Feuille d’exercice 1 Intégration L3 EURIA

Feuille d’exercice 1 Intégration L3 EURIA

11 septembre 2017

Exercice 1 On pose U_n= (1 + (−1)ⁿ) pour n∈N. Déterminer lim inf

n→+∞Un et lim sup

n→+∞ Un. La suite(U_n) est-elle convergente ?

Exercice 2 Soit un nombre réel x. Déterminer

lim inf

n→+∞xⁿ et lim sup

n→+∞ xⁿ

Exercice 3 Soient A, B etC trois sous-ensembles d’un ensemble E. Simplifier : 1. (A∪B)∩(A∪C).

2. (A∪B)∩(A^c∪B).

3. (A∪B)∩(A^c∪B)∩(A^c∪B^c).

Exercice 4 Soient A etB deux sous-ensemble d’un ensemble E.

1. Exprimer 1_A∩B en fonction de1_A et 1_B. 2. Exprimer 1_A^c en fonction de 1_A.

3. Exprimer 1A∪B en fonction de 1A et 1B (on pourra écrire A∪B en fonction de A^c et B^c).

4. Que vaut 1_A+1_B?

Exercice 5 Soit une application f : E → F. On rappelle que, pour tout A ⊆ E, on définit l’image directef(A) de A parf comme suit :

f(A) :={y∈F : ∃x∈A, y =f(x)}

et que, pour tout B ⊆F, on définit l’image réciproque f⁻¹(B) de B parf par : f⁻¹(B) :={x∈E : f(x)∈B}.

Soit(Ai)i∈I une famille de parties de E et(Bi)i∈I une famille de parties deF. SoitAune partie de E et B une partie de F.

1

1. Que valent f⁻¹(∅),f(∅), f⁻¹(F) et f(E)?

2. Comparer les ensembles suivants. Donner dans chaque cas une condition assurant l’égalité et un contre exemple si les ensembles sont différents.

(a) f⁻¹(∩

i∈IBi) et∩

i∈If⁻¹(Bi).

(b) f⁻¹(∪

i∈IBi) et∪

i∈If⁻¹(Bi).

(c) f⁻¹(F \B) et E\f⁻¹(B).

(d) f(∩

i∈IAi) et∩

i∈If(Ai).

(e) f(∪

i∈IAi) et∪

i∈If(Ai).

(f ) f(E\A) et f(E)\f(A).

(g) (f(f⁻¹(B)) etB. (h) (f⁻¹(f(A)) etA.

Exercice 6 Soient A etB deux ensembles.

1. Montrer que, si B est dénombrable et si il existe une application injective F : A → B, alors A est dénombrable. Donner un contre-exemple dans le cas où F n’est pas injective.

2. Montrer que, si A est dénombrable et si il existe une application surjective F :A → B, alorsB est dénombrable. Donner un contre-exemple dans le cas où F n’est pas surjective.

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