TD 6 : S´ eries de Fourier

UPMC LM250

PeiP2 2013-2014

TD 6 : S´ eries de Fourier

Exercice 1. D´ eveloppement en sin ² Montrer la formule suivante :

∀x ∈ R , | sin(x)| = 8 π

X

n∈ N

sin ² (nx) 4n ² − 1 .

Exercice 2. Formules diverses

1. Donner le d´ eveloppement en s´ erie de Fourier de la fonction 2π-p´ eriodique d´ efinie sur [0, 2π[ par f (x) = e ^ax avec a 6= 0.

2. Calculer P

n>1 a

a

+n

. En d´ eduire P

n>1 1 n

. 3. Que vaut la limite lim

a→+∞

P

n>1 a a

+n

?

Exercice 3. S´ erie absolument convergente et s´ erie de Fourier

1. Soit (c _n ) _{n∈ Z} une suite de nombres complexes dont la s´ erie est absolument convergente. Montrer que la s´ erie de fonction P

n∈ T G Z

c _n e ^inX converge normalement.

2. On note f la limite de la s´ erie de fonction. Montrer que f est continue et que

∀n ∈ Z , c _n (f) = c _n .

Exercice 4. R´ egularit´ e de f et d´ ecroissance des coefficients de Fourier

1. Soit f une fonction 2π-p´ eriodique et C ^k . Montrer que ses coefficients de Fourier v´ erifient C _n (f) = o(|n| ^−k ).

2. R´ eciproquement, soit ε > 0 et k ∈ N . Soit (c _n ) n∈ Z une suite de nombres complexes telle que c _n = o(|n| ^−(k+1+ε) ). Montrer que la fonction f d´ efinie par

∀x ∈ R , f(x) = X

n∈ Z

c _n e ^inx ,

est 2π-p´ eriodique et qu’elle est C ^k .

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