Calculer la transformation de Fourier de f

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UFR de Math´ematiques Master 1 Mention Math´ematiques

Universit´e Lille 1 Analyse 2018/2019

M402, Analyse : Feuille No. ???????

Transform´ee de Fourier

Exercice 1 Trouver toutes les fonctionsf ∈L¹(R) v´erifiant: f ? f =f. Exercice 2 Soit λ >0 et on pose

f(x) =e^−λ|x|, ∀x∈R.

1. Calculer la transformation de Fourier de f.

2. En déduire la transformation de fourier de x7→ _1+x¹ ₂. 3. En déduire les valeurs des intégrales

Z ∞ 0

cos(x) 1 +x²d x,

Z ∞ 0

sin(x)x (1 +x²)²dx.

Exercice 3 Soit λ >0. On consid`ere la fonction f(t) =|t|e^−λ|t|,t∈R. 1. Justifier que f ∈L¹(R) et calculer la transform´ee de FourierF def. 2. Montrer queF ∈L¹(R).

3. En d´eduire que l’on a Z +∞

0

λ²−u²

(λ²+u²)² cos(u/2)du= π 4e^−λ/2.

Exercice 4 Le but de cet exercice est de rechercher des fonctions u ∈L¹(R) telles que, pour presque tout x∈R, on a

u(x) =e^−|x|+β Z

R

e^−|x−s|u(s)ds,

avec β un r´eel strictement positif.

1. Écrire cette équation à l’aide d’un produit de convolution.

2. En utilisant la transform´ee de Fourier, prouver qu’il existe une solution si et seule- ment si β ∈]0,1/2[; Montrer qu’alors cette solution est unique et la d´eterminer.

1

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Exercice 5 D´eterminer les couples (f, c)∈L¹(R)∩C¹(R)×Rv´erifiant, pour toutx∈R, f⁰(x) =f(x+c).

Exercice 6 1. Calculer la transform´ee de Fourier de χ[−1,1] et en d´eduire celle de χ_[−n,n].

2. V´erifier que g_n:=χ_[−1,1]∗χ_[−n,n]∈L¹(R).

3. Montrer l’existence de fn ∈ L¹(R)∩L²(R), telle que ˆfn = gn, et en d´eduire que g_n∈C₀(R)∩L²(R).

4. Montrer que (g_n)_n est une suite born´ee dansC₀(R) (muni de la norme infinie).

5. Montrer que la suite (fn)n n’est pas born´ee dans L¹(R).

Indication : On utilisera le lemme de Fatou après un changement de variable appro- prié. On rappelle que le prolongement continu dex7−→sin(x)/xn’est pas intégrable.

6. En d´eduire que F:L¹(R)−→C₀(R) est non surjective.

7. On va montrer cependant que F(L¹(R)) est dense dans C0(R).

(a) Montrer queφ∈ D(R) =⇒φˆ∈L¹(R).

Indication : on pourra v´erifier que x²|φ(x)| →ˆ 0 lorsque|x| →+∞.

(b) En utilisant la formule d’inversion, en d´eduire que D(R)⊂ F(L¹(R)).

(c) Soit f ∈ C0(R) et ε >0. On fixe M > 0 tel que |x| > M −→ |f(x)| < ε/2.

Prouver l’existence de g∈C^∞(R) telle que sup

|x|<2M

|f(x)−g(x)|< ε/2.

En d´eduire l’existence de φ∈ D(R) telle quekf−φk_∞< ε et conclure.

Indication: considérer un élément de D(R) à valeurs dans [0,1], égal à 1 sur [−M, M] et à support dans [−2M,2M].

Exercice 7 1. Montrer que la famille (xⁿe^−x²^/2)n∈Nest une famille libre deL²(R) (on justifiera au pr´ealable qu’elle appartient bien `a L²(R)).

2. Supposons qu’il existe une fonction h∈L²(R) telle quehh, xⁿe^−x²^/2i= 0 pour tout entier n.

(a) Montrer que la transformée de Fourier dex7−→h(x)e^−x²^/2 est bien définie, et est de classeC^∞. On note g cette transformée de Fourier. Que vautg⁽ⁿ⁾(0)?

