I-INTRODUCTION
Lorsqu’une houle se propage au-dessus d’un fond meuble, il se forme souvent des ondulations ou rides sur ce fond si la contrainte de cisaillement au fond est supérieure à la valeur critique de mise en mouvement des sédiments. Les rides sont générées par un processus de déstabilisation d'un fond initialement plat. Ces structures de petite échelle (~ 10 cm) ont un effet significatif sur la structure de la couche limite de fond et sur l'intensité de turbulence près du fond. Elles modifient ainsi le transport sédimentaire, ceci justifiant le grand nombre de travaux réalisés sur la forme des rides (Nielsen, 1981). Cependant, les mécanismes gouvernant la sélection des longueurs d'onde et la géométrie des rides sont encore mal compris (Andersen, 1999).
Les rides générées par une onde de gravité sont de deux catégories (Bagnold, 1946): les
"rides de grain roulant" et les "rides de vortex". Les "rides de grain roulant" sont les premières à apparaître à partir d'un fond initialement plat et elles sont trop petites pour générer des tourbillons à leurs versants chaque demi-cycle de la houle. Ces rides ne sont pas stables et évoluent toujours vers des "rides de vortex" (Stegner & Wesfried, 1999) caractérisées par un rapport hauteur sur longueur d'onde η/λ supérieur à 0,1. L'étude de la stabilité des réseaux de rides permet d’apporter des informations supplémentaires à l'étude des systèmes dynamiques hors équilibre.
Le but de ce travail est de présenter des premiers résultats obtenus grâce à une technique d'acquisition d'images adaptée à l'étude en canal à houle de la dynamique des rides de vortex. L'association de deux prises de vue dans deux plans orthogonaux, une vue de côté et une vue de dessus permet d'étudier l'évolution temporelle des caractéristiques géométriques moyennes (longueur d'onde et hauteur) des réseaux de rides. Elle permet de plus grâce à une technique de traitement de signal basée sur l'utilisation de la transformée de Hilbert, de suivre l'évolution locale et instantanée de ces grandeurs et de corréler l'évolution instantanée locale des hauteurs de rides et des longueur d'ondes. Une meilleure compréhension des mécanismes de formation des rides et de leur dynamique est attendue. Nous nous limiterons dans cet article à montrer à travers des exemples les avantages de cette technique. Les résultats concernant les longueurs d'onde moyenne des rides seront comparés aux résultats obtenus dans des études antérieures (Nielsen, (1981) ; Khelifa & Ouellet (2000)).
II-DISPOSITIF EXPERIMENTAL ET TECHNIQUES D’ANALYSE D’IMAGES a - Dispositif expérimental
Les essais ont été réalisé à l'université du Havre dans un canal à houle de 10 m de long, 49 cm de large et 49 cm de haut (Figure 1). Au fond du canal, nous avons disposé du sable ou de la poudre de PVC suivant les tests réalisés. Ces "sédiments" ont été répartis sur une longueur de 2,7 m avec une épaisseur de 25 mm. Le diamètre moyen D des grains de sable est de 150 µm pour une densité s de 2,6. La taille des grains de PVC est très proche de celle du sable (D=160 µm) mais la densité est beaucoup plus faible (s=1,35), ce qui nous permet de faire varier les conditions d'écoulement dans une large gamme de paramètres. De nombreux tests ont ainsi été réalisé en faisant varier la période T de l'écoulement et la hauteur crête- creux H des vagues. La houle, monochromatique, est générée par un batteur à excentrique et amortie par une plage de pente 1/5 constituée de filtres poreux.
Un plan de lumière cohérente de direction verticale, dirigé suivant l'axe du canal est
obtenu grâce à un faisceau laser Hélium-Néon de 35 mW traversant une lentille cylindrique
de diamètre 1,5 mm maintenue sous la surface libre (Figure 1). L'intersection du plan de
lumière avec le fond fixe la dimension du champ visé à une quinzaine de centimètres. Un
camescope numérique à capteur d'images CCD permet d'enregistrer l'évolution temporelle de la géométrie des rides sur la ligne avec une résolution de 0,23 mm/pixel. Le programme de traitement des images acquises a été développé sous les logiciels Labview et Matlab.
