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213 : ESPACES DE HILBERT – BASES HILBERTIENNES – Ex & AppI. Espaces de Hilbert

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Academic year: 2022

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213 : ESPACES DE HILBERT – BASES HILBERTIENNES – Ex & App I. Espaces de Hilbert [Tis][Be]

1. Préhilbertiens

def / CS / Minkowsky - =>evn / réciproque

2. Hilbert

def / euclidien / hermitien – ex : L

2

(T) / Bergman

3. Théorèmes de projection

sur un convexe fermé (Hahn Banach) – sur un sev fermé

II. Bases hilbertiennes [Be]

1. Définition et propriétés

2. Caractérisation et exemples

o-n + Parseval / ex : L

2

(T) / app : SF o-n + orthogonal vide / ex : Bergman

3. Orthonormalisation

procédé de Schmidt – polynomes orthogonaux

III. Dualité [Be][Br][Tis]

1. Théorème de Riesz Th – adjoint – isométrie H≈H'

2. Opérateurs compacts

def – continuité – vp / dim (sep) < ∞ 3. Opérateurs hermitiens

def – existence de l'adjoint – Théorème spectral

Biblio :

Tisseron Beck Brezis

Développements :

8 – Espace de Bergman ( complétude + base hilbertienne )

24 – Théorème spectral

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