Dans ce problème, toutes les fonctions considérées sont dénies dans [0, 1] et à valeurs réelles. On considère en particulier les fonctions B k n (dites polynomiales de Bernstein) avec n ∈ N et k ∈ J 0, n K :

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Problème I.

Dans ce problème, toutes les fonctions considérées sont dénies dans [0, 1] et à valeurs réelles. On considère en particulier les fonctions B _k ⁿ (dites polynomiales de Bernstein) avec n ∈ N et k ∈ J 0, n K :

∀x ∈ [0, 1], B ⁿ _k (x) = n

k

x ^k (1 − x) ^n−k

Soit f une fonction de [0, 1] dans R. Pour tout entier n strictement positif, on dénit la fonction f n par :

∀x ∈ [0, 1], f n (x) =

n

X

k=0

f ( k n )B _k ⁿ (x)

I. Outils.

1. Pour n ∈ N ^∗ et k entier entre 1 et n , exprimer ^k _n ⁿ _k

comme un coecient du binôme.

2. On considère trois propositions.

P 1 ∀ε > 0, ∃N ∈ N tel que ∀n ∈ N , ∀x ∈ [0, 1], n ≥ N ⇒ |f n (x) − f(x)| ≤ ε P 2 ∀x ∈ [0, 1], (f _n ( x)) _{n∈ N} → f (x)

P 3 ∀ε > 0, ∀x ∈ [0, 1], ∃N ∈ N tel que ∀n ∈ N , n ≥ N ⇒ |f n (x) − f(x)| ≤ ε On ne demande pas ici d'étudier si ces propositions sont vraies ou non mais de préciser les implications logiques entre elles.

3. Dans cette question, on suppose que f est de classe C ² . Montrer que, pour tous x et y dans [0, 1] , il existe z ∈ [0, 1] tel que

f (y) = f (x) + (y − x)f ⁰ (x) + (y − x) ² f ⁰⁰ (z) 2 On pourra utiliser une fonction

t 7→ f (t) + (y − t)f ⁰ (t) + (y − t) ² M avec un M réel bien choisi.

4. Former le tableau de variations de la fonction x 7→ x(1 − x) dans [0, 1] .

II. Propriétés.

1. Pour n ∈ N ^∗ , k ∈ J 1, n − 1 K et x ∈ [0, 1] exprimer

(1 − x)B ⁿ⁻¹ _k (x) + xB _k−1 ⁿ⁻¹ (x) avec une fonction polynomiale de Bernstein.

2. Déterminer la fonction f _n dans les cas suivants

∀x ∈ [0, 1] : f (x) = 1, ∀x ∈ [0, 1] : f (x) = x, ∀x ∈ [0, 1] : f (x) = e ^x Dans le dernier cas, le résultat sera exprimé par une puissance.

3. Montrer que, pour tout entier n , tout entier k entre 0 et n et tout x ∈ [0, 1] : x(1 − x)B ⁿ _k ⁰ (x) = (k − nx)B _k ⁿ (x)

4. a. Soit g dénie sur [0, 1] par g(x) = xf (x) . Les fonctions f n et g n sont respective- ment associées à f et g par la relation donnée au début.

Vérier que, pour tous les x ∈ (0, 1] , x(1 − x)

n f _n ⁰ (x) = g n (x) − xf n (x) b. Exprimer simplement f n pour f (x) = x ² .

5. Montrer que, pour tous les x ∈ (0, 1] ,

n

X

k=0

( k

n − x) ² B _k ⁿ (x) = x(1 − x) n

III. Monotonie

Pour toute fonction f dénie sur [0, 1] et tout n ∈ N, on dénit la fonction ∆ n f par :

∀t ∈ [0, 1], ∆ n f (t) =



 

 

f (t + 1

n ) − f (t) si t ≤ 1 − 1 n f (1) − f (t) si t > 1 − 1 n

1. Exprimer la dérivée de B _k ⁿ en fonction d'autres polynômes de Bernstein. On distinguera les cas k = 0 , k entre 1 et n − 1 , k = n .

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2. Montrer que pour tout n naturel non nul, f _n ⁰ = n

n−1

X

k=0

(∆ n f )( k n )B _k ⁿ⁻¹

3. Montrer que si f est croissante alors f n est croissante.

IV. Approximations.

1. Dans cette question, on suppose que f est de classe C ² .

a. Justier l'existence d'un réel M 2 tel que, pour tout x ∈ [0, 1] , |f ⁰⁰ (x)| ≤ M 2 . b. Montrer que, pour tout x ∈ [0, 1] ,

|f n (x) − f (x)| ≤ M 2

2

x(1 − x) n c. Montrer que la proposition P 1 est vraie.

2. Dans cette question, la fonction f est supposée seulement continue.

Pour tout α > 0 et x ∈ [0, 1] , on dénit les ensembles K α (x) et K _α ⁰ (x) par : K _α (x) =

k ∈ J 0, n K tq k n − x

≥ α

K _α ⁰ (x) = J 0, n K \ K _α (x)

a. Montrer que, pour tout x ∈ [0, 1] ,

X

k∈K

(x)

B _k ⁿ (x) ≤ 1 4nα ²

b. On note M 0 = max _[0,1] |f | . Montrer que pour tout x ∈ [0, 1] ,

|f n (x) − f (x)| ≤ M 0

2nα ² + X

k∈K

(x)

f( k

n ) − f (x)

B _k ⁿ (x)

En déduire que la proposition P 3 est vraie.

Problème II.

Dans cet exercice G désigne un groupe dont l'opération est notée multiplicativement : pour tous a et b de G le produit de a par b est simplement noté ab . On ne suppose pas que le groupe soit commutatif.

Pour une partie A de G , on appelle centralisateur de A la partie C(A) de G dénie par :

∀x ∈ G, (x ∈ C(A) ⇔ ∀a ∈ A, ax = xa) .

Dans la suite de l'exercice, quand on demande de comparer deux parties de G , il s'agit de prouver une inclusion entre ces deux parties.

La partie A de G est xée pour la suite de l'exercice.

1. Montrer que C(A) est un sous-groupe de G .

2. Soit X et Y deux parties de G telles que X ⊂ Y . Comparer C(X ) et C(Y ) . 3. Soit X une partie quelconque de G , comparer X et C(C(X )) .

4. Montrer que

C(C(C(A))) = C(A)

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