2010-2011

(1)

ISA BTP, 2◦ann´ee ANN ´EE UNIVERSITAIRE 2010-2011

CONTR ˆOLE CONTINU

Séries numériques, séries entières

Dur´ee : 1h30. Les calculatrices sont autoris´ees.

Tous les exercices sont ind´ependants.

Il sera tenu compte de la r´edaction et de la pr´esentation.

Exercice 1 _{1. Pour tout n ∈ N, on pose} un =

22n

5n_{+ n} et vn =

22n

3n_{+ n}.

D´eterminer la nature des s´eries P un et P vn.

2. Déterminer, selon les valeurs de x et y, la nature de la série de terme général wn=

x2n yn_{+ n}.

On présentera les résultats sous la forme d’un découpage du plan muni d’un repère (xOy).

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??

Exercice 2 Soit

f : ]0, +∞[ −→ _R

x 7−→ √1

x 1. Étudier rapidement la fonction f et tracer son graphe. 2. Montrer que ∀k > 2, Z k+1 k dt √ t 6 1 √ k 6 Z k k−1 dt √ t. (On pourra donner un argument analytique ou géométrique). 3. En déduire un encadrement de la somme partielle

Sn = n X k=2 1 √ k 4. Montrer que la s´erie P_√1

(2)

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??

Exercice 3 Pour tout n ∈ N , on pose

an = n(−2)n et bn= (−2)n.

1. Montrer que les séries entières P anxn et P bnxn ont le même rayon de convergence R à

d´eterminer.

2. Donner une expression de

g(x) = +∞ X n=0 bnxn, x ∈] − R, R[ `

a l’aide des fonctions usuelles. 3. Pour tout x ∈] − R, R[, on pose

f (x) =

+∞

X

n=0

anxn.

(a) Écrire la somme f (x) + g(x) sous la forme d’une série entière dont on précisera le rayon de convergence.

(b) Écrire sous forme de série entière la primitive de (f + g) nulle en 0, notée h. (c) Montrer que h(x) = xg(x) pour tout x ∈] − R, R[.

(d) En d´eduire une expression de f sous forme de fraction rationnelle.

? ? ?

(3)

CORRECTION

Exercice 1 :

1. En factorisant les num´erateurs et d´enominateurs des termes un et vn, on en obtient des

´equivalents : Ainsi, – un = 22n 5n_{+ n} = 22n 5n. 1 1 + ₅nn ∼ 4 5 n

La suite (un) est donc équivalente à une suite géométrique de raison q = 4₅ < 1. C’est

donc le terme général d’une série convergente. – vn = 22n 3n_{+ n} = 22n 3n 1 1 + ₃nn ∼ 4 3 n

La suite (vn) est donc équivalente à une suite géométrique de raison q = 4₃ > 1. C’est

donc le terme général d’une série divergente. 2. On se contentera ici d’´_{etudier les cas x, y > 0.}

Un ´equivalent de wn = x

2n

yn_+n d´epend en premier lieux des puissances respectives de yn et

n (les termes du d´_{enominateur). On distingue donc les cas y > 1 et y 6 1 :} – Si y > 1, on a yn_{+ n ∼ y}n _et

wn∼

x2

y n

On reconnaˆıt ici le terme général d’une série géométrique de raison q = x_y2. La série P wn converge donc si et seulement si cette raison est < 1, i.e. ssi x2 < y.

– Si y 6 1, on a yn_{+ n ∼ n et}

wn∼

(x2₎n

n

On distingue alors les sous cas x < 1, x > 1 et x = 1 : – Si x < 1, on a

wn

(x2₎n ∼

1

n → 0.

wnest donc dominé par (x2)nqui est le terme général d’une série géométrique

conver-gente. Dans ce cas la s´erie P wn converge ´egalement.

– Si x > 1, par croissances compar´ees, on obtient lim wn = +∞. La s´erieP wndiverge

donc grossi`erement.

– Si x = 1, on a wn ∼ _n1. On reconnaˆıt ici le terme général d’une série de Riemann

divergente (α = 1). La s´erie P wn diverge donc.

