Université de Bretagne Occidentale L3 EURIA - Intégration
Examen du lundi 14 décembre 2015
I. Soitλ2 la mesure de Lebesgue surR2.
(a) La fonctionf(x, y) = log(|x−y|)1[−1,1](x−y) est-elle λ2-mesurable sur R2? (b) Calculer la mesureλ2 de la bande B ={(x, y)∈R2:|x−y|<1/2}.
(c) La fonction f est-elleλ2-intégrable ? (on pourra minorer |f| sur B).
II. Soitgune fonction positive, intégrable pour la mesure de Lebesgueλ2 surR2. On posef(x) =
∞
X
n=1
g(nx). (a) En précisant le changement de variable eectué calculerZ
R2
g(nx)dλ2(x). (b) Montrer quef est intégrable pourλ2.
(c) Que peut-on dire de l'ensemble où la série dénissantf converge ?
III. Soitλla mesure de Lebesgue surRetν = 2δ1+δ2(oùδx désigne la masse de Dirac enx). Soitµ=λ⊗ν la mesure produit dénie sur la tribu produitB(R)⊗ B(R).
(a) Calculer la mesureµ([0,1]×R) (b) Soit f(x, y) = 3y
x2+y. Le théorème de Fubini s'applique-t-il à la fonction f et la mesure µ? (justiez votre réponse)
(c) Calculer l'intégraleZ
R2
f(x, y)dµ(x, y).
IV. Le but de cet exercice est de trouver une expression sous forme intégrale de la constante d'Euler γ = lim
n→∞1 +1
2 +· · ·+ 1
n−ln(n).
(a) Montrer que la fonctione−tln(t) est Lebesgue-intégrable surR+. (b) Montrer que
Z ∞
0
e−tln(t)dt= lim
n→∞
Z n
0
1− t
n n
ln(t)dt(on pourra utiliser sans justication l'inégalité 1−x≤e−x).
(c) CalculerZ 1 0
snln(1−s)dspour tout entiern≥1 (on pourra faire une intégration par parties en utilisant la primitive desn qui s'annule pours= 1).
(d) En déduire l'égalité Z n
0
1− t
n n
ln(t)dt= n n+ 1
ln(n)−1−1
2 − · · · − 1 n+ 1
pour tout n≥1. (e) Conclure.
