Feuille d’exercice 2 Intégration L3 EURIA

Feuille d’exercice 2 Intégration L3 EURIA

18 septembre 2017

Exercice 1 Lesquels parmi les ensembles suivants sont dénombrables ? 1. Q,Q³

2. ∪

i∈N{k/10ⁱ | k∈Z}; 3. {x∈R |x²+ 3x <1}; 4. ∩

i∈N[0,1/2ⁱ];

5. {x∈R | sin(x) = 0}; 6. {(x, y)∈R² |x−y ∈Q}; 7. ∪

t∈R{x∈R |x²+t²+ 1≤x};

Exercice 2 Déterminer les ensembles suivants :

∪

n∈N^∗

[0,1−1/n], ∩

n∈N^∗

[0,1/n[, ∪

n∈N^∗

[1/n,1 + 1/n[

∩

n∈N^∗

[1/n²,10/n] , ∪

k∈N^∗

∩

n∈N^∗

[k−1/n, k+ 1/n[

Exercice 3 Soit (Ω,F) un ensemble mesurable et soit E une partie de Ω. Montrer que G :=

{A∩E, A∈ F}est une tribu sur E (appelée tribu induite parF sur E).

Exercice 4 Montrer que toute partie dénombrable de R est dans la tribu borélienne B(R). En déduire la mesurabilité de 1_Q de (R,B(R)) dans lui-même. Quel est l’ensemble des points de continuité de1_Q?

Exercice 5 Déterminer la tribu sur Rengendrée par l’ensemble des singletons {{a}, a∈R}.

Exercice 6 Soit f une fonction mesurable de(Ω,F) dans (R,B(R))et soit M ∈]0; +∞[. Mon- trer que la fonction tronquée f_M définie comme suit est mesurable :

fM(x) =





−M si f(x)≤ −M f(x) si|f(x)|< M M sif(x)≥M

1

Exercice 7 Soit f_n une suite de fonctions mesurables de(Ω,F) dans ( ¯R,B( ¯R)). Soitf la fonc- tion définie pour ω∈Ωparf(w) =limn→+∞fn(w)si cette limite existe et parfn(w) = 0 sinon.

Montrer que f est mesurable.

Exercice 8 1. Soitf : Ω→E etF une tribu surΩ. Montrer queG={A⊂E|f⁻¹(A)∈ F}

est une tribu surE.

2. Déduire de la question précédente quef : (Ω,F)→(R,B(R))est mesurable si et seulement si pour tout a∈R, f⁻¹(]0, a[)∈ F

Exercice 9 Une partie A⊂Rest dite symétrique si A=−A, où−A={x∈R| −x∈A}. Soit A={A∈ P(R)|A=−A} l’ensemble des parties symétriques de R.

1. Montrer que A est une tribu de R.

2. Caractériser les fonctions mesurables de (R,A) dans (R,A).

3. Caractériser les fonctions mesurables de (R,A) dans (R,P(R)).

4. Montrer queAest la tribu image réciproque de la tribu grossièreP(R)deRpar la fonction valeur absolueV :R→R.

2