eparable.

D´emonstration. Soit (Kn)n2N une suite exhaustive de compact, i.e., Kn ⇢ K˚n+1 pour toutn2N et⌦=S

n2NK_n. D’apr`es le Corollaire 2.2.5,C(K_n) est s´eparable par rapport

`

a la norme uniforme surK_n. Or les ensemblesK_n ´etant born´es, la convergence uniforme surKn implique la convergence dans L^p(Kn) pour tout 1p <1 car

Z

Kn

|f g|^pdxL^N(K_n) sup

Kn

|f g|^p pour toutf, g 2C(K_n).

Par cons´equent, l’espaceC(K_n) est s´eparable pour la convergence dansL^p(K_n). Pour tout n2N, il existe donc un ensemble Dn d´enombrable dense dansC(Kn) pour la convergence dansL^p(K_n).

Posons D:=S

nD_n qui est par cons´equent d´enombrable. Si l’on ´enum`ere les ´el´ements deD en une suite (fi)<sub>i2N</sub>, chacune des fonctionsfi est une fonction continue sur un sous- ensemble compact de ⌦. On ´etend alors f<sub>i</sub> par z´ero sur ⌦, et on note ˜f<sub>i</sub> cette extension qui n’est a priori plus continue mais toutefois dans L<sup>p</sup>(⌦). L’ensemble ˜D:= {f˜<sub>i</sub>}i2N est alors un sous-ensemble d´enombrable deL<sup>p</sup>(⌦). Montrons qu’il est dense dansL<sup>p</sup>(⌦). Pour ce faire, soit f 2 L<sup>p</sup>(⌦) et "> 0. D’apr`es le Th´eor`eme 4.3.3, il existe g 2 Cc(⌦) tel que

kf gkL^p(⌦)  ". Ensuite il existe un n 2 N tel que Supp(g) ⇢ K_n. Donc il existe un

h2D_n tel que kg hkL^p(Kn) ". Soit ˜h l’extension par z´ero de h sur⌦. Alors ˜h 2D˜ et commeg= 0 sur ⌦\Kn, il vient

Z

⌦|˜h g|^pdx= Z

Kn

|h g|^pdx"^p.

Finalement, on a que kf h˜kL^p(⌦)  kf gkL^p(⌦)+kg ˜hkL^p(⌦)2", ce qui montre la densit´e de ˜D dansL^p(⌦).

4.5. CRIT `ERE DE COMPACIT ´E 47 Proposition 4.4.2. Soit ⌦un ouvert de R^N. L’espace L¹(⌦) n’est pas s´eparable.

D´emonstration. Soit X := { B(x,r) : B(x, r) ⇢ ⌦} qui est une famille non d´enombrable de L¹(⌦). Si , ⁰ 2 X sont telles que 6= ⁰, alors k ⁰k1 = 1. Supposons qu’il existe un sous-ensemble D ={fn}_n2N de L¹(⌦) d´enombrable et dense. Soit :X ! N l’application qui `a chaque 2Xassocie le plus petit entiern2Ntel quek f_nk11/3.

Cette application est bien d´efinie par densit´e de D dans L¹(⌦). Supposons maintenant que ( 1) = ( 2) =n, alorsk 1 fnk11/3 etk 2 fnk11/3, ce qui implique par l’in´egalit´e triangulaire quek 1 2k12/3<1. Comme ₁et ₂2Xsont des fonctions caract´eristiques, alors n´ecessairement ₁ = ₂ dansL¹(⌦) ce qui montre l’injectivit´e de

. L’ensembleX ´etant non d´enombrable, on aboutit `a une contradition.

4.5 Crit` ere de compacit´ e

Pour finir, nous ´etablissons un crit`ere compacit´e dans les espaces de Lebesgue.

Th´eor`eme 4.5.1 (Riesz-Fr´echet-Kolmogorov). Soit (f_n)_n2N une suite de fonctions dansL^p(R^N), avec 1p <1, telle que

(i) sup

n2NkfnkL^p(R^N)<+1; (ii) sup

kyk

sup

n2N

Z

R^N|f_n(x+y) f_n(x)|^pdx!0 quand !0.

Alors, pour tout compact K ⇢ R^N, la suite (fn|K)n2N admet une sous-suite convergente dansL^p(K).