(a)
(b)
Figure 1. (a) Vue de côté. (b) Vue de dessus.
b - Traitements de la vue de côté
La méthode utilisée pour reconstruire la morphologie des rides à l'instant choisi consiste à repérer les maxima de lumière correspondant à l'intersection du plan de lumière avec les réseaux de rides. Pour cela, on fixe un seuil de niveau de gris au-delà duquel les pixels sont considérés comme maxima et on balaye les rides pour les repérer. Un repérage des sommets et des creux des rides obtenues permet d'évaluer les longueurs d'onde λ et hauteurs des rides η de façon locale et instantanée. Les grandeurs moyennes λ m et η m , maximum λ max et η max et minimum λ min et η min sur la ligne sont mémorisées.
c - Traitements de la vue de dessus
Les vues du dessus des champs de rides sont obtenues grâce à une caméra crayon Panasonic GP-KS162HDE immergée. Le champ de rides visé est de 28 cm de long sur 22 cm de large. La résolution sur cette vue est de 0.4 mm/pixel.
La technique de traitement de signal utilisée pour traiter les vues du dessus des champs de rides est la démodulation complexe obtenue par l'application de la transformée de Hilbert aux images acquises. L'avantage de cette technique est qu'elle permet de faire ressortir dans l'image les informations locales. Chaque ligne a une direction parallèle à la direction de l'onde générée, de manière à couper les rides formées perpendiculairement à la direction moyenne de leurs crêtes.
On note I ( x , y ) le signal réel que constitue l'image en niveaux de gris acquise à un instant donné. Chaque ligne de l'image est représentée par une fonction I y ( x ) donnant les niveaux de gris sur cette ligne. La première étape de la transformée de Hilbert consiste à passer le signal dans le domaine spectral. Pour minimiser les temps de calcul, chaque ligne de
3,1 m 0,5 m 2,7 m 0,5 m 1,2 m 2 m
Laser
Plage d’amortissement Batteur
Niveau de l’eau
au repos Propagation de la houle
Caméra bâton Barreau cylindrique
Sable Trace laser
x
y
l'image est réduite à 512 points pour pouvoir subir une transformée de Fourier grâce à un algorithme de FFT. A l'issue de cette étape, une moyenne des spectres obtenus est effectuée pour fournir la longueur d'onde moyenne du réseau de rides de l'image étudiée.
Le signal contenant la répartition des fréquences spatiales sur chaque ligne est noté , y ( 1 / x ) . La seconde étape consiste à tronquer ce signal de la façon suivante pour ne conserver que les fréquences spatiales positives :
, y ( 1 / x ) = 0 si 1 / x < 0 2 . , y ( 1 / x ) si 1 / x > 0
Le signal complexe reconstruit par transformée de Fourier inverse de , y ( 1 / x ) est le signal analytique I y ( x ) associé à I y ( x ) , obtenu par transformée de Hilbert. On a :
) x (
I y = T.F. - 1 ( , y ( 1 / x ) ) Ce signal peut être représenté sous la forme :
) x (
I y = I y ( x ) exp (i φ y (x))
où φ y (x) et I y ( x ) représentent la phase et l'amplitude du signal analytique associé.
La reconstruction d'une image en niveaux de gris contenant sur chaque ligne les φ y (x) fournit une carte φ (x,y ) des phases locales aux différents points de l'image et, par dérivation spatiale, la distribution des nombres d'onde locaux q (x,y) et des longueurs d'onde locales λ (x,y) dans la direction x r
.
) y , x x ( ) y , x (
q φ
∂
= ∂
Les réseaux de rides à l'équilibre ne sont pas en général bidimensionnels. Les rides tendent à s'aligner perpendiculairement à l'onde qui les génèrent mais présentent de multiples irrégularités ou défauts. Les défauts sur la structure sont mis en évidence par l'étude de la distribution q ( x , y ) .
Les deux vues (vue de côté et vue de dessus) sont synchronisées à la houle par une diode lumineuse placée dans le champ de chacune des deux caméras. Un grand soin a dû être apporté à l'éclairage et à son orientation par rapport aux champs de rides visés. Les films ont été réalisés en limitant la lumière naturelle parvenant sur les champs de rides visés grâce à des rideaux recouvrant les côtés et le dessus du canal.
