B138 – Carré magique géométrique
Justifier l’existence d’un carré "magique" pouvant être partagé par 4 segments en 9 quadrilatères dont les aires sont exactement 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13.
Figure approximative :
Solution proposée pat Patrick Gordon
Pour justifier l'existence d'un tel carré magique, une méthode est de calculer ses dimensions de telle manière que les aires des 9 quadrilatères aient les valeurs indiquées.
L'aire totale est 81, donc le côté = 9.
La découpe du carré en 9 plages par des sécantes (non sécantes entre elles) est entièrement déterminée par les 8 longueurs a, b… h dans la figure ci-après.
Pour que les aires soient celles indiquées, on montre (en considérant les aires des 4 trapèzes rectangles des côtés, tous d'aire 27) qu'il faut que ces 8 longueurs satisfassent les conditions suivantes :
a+c = 6 b+d = 6 e+g = 6 f+h = 6
Il n'y a donc que 4 degrés de liberté.
Pour exprimer les 9 aires en fonction de a, b… h, on peut songer à exprimer celles des 4
"coins", quadrilatères à un angle droit, dont on connaît (en fonction de a, b… h) les deux côtés de l'angle droit et les angles.
Nous allons voir que, plus aisément que les angles, on peut exprimer (en fonction de a, b… h) les coordonnées des points "centraux" IJKL.
Commençons par le quadrilatère DTLX ("coin" Sud-Ouest).
On prend l'origine en D, DC comme axe des x, DA comme axe des y.
Équation de TU
Comme f+h = 6, le milieu du segment TU est fixé au point de coordonnées (4,5; 3). La droite TU passe aussi par T(0; f). Son équation est donc :
(y – f) / x = (3 – f) / 4,5 y = (3 – f) x / 4,5 + f
Équation de WX
Pour la même raison que ci-dessus, la droite WX passe par le milieu du segment WX (3; 4,5) et par X(a; 0). Son équation est donc :
y / (x – a) = 4,5 / (3 – a) y = 4,5 (x – a) / (3 – a)
Coordonnées de L
(3 – f) x / 4,5 + f = 4,5 (x – a) / (3 – a) (3 – a) (3 – f) x + 4,5(3 – a)f = 20,25 (x – a) [(3 – a) (3 – f ) – 20,25] x = – 4,5(3 – a)f – 20,25a [9 + af – 3a – 3f – 20,25] x = – 4,5(3 – a)f – 20,25a
x = [4,5(3 – a)f + 20,25a] / [11,25 + 3a + 3f – af]
y = (3 – f) x / 4,5 + f
Aire de DTLX
Nous calculerons l'aire du quadrilatère DTLX en le décomposant en deux triangles DLT et DLX dont les bases sont respectivement f et a et les hauteurs les coordonnées (x,y) de L, lesquelles à leur tour s'expriment en fonction de f et a. Ainsi :
Aire (DTLX) = ½ fx + ½ ay
En écrivant que cette aire vaut 6, on aura une relation entre f et a. D'où l'on pourra, en principe, tirer f en fonction de a.
En procédant de même avec le quadrilatère "Sud-Est" CQKU et en écrivant que son aire vaut 10, on obtiendra une relation entre b et h. Mais h n'est autre que 6–f. On aura donc 2 relations entre f, a, b.
En procédant de même avec le quadrilatère "Nord-Est" BPJS et en écrivant que son aire vaut 12, on obtiendra une relation entre d et g. Mais d n'est autre que 6–b. On aura donc 3 relations entre f, a, b, g.
En procédant de même avec le quadrilatère "Nord-Ouest" ARIW et en écrivant que son aire vaut 8, on obtiendra une relation entre e et c. Mais e n'est autre que 6–g et c que 6–a. On aura donc 4 relations entre f, a, b, g.
Si les calculs ne sont pas trop lourds, on pourra calculer f, a, b, g, d'où leurs compléments à 6 respectifs h, c, d, e.
Recherche d'une expression de f en fonction de a On a vu que :
2 × Aire (DTLX) = fx + ay Avec :
x = [4,5(3 – a)f + 20,25a] / [11,25 + 3a + 3f – af]
y = (3 – f) x / 4,5 + f Donc :
y = (3 – f) [4,5(3 – a)f + 20,25a] / 4,5 [11,25 + 3a + 3f – af] + f
2 × Aire (DTLX) = fx + ay = fx + a(3 – f) x / 4,5 + af = (4,5f + 3a – af)x /4,5 + af En écrivant que 2 × Aire (DTLX) = 12, on a une relation entre f et a.
