D1870 – Bon ménage [* à *** à la main]
Calcul mental et géométrie peuvent faire bon ménage. Ainsi dans ces sept exercices tout simples, la clé géométrique permet de poursuivre les calculs de tête. Relevez le défi et justifiez chacune de vos réponses en trois ou quatre lignes, pas plus.
E₁ Soit un triangle ABC dont I est centre du cercle inscrit. Le cercle de centre I et de rayon AI coupe le côté BC en deux points D et E . On connaît les longueurs AB = 987, AC = 1234 et DE = 202. Que vaut BC ?
Notons F et G les points où le "grand" cercle coupe AB et AC. Les triangles IDE, IGA et IAF sont isocèles et égaux, de hauteur r et de base 202. Donc FB = 987 – 202 = 785. Mais, par symétrie autour de BI, on a BD = BF. De la même manière, on a : CE = CG = 1234 – 202 = 1032. D'où BC = 785 + 202 + 1032 = 2019.
E₂ Soit un rectangle ABCD tel que AB = 2BC. On trace le point M du côté AB tel que MD est la bissectrice de l’angle AMC. Que vaut l’angle AMD ?
Prenons AD pour unité. Le triangle MCD est isocèle. On a : AM = cot et MB = cot(–). Or AM+MB =2. D'où tan = 2+√3, d'où = 75°
E₃ Soit un rectangle ABCD. On trace deux droites perpendiculaires passant par B. L’une coupe le côté AD au point K et l’autre coupe la droite DC au point L. Soit F l’intersection des droites AC et KL. On suppose que BK = 13 et FK = 12. Que vaut BF ?
Les triangles rectangles ABC et KBL s'échangent dans une similitude directe de centre B. Leurs hypoténuses AC et KL font entre elles le même angle que les côtés BA et BK. Les points ABKF sont donc cocycliques et, comme l'angle en A est droit, l'angle en F l'est aussi. Le triangle BKF est donc rectangle en F et l'on a BF² = 13² – 12², d'où BF = 5.
E₄ Soit le triangle ABC dont les côtés ont pour longueurs AB = 15, BC = 14 et CA = 13. On trace le point P de BC tel que la sommes des aires des cercles circonscrits aux triangles ABP et ACP est minimale. Que vaut BP ?
On pose BP = x, d'où CP = 14 – x, ainsi que AP = y, qui se déduit de x par la loi des cosinus dans le triangle ABP (l'angle en B ayant été calculé par cette même loi dans le triangle ABC). On calcule alors les aires des triangles ABP et ACP par la formule de Heron, d'où les rayons des cercles circonscrits à ces triangles, par la formule R = abc / 4S, en fonction du seul x. On recherche alors la valeur de x qui minimise la somme des carrés des rayons. On trouve BP = 9.
E₅ Soit un triangle ABC dont l’angle en A est aigu. Le cercle de diamètre BC coupe AC en D et AB en E. On suppose que BC = 10, AE = BE et 7AD = 18CD. Que vaut l’aire du triangle ABC ? On note AD = x, CD = y et AB = z. On écrit que AD.AC = AE.AB, que les triangles ADE et ABC ont même angle en A et que 7AD = 18CD. On résout ces 3 équations en x,y,z (on trouve x
= 7,2; AC = x+y = 10; AB = z = 12). Muni des côtés 10,10 et 12, on calcule l'aire du triangle ABC par la formule de Heron. On trouve 48.
E₆ On trace un point P sur l’arc BC du cercle circonscrit à un triangle équilatéral ABC. La droite AP coupe BC au point Q. On suppose que PQ = 673 et PC = 4038. Que vaut PB ?
De PQ et PC on déduit QC par la loi des cosinus (angle en P = 60°). La similitude des triangles PQC et BQA permet ensuite de calculer le côté a du triangle équilatéral ABC. D'où QB = a – QC, d'où PB dans le triangle PQB, par la loi des sinus (angle en P = 60°). on trouve PB = 807,6.
E₇ Soit ABC un triangle rectangle en A. Les bissectrices issues de B et de C coupent AC en D et AB en E. Les points M et N sont les projections de D et de E sur BC. Que vaut l’angle MAN ?
Le point D est sur la bissectrice de l'angle B et tant DM que DA sont perpendiculaires aux côtés de cet angle. Le quadrilatère ABMD est donc un cerf-volant et AM est perpendiculaire à la bissectrice de l'angle B. Même chose pour AN mutatis mutandis. AM et BM ont le même angle aigu que les bissectrices. Ce dernier est de 45°, ainsi que le montre le décompte des angles dans le quadrilatère convexe AEFD (en nommant F l'intersection des bissectrices).
Donc l’angle MAN = 45°.