III-ESTIMATION DES LONGUEURS D’ONDE DE RIDE
Un exemple de l'évolution temporelle de la géométrie des rides générées dans le cas
d'un essai conduit avec les particules de PVC et une houle dont les caractéristiques sont la
hauteur d'eau h = 37 cm, la longueur d'onde L = 1,53 m, la période T = 1,04s et la hauteur
crête-creux H = 4 cm est présenté sur la figure 2. L'instant t = 0 correspond à l'établissement
de la houle. Le lit de sédiments est alors plat.
instant t= 1 mn
100 200 300 400 500 100
200 300 400
instant t= 31 mn
100 200 300 400 500 100
200 300 400
instant t= 1 heure
100 200 300 400 500 100
200 300 400
instant t= 1 heure 30 mn
100 200 300 400 500 100
200 300 400
Figure 2. Vue de dessus des champs de ride à différents instants
Nous pouvons remarquer très rapidement (~1 mn) l'apparition des rides de grains roulant pour lesquelles les longueurs d'onde sont faibles. Ces rides ne sont pas stables et évoluent rapidement en rides de vortex. On constate sur ces vues l'importance des défauts sur le motif. De multiples phénomènes de création et d'annihilation de rides entraînent des variations locales importantes de la longueur d'onde des rides.
Exemple de traitements des vues de dessus des champs de rides
L'essai traité a été réalisé avec des particules de PVC dans les conditions suivantes. La hauteur d'eau est h=37 cm, la période T=1,04 s et la hauteur de vague H=2,3 cm. Dans ces conditions, les mouvements au fond sont faibles (U m =0,041 m/s, U m étant l'amplitude de la composante horizontale de la vitesse des particules fluides juste à l'extérieur de la couche limite de fond) ce qui entraîne une faible remise en suspension des sédiments. Ces conditions sont idéales pour permettre la calibration de la technique d'acquisition.
La figure 3 a) représente l'image traitée, limitée à la partie analysée par transformée de Hilbert. La limite entre les zones sombres et brillantes situent les crêtes des rides. On peut constater de nombreuses irrégularités dans le réseau de rides. Le spectre moyen représenté en figure 3 b) permet de mesurer la longueur d'onde moyenne sur un champ étendu. Les représentations 3 c) et 3 d) donnent les phases et amplitudes locales de l'image en niveaux de gris. Ces tracés permettent de choisir les lignes présentant des défauts qu'il est intéressant d'étudier plus en détail.
Nous représentons les phases locales sur les lignes 160 et 162 en figure 4, les amplitudes locales sur ces mêmes lignes en figure 5 et les nombres d'onde locaux obtenus par dérivation spatiale de la phase en figure 6.
x
y
Figure 3. Transformation de Hilbert d’une vue du dessus
Les phases représentées évoluent entre -π et +π. En particulier, les passages brutaux de +π à -π se produisent aux crêtes de chaque ride. Un suivi de la taille des rides est donc facilité par ce type de représentation. On ne doit néanmoins pas oublier que dans le cas de ces motifs la phase réelle ne fait qu'augmenter linéairement et qu'il y a conservation de la phase totale du motif. Il apparaît nettement sur l'exemple de la figure 4 des variations de la longueur d'onde locale. Les défauts dans le réseau de rides sont des phénomènes localisés qui entraînent un saut quasi ponctuel de la phase locale. Dans ce cas existe réellement une discontinuité de la phase et du nombre d'onde qui en dérive. Aux lieux d'apparition dans l'image de ces dislocations, une impulsion positive apparaît dans la courbe des nombres d'onde (figure 6).
L'amplitude locale représentée en figure 5 est plus difficilement interprétable. Il semble que, aux lieux où apparaissent des défauts dans l'image, l'amplitude locale chute. Mais, la qualité des images traitées n'étant pas excellente, des passages par zéro de l'amplitude sont également observés dans la partie gauche de l'image qui souffre d'un moins bon contraste que la partie droite. Il conviendra pour les essais ultérieurs d'améliorer l'éclairage et d'avoir recours à un filtrage de l'image.
