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Contre-exemple : 1 3 ; − 5

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Academic year: 2022

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Seconde Correction DS 1 2011-2012

EXERCICE 1 ( 3 points) :

1. "Tous les nombres rationnels sont des décimaux" : FAUX , il existe des rationnels non décimaux.

Contre-exemple : 1 3 ; − 5

7 ; . . . .

2. "Si IA = IB alors I est le milieu de [AB]" : FAUX .

Contre-exemple : Dans le triangle IAB isocèle en I, IA = IB et I n’est pas le milieu de [AB].

3. Propriété : FAUX car "Si un parallélogramme a les diagonales de même longueur alors c’est un rectangle". Tous les rectangles ne sont pas des carrés.

Formulation réciproque : "Si un quadrilatère est un carré alors c’est un parallélogramme avec les diagonales de même longueur". Propriété VRAIE .

EXERCICE 2 ( 3 points) : 1. − 9

7 solution de l’équation suivante : 7x 2 = 9 − 2x ?

• 7 ×

− 9 7

2

= 7 × 81 49 = 81

7

• 9 − 2 ×

− 9 7

= 9 − 18 7 = 81

7

 

 

donc − 9

7 est solution de 7x 2 = 9 − 2x . 2. −4 solution de l’équation x 2 + 2x + 8 = −16 ?

• (−4) 2 + 2 × (−4) + 8 = 16 − 8 + 8 = 16

• − 16

donc −4 n’est pas solution de x 2 + 2x + 8 = −16 . EXERCICE 3 ( 7 points) :

1. • (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2

• (a − b) 2 = a 2 − 2ab + b 2

• (a + b)(ab) = a 2b 2

2. • A(x) = (x − 2)(2x − 1) + (4x − 1) 2 = 2x 2x − 4x + 2 + 16x 2 − 8x + 1 = 18x 2 − 13x + 3

B(x) = 5x(2x − 1) − (3x 2 − 1) = 10x 2 − 5x − 3x 2 + 1 = 7x 2 − 5x + 1 3. Équations :

• (x + 1) 2 = x(x − 2) ⇔ x 2 + 2x + 1 = x 2 − 2x ⇔ 4x = −1 ⇔ x = − 1

4 donc S =

− 1 4

• 3 − x

2 = 2 + x

3 ⇔ 6 × 3 − x

2 = 6 × 2 + x

3 ⇔ 3(3 − x) = 2(2 + x) ⇔ −5x = −5 ⇔ x = 1 donc S = {1}

EXERCICE 4 ( 7 points) :

Soit (O, I, J ) le repère orthonormé ci-contre.

1. voir dessin.

2. [KR] et [AT ] ont le même milieu ? Soit U le milieu de [KR] ⇔

x U = x K + x R

2 y U = y K + y R

2

 

 

x U = −3 + 7

2 = 2

y U = −1 + (−1)

2 = −1

donc U (2; −1) .

Soit V le milieu de [AT ] ⇔

x V = x A + x T

2 y V = y A + y T

2

 

 

x V = 6 + (−2)

2 = 2

y V = 2 + (−4)

2 = −1

donc V (2; −1) . U et V ont les mêmes coordonnées donc [KR] et [AT ] ont le même milieu.

b b

b b

A

K R T

O I J

3. KR = p

(x Rx K ) 2 + (y Ry K ) 2 = p

(7 − (−3)) 2 + (−1 − (−1)) 2 = 10 = AT (à vérifier).

4. Le quadrilatère KART a les diagonales de même milieu et de même longueur donc c’est un rectangle.

BONUS :

x = 0, 6363.... donc 100x = 63, 6363.... puis 100x − x = 63 ⇔ 99x = 63 ⇔ x = 63 99

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