TD4 - S´ eries de Fourier

TD d’analyse spectrale et analyse fonctionnelle 2018-2019

TD4 - S´ eries de Fourier

Exercice 1. Soit T > 0 et soitf une fonction r´eelle T-p´eriodique, int´egrable sur [0, T].

1. Montrer que pour tous r´eels a ∈R et b∈R, on a Z b+T

a+T

f(t)dt= Z b

a

f(t)dt et

Z a+T

a

f(t)dt = Z T

0

f(t)dt.

2. Donner une condition pour que les primitives de f soient T-p´eriodiques.

Exercice 2.

1. Soit (s_n)_n∈Nune suite d’un espace vectoriel norm´e telle ques_n→slorsquen→+∞.

Montrer que

1 n+ 1

n

X

k=0

s_k →

n→∞ s.

2. Exhiber une suite telle que _n+1¹ Pn

k=0s_k converge mais (s_n)_n∈N diverge.

Exercice 3.

On pose D_N(t) =PN

k=−Ne^ikt etK_N(t) = _N+1¹ PN

k=0D_k(t). Montrer que KN(t) = 1

N + 1

sin^N₂⁺¹t sin₂^t

!2

si t 6= 0.

Donner aussi K_N(0).

Exercice 4. (Ph´enom`ene de localisation, une condition faible). Pour une foncton f ∈ L¹(−π, π), on note (c_n(f))n∈Z ses coefficients de Fourier, et on pose

S_n(f)(x) =

n

X

k=−n

c_k(f)e^ikx

sa somme de Fourier partielle.

1

1. Soit f ∈L¹(−π, π) tel que f(0) = 0. Supposons que y 7→ ^f(y)_y soit int´egrable dans un voisinage de 0. Montrer queSn(f)(0)→0 lorsque n→+∞.

2. Soit x ∈ [−π, π], et supposons que y 7→ ^f(y)−f(x)_y−x soit int´egrable dans un voisinage de x. D´eterminer la limite de S_n(f)(x) lorsque n → +∞. Pourquoi appelle-t-on cela “localisation”?

Exercice 5. (Ph´enom`ene de Gibbs)

Soit f la fonction 2π-p´eriodique d´efinie par f(x) = ^π−x₂ sur [0,2π[.

1. Calculer les coefficients de Fourier, puis montrer que les sommes partielles de Fourier def, not´eeS_n(f), satisfont

S_n(f)(x) =

n

X

k=1

sinkx k

D´eterminer la limite simple deSn(f). La convergence est-elle uniforme?

2. D´eterminer la limite de S_n(^π_n) lorsque n→ ∞.

3. Soit

G(x) = Z x

0

sint t dt.

Montrer queGadmet une limite en +∞. On rappelle queG(+∞) = ^π₂. En ´etudiant les variations deG, ainsi que des ses extrema locaux, montrer que G(π)> G(+∞).

4. Montrer que pour tout η >0,

n→+∞lim sup

x∈]0,η[

S_n(x)> f(0⁺) Interpr´etez.

5. On admet que Sn(f) a un maximum global en _n+1^π (les plus courageux pourront

´etudier les variations deS_n(f), ´etudier ses maxima et ses minima). En d´eduire qu’il existe une constante c >0 (que l’on explicitera) telle que

n→+∞lim sup

x∈]0,η[

S_n(x) = (1 +c)f(0⁺).

6. En consid´erant le point x_n:= ^2π_n, montrer qu’il existe c⁰ >0 tel que

n→+∞lim inf

x∈]0,η[S_n(x) = (1−c⁰)f(0⁺).

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Figure 1: La fonction S_n(f) pour n= 20 sur [0,2π]

7. Montrer que limn→+∞infx∈]−η,0[Sn(x) = (1 +c)f(0⁻).

En pratique, la constantecvaut environ 0.18.... On peut montrer que le ph´enom`ene est universel, en le sens que pour une fonction f de classe C¹ par morceaux, pr´esentant une discontinuit´e en 0, l’amplitude entre limn→+∞infx→0⁻S_n(f)(x) et limn→+∞sup_x→0+S_n(f)(x) est proportionnelle au saut f(0⁺)−f(0⁻), avec un fac- teur qui ne d´epend pas de f.

8. Question bonus pour les courageux : Montrer qu’il existe une constante C >0 telle que

∀x∈[0,1],∀n∈N, |S_n(f)(x)− Z x

0

sin(nt)

t dt+ x 2 − 1

2

sin(nx)

n | ≤Cx n.

On pourra montrer la relation 1

2 +

n

X

k=1

cos(kx)− 1

2cos(nx) = sin(nx) 2 tan^x₂ , et int´egrer.

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Figure 2: La fonction S_n(f) pour n= 100 sur [0,2π]

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