(4)

x

y

=1

x

=1

y

=

x

2

CV

DV

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? Exercice 2 : 1. f (x) = √1

x, donc f est d´erivable sur ]0, +∞[ et f

0_{(x) = −} 1

x32 < 0. La fonction f est

strictement positive et strictement d´ecroissante :

2. Géométriquement, la quantité √1

k peut s’interpr´eter comme l’aire d’un rectangle de base

1 et de hauteur √1

k. En pla¸cant ce rectangle entre sur l’intervalle [k − 1, k] puis [k, k + 1],

(5)

k

−

1 k

k

+1

1

p

k

On obtient ainsi les inégalités cherchées.

3. En sommant les in´egalit´es obtenues, on obtient :

n X k=2 Z k+1 k dt √ t 6 n X k=2 1 √ k 6 n X k=2 Z k k−1 dt √ t

Or En calculant les intégrales présentes dans ces inégalités, on fait apparaˆıtre des séries télescopiques : – Z k+1 k dt √ t = h 2√tik+1 k = 2(√k + 1 −√k) donc n X k=2 Z k+1 k dt √ t = 2 n X k=2 √ k + 1 −√k = 2(√n + 1 −√2) – Z k k−1 dt √ t = h 2√t ik k−1 = 2( √ k −√k − 1) donc n X k=2 Z k k−1 dt √ t = 2 n X k=2 √ k −√k − 1 = 2(√n − 1) D’où 2(√n + 1 −√_{2) 6 S}n 6 2( √ n − 1)

4. Le minorant m = 2(√n + 1 −√2) obtenu à la question précédente tend vers +∞ quand n → +∞. On en déduit que la suite (Sn) diverge vers +∞, ce qui donne les résultat

attendu concernant la s´erie P_√1 k.

(6)

En factorisant par n dans l’expression

√ n+1 √

n , on montre que les deux bornes ainsi obtenues

tendent vers 1. D’après le théorème des gendarme, le quotient Sn

2√n tend ´egalement vers

1, ce qui montre l’´equivalence cherch´ee.

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? Exercice 3 :

1. Pour déterminer le rayon de convergence des deux séries entières étudiées, on peut appli-quer le critère de d’Alembert. Ainsi :

– an+1 an = (n + 1)(−2)n+1 n(−2)n = 2n + 1 n → 2

Le rayon de convergence de la s´erie enti`ere P anxn est donc Ra= 1₂.

– bn+1 bn = (−2)n+1 (−2)n = 2 → 2

Le rayon de convergence de la série entière P bnxn est donc Rb = 1₂ également.

2. On reconnaˆıt dans la série P bnxn une série géométrique de raison −2x :

∀x ∈ −1 2, 1 2 , +∞ X n=0 bnxn = +∞ X n=0 (−2x)n = 1 1 + 2x 3. f (x) + g(x) = +∞ X n=0 n(−2)xn+ +∞ X n=0 (−2)nx2 = +∞ X n=0 (n + 1)(−2)nxn

On obtient une série entière de coefficients cn = (n + 1)(−2)n. Là encore, le critère de

d’Alembert nous permet de montrer que Rc = 1₂.

4. La primitive de (f + g) qui s’annule en 0 est par d´efinition la fonction h v´erifiant

h(x) = Z x 0 f (t) + g(t)dt = Z x 0 +∞ X n=0 (n + 1)(−2)ntn ! dt = +∞ X n=0 (−2)n Z x 0 (n + 1)tndt = +∞ X n=0 (−2)ntn+1x₀ = +∞ X n=0 (−2)nxn+1

5. D’après le calcul précédent, on a h(x) =

+∞ X n=0 (−2)nxn+1 = +∞ X n=0 (−2)nxn× x = x.g(x). 6. D’après les calculs précédents, on a

∀x ∈ −1 2, 1 2 , h(x) = xg(x).

(7)

En d´erivant cette expression, on obtient : ∀x ∈ −1 2, 1 2 , f (x) + g(x) = g(x) + xg0(x). D’o`u ∀x ∈ −1 2, 1 2 , f (x) = xg0(x) = x ₋₂ (1 + 2x)2 = − 2x (1 + 2x)2