Feuille d'exercice 6 Intégration L3 EURIA

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Feuille d'exercice 6 Intégration L3 EURIA

2 décembre 2016

Exercice 1 Soitf : [0,+∞[→Rune fonction mesurable positive. Montrer que∫

Rf(x²)dλ(x) =

∫

]0,+∞[f(y)y⁻^1/2dλ(y).

Exercice 2 1. Montrer que]− ∞,0]× {0} est Lebesgue-négligeable dans R². 2. Calculer∫

R²e⁻^(x²^+y²⁾dλ2(x, y)en appliquant le changement de variableφ(r, θ) = (rcos(θ), rsin(θ)). 3. En déduire la valeur de ∫

Re⁻^x²dx.

Exercice 3 Soit α∈Ret soit f dénie sur (R⁺)² par f(x;y) = 1

(1 +x+y)^α

Déterminer les valeurs de α pour lesquelles f est intégrable. Calculer alors son intégrale.

Exercice 4 [début de l'exercice III de l'épreuve de Janvier 2011]

1. Montrer que ∫₊_∞

0 lnx

x²−1dx= 2∫₁

0 lnx x²−1dx.

2. (a) Calculer ∫

]0,+∞[²

1

(1 +y)(1 +x²y)dxdy.

(b) En déduire la valeur de ∫₊_∞

0 lnx

x²−1dx. Indication : on pourra s'aider de l'identité que l'on vériera

1

(1 +y)(1 +x²y) = 1 1−x²

[ 1

1 +y − x² 1 +x²y

] .

Exercice 5 Pour tout x= (x1, ..., xd)∈R^d, nous posons||x||:= (x²₁+...+x²_d)¹². On considère la fonction f :R^d×]0,+∞[→[0,+∞[dénie par f(x, t) =e⁻^t1_{||_x_||²_≤_t_}.

1. Montrer que, pour tout r >0, λ_d({x∈R^d : ||x|| ≤r}) =r^dλ_d({x∈R^d : ||x|| ≤1}). 2. Montrer que, pour tout t >0, ∫

R^df(x, t)dλd(x) =e⁻^tλd({x∈R^d : ||x|| ≤√ t}). 3. Montrer que, pour tout x∈R^d, ∫

]0,+∞[f(x, t)dλ(t) =e^−||^x^||². 1

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4. En déduire une expression de λ_d({x∈R^d : ||x|| ≤1}).

Exercice 6 Étant données deux fonctions mesurables f etg de Rdans R, on dénit le produit de convolution f∗g par

(f∗g)(t) =

∫

Rf(x)g(t−x)dλ(x) pour tout ttel que x7→f(x)g(t−x) soit intégrable sur R.

Rappelons que la transformée de Fourier d'une fonction Lebesgue-intégrable f :R→R est la fonctionfˆ:t7→∫

Re^itxf(x)dλ(x).

1. Montrer que si f et g sont Lebesgue-intégrables, alors f∗g est dénie presque partout et est Lebesgue-intégrable. Calculer son intégrale.

2. Montrer que sif est Lebesgue-intégrable et sig est bornée presque partout, alors f∗g est dénie partout surR et est uniformément bornée.

3. Montrer que si f et g sont de carrés intégrables (pour la mesure de Lebesgue), alorsf∗g est dénie partout sur Ret est uniformément bornée.

4. Montrer que, si f etg sont Lebesgue-intégrables, alorsf[∗g(t) = ˆf(t)ˆg(t).

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