(b) Montrer queg s’´etend en une fonction holomorphe surC.

(c) En d´eduire que h= 0. Conclusion?

3. Démontrer qu’il existe une famille de polynômes Hn telle que le degré de Hn est n et la famille (H_n(x)e^−x²^/2)n∈N est orthonormale.

2

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4. Montrer que la famille (H_n(x)e^−x²^/2)n∈N est une base hilbertienne deL²(R).

5. Démontrer que lesH_nsont égaux, à un coefficient près (que l’on ne demande pas de calculer) aux polynômes de Hermite

H_n^∗(x) = (−1)ⁿe^x² dⁿ

dxⁿ(e^−x²).

Exercice 8 Soit

f(x) =







1 +x si −1≤x≤0 1−x si 0≤x <1

0 sinon.

1. Calculer la transform´ee de Fourier def. 2. Calculer R+∞

0

sin⁴x x⁴ dx.

Indication : on pourra remarquer quef ∈L¹(R)∩L²(R).

Exercice 9 Pour f ∈L¹(R), on note ˆf la transform´ee de Fourier de f. Pourg∈L²(R), on noteF(g) la transform´ee de Fourier-Plancherel deg.

1. Soit f ∈L¹(R) et g∈L²(R). Montrer que

F(f ∗g) = ˆfF(g).

Indication : on pourra utiliser la densit´e de S(R) et le fait que si f ∈ L¹(R) et g∈S(R), alorsf ∗g∈L¹(R)∩L²(R).

2. Soit f, g∈L²(R). Montrer que

F(f)∗ F(g) =f g.c

3. On note f_a(x) = ^sin(πax)_πx . Déduire de la question précédente f_a∗f_b, avec a, b >0.

4. Montrer que l’équation f ∗f = f, où f ∈ L²(R), admet une infinité de solutions.

Comparer avec l’exercice 1.

Exercice 10 - Espace de Wiener - On note W =L¹(R)∩ FL¹(R), espace de Wiener constitué des fonctions intégrables qui sont également la transformée de Fourier d’une fonction intégrable.

1. Montrer quef ∈W ⇐⇒ f ∈L¹(R) et ˆf ∈L¹(R).

2. Montrer quef ∈W ⇐⇒ f ∈L^p(R) pour tout p∈[1,+∞].

3. Montrer quef ∈W ⇐⇒ fˆ∈W.

4. Montrer que si (f, g)∈W² alors f ? g∈W etf g∈W. 3

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5. Pour f ∈W, on poseN(f) =kfk_L1+kfkˆ _L1. Montrer queN est une norme sur W. 6. Montrer queW muni de la normeN est un espace de Banach.

7. Montrer queW est dense dansL^p pourp∈[1,+∞[ et dansC0(R) muni de la norme uniforme.

Indication : on pourra considérerh(x) =e^−πx² eth_n(x) =nh(x/n) (on rappelle que (hn)nest une unité approchée. On montrera alors que sif ∈L¹(R), alors f∗hn est dansW.

Exercice 11 (Formule sommatoire de Poisson)Soit f ∈L¹(R)∩C(R). On suppose que f satisfait les deux conditions suivantes :

(i) il existeM >0 et α >1 tels que

|f(x)| ≤ M

(1 +|x|)^α, (x∈R);

(ii) la s´erieP

n∈Z|fˆ(n)|converge. Ici ˆf(n) désigne la transformée de Fourier évaluée en n).

Montrer que la s´erie P

n∈Zf(n) converge et

+∞

X

n=−∞

f(n) =ˆ

+∞

X

n=−∞

f(n).

Indication : on pourra introduire la fonction F(x) = P+∞

n=−∞f(x +n), x ∈ R, après avoir montré que la série converge normalement sur tout compact deR. On justifiera que F est continue, 1-périodique. On montrera que les coefficients de Fourier (des fonctions 1-périodiques) de F sontcn(F) = ˆf(n),n∈Z. Puis on concluera.

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