Feuille d’exercice 3 Intégration L3 EURIA
2 octobre 2017
Exercice 1 Soit X un ensemble.
1. Déterminer la tribu σ({A}) de X engendrée par le sous-ensemble{A} deP(X).
2. Déterminer σ({A})∩σ({B}), σ({A})∪σ({B}) et σ({A, B}) pour deux parties A et B deX.
3. Soit (Ei)i∈I une partition de X où I est un ensemble au plus dénombrable d’indices.
Montrer que σ({Ei | i∈I}) ={ ∪
j∈J
Ej | J ∈ P(I) }
, avec la convention ∪
j∈∅
Ej =∅.
Exercice 2 Soit f :R→ R une fonction borélienne, déivable en tout point de R. Montrer que f′ est borélienne.
Exercice 3 Soient (X,A, µ) un espace mesuré, (Y,B) un espace mesurable et f : (X,A) → (Y,B) une fonction mesurable. SiB ∈ B, on poseν(B) =µ(
f−1(B))
. Montrer queν définit une mesure sur(Y, B).
Exercice 4 On considère surRla tribuA={A∈ P(R)|A est dénombrable ou A¯ est dénombrable}. Si A∈ A, on pose ν(A) = 0 siA est dénombrable etν(A) = +∞ sinon. Montrer que ν est une mesure.
Exercice 5 Soit N muni de la tribu P(N).
1. Quelles sont les fonctions mesurables de (N,P(N))dans (R,B(R))? 2. Soit m :P(N) → [0; +∞] définie par m(A) =∑
n∈A 1
(n+1)2 si A est fini et par m(A) = +∞ siA est infini. Est-ce que m est une mesure ?
Exercice 6 Un ouvert de R de mesure de Lebesgue finie est-il nécessairement borné ? Exercice 7 Soit (qn)n∈N tel que Q = {qn, n ∈ N}. Montrer que l’ensemble R\∪
n∈N]qn − 2−n, qn + 2−n[ est dans B(R), de mesure de Lebesgue strictement positive et ne contient pas d’ouvert de R.
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Exercice 8 (mesure atomique, mesure diffuse). Soit E un ensemble et E une tribu sur E conte- nant tous les singletons deE (i.e. telle que, pour tout x∈E, {x} ∈ E).
Une mesure m sur (E,E) est dite purement atomiques’il existe S∈ E tel que m(Sc) = 0 et tel que, pour tout x∈S, m({x})>0.
Une mesure m sur (E,E) est dite diffusesi m({x}) = 0 pour tout x∈E.
Deux mesuresm1 etm2 sur(E,E) sont ditesétrangèressi il existeA∈ E tel quem1(A) = 0 et m2(E\A) = 0.
1. Donner un exemple de mesure purement atomique et un exemple de mesure diffuse sur (R,B(R)).
2. Soit m une mesure diffuse sur E. Montrer que tout A ∈ E dénombrable est de mesure nulle.
3. Soit m une mesure diffuse et purement atomique, montrer qu’alorsm est nulle.
4. Soitmune mesure (finie ouσ-finie) surE. Alors l’ensemble desx∈E tels quem({x})>0 est dénombrable (montrer que Ak:={x∈E : m({x})> k−1} est dénombrable).
5. Soit m1 une mesure diffuse et m2 une mesure purement atomique (finie ou σ-finie) sur (E,E). Montrer qu’alorsm1 etm2 sont étrangères.
6. Soit m une mesure finie ouσ-finie sur(E,E). Montrer qu’il existe une mesure diffuse md et une mesure atomique ma telle que m=md+ma.
7. Soit µ une mesure finie ou σ-finie sur (R,B(R)) telle que F(t) :=µ(]− ∞, t])<∞ soit fini pour tout t∈R.
(a) Montrer queF est croissante et continue à droite.
(b) Soit t∈R. Exprimerµ(]− ∞, t[)à l’aide de F.
(c) Donner une condition nécessaire et suffisante (CNS) sur F pour queµ soit diffuse.
(d) Montrer l’existence d’une mesure de probabilité µ purement atomique sur (R,B(R)) telle que {x : µ(x)>0}=Q. Que vaut F(t) pour cette mesureµ?
Exercice 9 Soit (X,A, µ) un espace mesuré. Notons Nµ l’ensemble des parties µ-négligeables de X. Montrer que l’ensemble des parties de X suivante est une tribu sur X :
B:={A∈ P(X) |A∈ Nµ ou Ac∈ Nµ}.
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