D´emonstration. Soit (⇢_k)_k2Nune suite r´egularisante comme dans la D´efinition4.3.4. Pour tout k 2 N, on consid`ere la suite (f<sub>n</sub>⇤⇢<sub>k|K</sub>)<sub>n2N</sub> de fonctions dans C(K). Nous allons montrer que pour tout k 2 N, la suite (fn⇤⇢<sub>k|K</sub>)<sub>n2N</sub> admet une sous-suite convergente dans C(K). Pour faire, nous allons appliquer le th´eor`eme d’Ascoli-Arzela. Tout d’abord d’apr`es l’in´egalit´e de H¨older, pour tout x2K, on a

|f_n⇤⇢_k(x)| Z

R^N|f_n(x y)|⇢_k(y)dy kf_nkL^p(R^N)k⇢_kk_L^p0_(R^N₎C_k,

o`u, d’apr`es l’hypoth`ese (i), la constanteC_k>0 est ind´ependante denet dex. Par ailleurs, six etx⁰2K,

|f_n⇤⇢_k(x) f_n⇤⇢_k(x⁰)|  Z

R^N|f_n(x y) f_n(x⁰ y)|⇢_k(y)dy

= Z

R^N|f_n(x x⁰+z) f_n(z)|⇢_k(x⁰ z)dz

 k⇢kk_L^p0_(R^N₎ sup

kykkx x⁰k

sup

n2N

Z

R^N|fn(z+y) fn(z)|^pdz

!1/p

= !_k(kx x⁰k),

o`u, d’apr`es l’hypoth`ese (ii), !<sub>k</sub>(t) ! 0 quand t ! 0<sup>+</sup>, ce qui montre l’uniforme ´equi- continuit´e de la suite (f<sub>n</sub>⇤⇢<sub>k|K</sub>)<sub>n2N</sub>. Le Th´eor`eme d’Ascoli-Arzela combin´e avec un prin- cipe d’extraction diagonal assure l’existence d’une sous-suite (f _(n)⇤⇢k|K)n2Nqui converge dans C(K) pour tout k 2 N. Comme K est born´e on en d´eduit que (f _(n)⇤⇢_k

|K)_n2N converge dansL^p(K).

Nous allons `a pr´esent montrer que la sous-suite (f <sub>(n)</sub>)<sub>n2N</sub> est de Cauchy dans L<sup>p</sup>(K) ce qui montrera qu’elle converge dans cet espace par le Th´eor`eme de Riesz-Fisher. Pour ce faire, on ´ecrit grˆace `a l’in´egalit´e triangulaire que

kf _(n) f _(m)kL^p(K)  kf _(n) f _(n)⇤⇢_kkL^p(K)

+kf _(n)⇤⇢_k f _(m)⇤⇢_kkL^p(K)+kf _(m) f _(m)⇤⇢_kkL^p(K). (4.5.1) Comme Supp(⇢_k)⇢B(0,¹_k) et R

R^N⇢_k(y)dy= 1,

|f _(n)(x) f _(n)⇤⇢_k(x)| Z

B(0,¹_k)|f _(n)(x) f _(n)(x y)|⇢_k(y)dy.

En ´elevant l’in´egalit´e pr´ec´edente `a la puissance p, en int´egrant par rapport `a x2K et en appliquant l’in´egalit´e de H¨older et le Th´eor`eme de Fubini-Tonelli, il vient

Z

K|f _(n)(x) f _(n)⇤⇢k(x)|^pdx  Z

B(0,_k¹)

✓Z

K|f _(n)(x) f _(n)(x y)|^pdx

◆

⇢k(y)dy

 sup

kyk1/k

sup

n2N

Z

K|f_n(x) f_n(x y)|^pdx.

D’apr`es l’hypoth`ese (ii), on en d´eduit alors que

k!+1lim sup

n2N

Z

K|f _(n)(x) f _(n)⇤⇢_k(x)|^pdx= 0.

Par cons´equent, si">0, on peut donc trouver unk₀ 2Ntel que sup

n2N

Z

K|f _(n)(x) f _(n)⇤⇢k0(x)|dx "

3. La suite (f _(n)⇤⇢_k0

|K)_n2N´etant convergente dansL^p(K), elle y est de Cauchy et on peut trouver unN₀ 2Ntel que pour tout m,n N₀,

kf _(n)⇤⇢_k0 f _(m)⇤⇢_k0kL^p(K) "

3.

Donc sim,n N₀, (4.5.1) donnekf _(n) f _(m)kL^p(K) ", ce qui montre que (f _(n))_n2N est Cauchy dansL^p(K), et donc qu’elle converge dans cet espace.