(4,5f + 3a – af) [4,5(3 – a)f + 20,25a] / 4,5 [11,25 + 3a + 3f – af] + af = 12 (4,5f + 3a – af) (13,5f – 4,5af + 20,25a) = 4,5 (12 – af) [11,25 + 3a + 3f – af]
[60,75 – 20,25a + 4,5a (3 – a) – 13,5a + 4,5a²]f²
+[(4,5–a)×20,25a + 3a(13,5 – 4,5a) – 4,5×12 (3–a) + 4,5a (11,25+3a)]f +[60,75a² – 4,5 × 12(11,25 + 3a)] = 0.
[60,75 – 20,25a + 13,5a – 4,5a² – 13,5a + 4,5a²]f²
+[91,125a – 20,25a² + 40,5a – 13,5a²– 162 + 54a + 50,625a + 13,5a²]f +60,75a² – 607,5 – 152a= 0.
(60,75 – 20,25a) f²
– (20,25 a² – 236,25 a + 162)f +60,75a² – 162a – 607,5 = 0.
Soit encore, en simplifiant par 6,75 :
(9–3a) f² – (3a² – 35a + 24)f + 9a² – 24a – 90 = 0
En résolvant en f cette équation du 2nd degré, on trouve, pour des valeurs de a comprises entre 1,9 et 2,6, une racine en f positive (celle en "+√"), comprise entre 2,6 et 1,9 respectivement et une autre racine négative (celle en "–√").
Passons au quadrilatère QCUK ("coin" Sud-Est).
On prend l'origine en C, CU comme axe des x, CQ comme axe des y.
Les longueurs h et b jouent le même rôle que a et f respectivement pour le quadrilatère DTLX. Dans l'enchainement, on passera de f à h par : h = 6–f.
L'aire de QCUK s'obtient donc par remplacement de a par h et de f par b, soit : 2 × Aire (QCUK) = (4,5b + 3h – hb)x /4,5 + hb
En écrivant que 2 × Aire (QCUK) = 20, on a une relation entre b et h (en jaune, ce qui change par rapport à DTLX).
(4,5b + 3h – hb) [4,5(3 – h)b + 20,25h] / 4,5 [11,25 + 3h + 3b – hb] + hb = 20 (4,5b + 3h – hb) (13,5b – 4,5hb + 20,25h) = 4,5 (20 – hb) [11,25 + 3h + 3b – hb]
[60,75 – 20,25h + 4,5h (3 – h) – 13,5h + 4,5h²]b²
+[(4,5–h)×20,25h + 3h(13,5 – 4,5h) – 4,5×12 (3–h) + 4,5h (11,25+3h)]b +[60,75h² – 4,5 × 20(11,25 + 3h)] = 0.
[60,75 – 20,25h + 13,5h – 4,5h² – 13,5h + 4,5h²]b²
+[91,125h – 20,25h² + 40,5h – 13,5h²– 162 + 54h + 50,625h + 13,5h²]b +60,75h² – 1012,5 – 270h= 0.
(60,75 – 20,25h) b²
– (20,25 h² – 236,25 h + 162)b +60,75h² – 270h – 1012,5 = 0.
Soit encore, en simplifiant par 6,75 :
(9–3h) b² – (3h² – 35h + 24)b + 9h² – 40h – 150 = 0
En résolvant en b cette équation du 2nd degré, on trouve, pour des valeurs de a comprises entre 1,9 et 2,6, et de f comprises entre 2,6 et 1,9 respectivement – et donc de h comprises entre 3,4 et 4,1 respectivement – une racine b positive comprise entre 3,2 et 2,7 et une autre racine inappropriée car largement supérieure à 6.
Passons au quadrilatère BPJS ("coin" Nord-Est).
On prend l'origine en B, BP comme axe des x, BS comme axe des y.
Les longueurs d et g jouent le même rôle que h et b respectivement pour le quadrilatère QCUK. Dans l'enchainement, on passera de b à d par : d = 6–b.
