PC Maths Analyse III 2018-2019
TD6 - S´ eries de Fourier
Exercice 1. Soit α ∈R fix´e, pour une fonction f continue et 2π-p´eriodique donn´ee, on pose g(t) := f(t+α). Montrer que g est 2π-p´eriodique et exprimer les coefficients de Fourier exponentiels de g en fonction de ceux def.
Exercice 2. Soit f la fonction r´eelle 2π-p´eriodique telle que f(t) = |t| sur [−π, π[.
1. Calculer les coefficients de Fourier de f sous la forme de votre choix (exponentielle ou bien trigonom´etrique).
2. Montrer que
+∞
X
p=0
1
(2p+ 1)4 = π4 96.
3. En d´eduire la valeur de P+∞
n=1 1 n4.
Exercice 3.
Soit f la fonction r´eelle 2π-p´eriodique telle que f(t) = t sur [0,2π[.
1. Calculer les coefficients de Fourier de f sous la forme de votre choix (exponentielle ou bien trigonom´etrique).
2. Montrer que
+∞
X
n=1
1 n2 = π2
6 .
3. D´eterminer la limite simple de la s´erie de Fourier de f.
Exercice 4.
Soit f la fonction r´eelle 2π-p´eriodique telle que f(t) = t2 sur [−π, π[.
1. Calculer les coefficients de Fourier de f sous la forme de votre choix (exponentielle ou bien trigonom´etrique).
2. Montrer que la s´erie de Fourier de f converge normalement vers f sur R.
1
3. En d´eduire la formule
∀t∈R, f(t) = π2 3 + 4
+∞
X
n=1
(−1)n
n2 cos(nt)
4. Retrouver le r´esultat de l’exercice pr´ec´edent en ´evaluant cette identit´e pour un r´eel bien choisi, ainsi que la valeur de
+∞
X
n=1
(−1)n n2 .
Exercice 5.
Soit f une fonction deC1([0, π],R) telle quef(0) =f(π) = 0. Montrer que Z π
0
f(t)2dt≤ Z π
0
(f0(t))2dt.
D´eterminer les fonctions f pour lesquelles on a ´egalit´e.
Exercice 6.
Soit x un r´eel fix´e dans R\ Z, et soit f la fonction r´eelle 2π-p´eriodique telle que f(t) = cos(xt) sur [−π, π[.
1. Calculer la s´erie de Fourier de f. 2. Montrer que
πcot(πx) = 1 x +
+∞
X
n=1
2x x2−n2.
2/2