Figure 4. P hases locales des lignes 160 et 162 a) image traitée
100 200 300 400 500 100
200 300
400 0 0 5 10
0.1 0.2 0.3 0.4
b) spectre moyen : L=1,23 cm
c) phases locales
100 200 300 400 500 100
200 300
d) amplitudes locales
100 200 300 400 500 100
200 300
longueur d’onde (cm)
300 400 600
4
0 100 200 500
-4 -2 0 2
0 100 200 300 400 500 600
-4 -2 0 2 4 rd
rd
Figure 5. Amplitudes locales des lignes 160 et 162
Figure 6. Nombres d’ondes locaux des lignes 160 et 162
Une même ligne de pixels est récupérée dans chaque image acquise toute les 10 secondes pour la même position de la vague. Les images sont cumulées dans un fichier fournissant des diagrammes spatio-temporels d'une ligne de pixels choisie.
Le tracé de diagramme spatio-temporels permet d'observer l'apparition de défauts dans la structure. Par exemple, on peut observer en figure 7 , trois phénomènes d'annihilation de rides. Deux rides formées se rejoignent pour n'en former qu'une seule. Ce phénomène s'accompagne d'une modification locale de la longueur d'onde sous forme - au cours du temps - d'une diminution puis d'une augmentation de la longueur d'onde après recombinaison de deux rides. Ce type de tracé permet d'analyser la dynamique des réseaux de rides et en particulier des défauts. Dans le cas représenté, la vitesse de déplacement du réseau de rides est négligeable et seuls les défauts se déplacent. Il apparaît de plus dans le cas étudié que les défauts présents ne perturbent que très localement le réseau de rides établi .
Figure 7. Diagramme spatio-temporel de la ligne 340
0 100 200 300 400 500 600
0 20 40 60
0 100 200 300 400 500 600
0 20 40 60
0 100 200 300 400 500 600
-20 -10 0 10 20
100 200 300 400 500 600
-20 -10 0 10 20
100 200 300 400 500 600 700
50 100 150
200 250 300 350
t (s) 400 cm
-1cm
-1IV-ESTIMATION DES HAUTEURS DE RIDE
Cette estimation est réalisée à partir de la vue de côté. La figure 8 représente cette vue pour le test considéré figure 2 en vue de dessus. A t = 1 mn, la hauteur des rides est trop faible pour qu'il puisse y avoir détachement des structures tourbillonnaires générées aux versants des rides. Pour t = 31 mn, la hauteur η et la longueur d'onde λ des rides apparaissent régulières sur la trace laser dans le réseau de ride. Ceci n'est vérifié que localement; en effet la figure 2 montre clairement l'existence de nombreuses irrégularités des longueurs d'onde au même instant dans une zone située un peu plus en aval. Les images obtenues à t = 1 h et à t = 1 h 30 mettent en évidence des variations importantes de η et de λ .
t=1mn
t=31 mn
t=1h
t=1h30
Figure 8. Vue de côté des champs de ride à différents instants
L’évolution au cours du temps des longueurs d’onde et hauteurs moyenne, maximum et minimum obtenues pour ce test par analyse de la vue de côté est représentée sur la figure 9.
Cette figure montre que lorsque des écarts significatifs existent à un instant donné entre la longueur d'onde de ride minimale et la longueur d'onde maximale, il existe également de fortes variations pour la hauteur de ride dans le champ visé.
(a)
(b)
Figure 9. Evolution des longueurs d’onde (a) et des hauteurs (b) de ride en fonction du temps.
V-LONGUEURS D’ONDE MOYENNES DE RIDE
A la différence d'un écoulement permanent, un écoulement de houle possède une échelle horizontale caractérisant le mouvement près du fond, à savoir le diamètre orbital, soit 2 fois l'amplitude de déplacement a des particules fluides juste à l'extérieur de la couche limite de fond. La longueur d'onde de ride λ est ainsi estimée dans la littérature (Nielsen, 1992) comme une fraction constante de a pour une certaine gamme d'écoulement:
33 , a ≈ 1
λ pour ψ < 20
0 5 1 0 1 5 2 0 2 5 3 0 3 5 4 0 4 5
0 2 0 0 0 4 0 0 0 6 0 0 0 8 0 0 0
t ( s )
λ (mm)
L o n g u e u r d ’o n d e m a x L o n g u e u r d ’o n d e m i n L o n g u e u r d ’o n d e m o y L o n g u e u r d ’o n d e t h é o r i q u e ( N i e l s e n , 1 9 8 1 )
0 1 2 3 4 5 6
0 2 0 0 0 4 0 0 0 6 0 0 0 8 0 0 0
t ( s ) η (mm)
H a u t e u r m a x H a u t e u r m i n H a u t e u r m o y