L'aire de BPJS s'obtient donc par remplacement de h par d et de b par g, soit : 2 × Aire (BPJS) = (4,5g + 3d – dg)x /4,5 + dg
En écrivant que 2 × Aire (BPJS) = 24, on a une relation entre g et d (en jaune, ce qui change par rapport à QCUK).
(4,5g + 3d – dg) [4,5(3 – d)g + 20,25d] / 4,5 [11,25 + 3d + 3g – dg] + dg = 24 (4,5g + 3d – dg) (13,5g – 4,5dg + 20,25d) = 4,5 (24 – dg) [11,25 + 3d + 3g – dg]
[60,75 – 20,25d + 4,5d (3 – d) – 13,5d + 4,5d²]g²
+[(4,5–d)×20,25d + 3d(13,5 – 4,5d) – 4,5×12 (3–d) + 4,5d (11,25+3d)]g +[60,75d² – 4,5 × 24 (11,25 + 3d)] = 0.
[60,75 – 20,25d + 13,5d – 4,5d² – 13,5d + 4,5d²]g²
+[91,125d – 20,25d² + 40,5d – 13,5d²– 162 + 54d + 50,625d + 13,5d²]g +60,75d² – 1215 – 324d= 0.
(60,75 – 20,25d) g²
– (20,25 d² – 236,25 d + 162)g +60,75d² – 324d – 1215 = 0.
Soit encore, en simplifiant par 6,75 :
(9–3d) g² – (3d² – 35d + 24)g + 9d² – 48d – 180 = 0
En résolvant en g cette équation du 2nd degré, on trouve, pour des valeurs de a comprises entre 1,9 et 2,6, et de f comprises entre 2,6 et 1,9 respectivement – et donc de d comprises entre 3,4 et 4,1 respectivement – une racine g positive comprise entre 4,4 et 4,6 et une autre racine inappropriée car négative ou largement supérieure à 6.
Passons enfin au quadrilatère ARIW ("coin" Nord-Ouest).
On prend l'origine en A, AR comme axe des x, AW comme axe des y.
Les longueurs e et c jouent le même rôle que d et g respectivement pour le quadrilatère BPJS.
Dans l'enchainement, on passera de c à a par : c = 6–a.
L'aire de ARIW s'obtient donc par remplacement de d par e et de g par c, soit : 2 × Aire (ARIW) = (4,5c + 3e – ec)x /4,5 + ec
En écrivant que 2 × Aire (ARIW) = 16, on a une relation entre c et e (en jaune, ce qui change par rapport à BPJS).
(4,5c + 3e – ec) [4,5(3 – e)c + 20,25e] / 4,5 [11,25 + 3e + 3c – ec] + ec = 16 (4,5c + 3e – ec) (13,5c – 4,5ec + 20,25e) = 4,5 (16 – ec) [11,25 + 3e + 3c – ec]
[60,75 – 20,25e + 4,5e (3 – e) – 13,5e + 4,5e²]c²
+[(4,5–e)×20,25e + 3e(13,5 – 4,5e) – 4,5×12 (3–e) + 4,5e (11,25+3e)]c +[60,75e² – 4,5 × 16 (11,25 + 3e)] = 0.
[60,75 – 20,25e + 13,5e – 4,5e² – 13,5e + 4,5e²]c²
+[91,125e – 20,25e² + 40,5e – 13,5e²– 162 + 54e + 50,625e + 13,5e²]c
+60,75e² – 810 – 216e= 0.
(60,75 – 20,25e) c²
– (20,25 e² – 236,25 e + 162)c +60,75e² – 216e – 810 = 0.
Soit encore, en simplifiant par 6,75 :
(9–3e) c² – (3e² – 35e + 24)c + 9e² – 32e – 120 = 0
En résolvant en c cette équation du 2nd degré, on trouve, pour des valeurs de a, f, d, g
comprises dans les intervalles ci-dessus rappelés, une racine c positive comprise entre 3,7 et 3,8 et une autre racine négative. Pour ce même intervalle sur a, on trouve des valeurs de a+c comprises entre 5,7 et 6,2.
Il ne reste plus qu'à affiner la valeur de a pour avoir a+c aussi proche de 6 que le permet la précision des outils de calcul.
Avec a = 2,2078, on trouve a+c = 6,00007149 On en déduit les autres valeurs :
a 2,2078 b 2,9728 c 3,7923 d 3,0272 e 1,5109 f 2,2525 g 4,4891 h 3,7475
