Licence de Physique, Universit´e d’Orl´eans Examen Math´ematiques pour Sciences Physiques –
parcours Physique et Applications, 5/1/2011
(documents autoris´es : notes de cours/TD)
1 S´eries de Fourier (5/20)
On donne les fonctions p´eriodiques (p´eriodeπ) f(t) = cos2(t), g(t) = sin2(t).
Calculer la convolution p´eriodique def etg. Conseil : Utiliser le th´eor`eme de convolution pour les s´eries de Fourier.
2 Transformation de Fourier (5/20)
Calculer les transform´ees de Fourier des fonctions suivantes 1. f(t) = cos2(ω0t),
2. g(t) = sin2(ω0t),
3. h(t) =f(t)exp(−[t/σ]2/2)
√
2πσ ,
o `uω0>0,σ >0.
3 Analyse complexe (5/20)
Calculer l’int´egrale
I = 1 2πi
I
C
dz exp(1/z),
o `uCest le contour d´ecrit par|z(t)|= 1.
4 Transform´ee de Laplace (5/20)
R´esoudre l’´equation int´egro-diff´erentielle dy
dt + Z t
0
dτ h(t−τ)y(τ) = 0,
par transformation de Laplace, o `uy(0) = 1 eth(t) = θ(t) exp(−λt). On note quey0(0) = 0par construction. Le symbole θ(t)d´enote la fonction de Heavi- side.
