ONDE D'INTERFACE POUR UNE COUCHE LIQUIDE ENTRE DEUX SOLIDES SEMI-INFINIS

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HAL Id: jpa-00230553

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Submitted on 1 Jan 1990

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ONDE D’INTERFACE POUR UNE COUCHE LIQUIDE ENTRE DEUX SOLIDES SEMI-INFINIS

J. Pouliquen, A. Defebvre, L. Moukala

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J. Pouliquen, A. Defebvre, L. Moukala. ONDE D’INTERFACE POUR UNE COUCHE LIQUIDE

ENTRE DEUX SOLIDES SEMI-INFINIS. Journal de Physique Colloques, 1990, 51 (C2), pp.C2-969-

C2-972. �10.1051/jphyscol:19902226�. �jpa-00230553�

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ONDE D'INTERFACE POUR UNE COUCHE LIQUIDE ENTRE DEUX SOLIDES SEMI-INFINIS

J. POULIQUEN, A. DEFEBVRE et L.M. MOUKALA

Faculté Libre des Sciences, Laboratoire d'Acoustique-Ultrasons (URA 253 CNRS), 13 Rue de Toul, F-59046 Lille Cedex, France

Résumé - Le déterminant donnant la célérité de ces ondes est établi à partir des équations de propagation et des conditions aux limites. Pour des milieux solides identiques il conduit aux équations de dispersion et aux distributions d'amplitudes et d'énergie.

Abstract - The determinant giving the wave celerity is derived from the propagation equation and the boundary conditions. If the solid media are identical it leads to the dispersion equations and the amplitude and energy distributions.

1 - INTRODUCTION

Nous étudions ici la propagation dans un plan sagittal d'une onde harmonique (de type Stoneley-Scholte O.S.S.) aux interfaces d'une couche liquide comprise entre deux solides isotropes semi-infinis. Des équations de propagation dans les divers milieux et des conditions aux limites pour les contraintes et déplacements nous déduisons un déterminant H (6x6) à annuler pour éviter les solutions triviales. Ce déterminant peut être développé analytiquement et, si les milieux extrêmes sont identiques, résolu sous forme d'un produit S^ÎX, en solutions symétrique et antisymétrique. Dans un cas particulier de ce type nous résolvons l'équation de dispersion et calculons les distributions d'amplitude et d'énergie acoustique au sein des milieux.

*

y

2 - ETUDE THEORIQUE /1,2/ ,

1 +a Considérons (Fig. 1) un liquide non visqueux (0),

d'épaisseur 2a, entre deux solides isotropes (1-2) 0 o

semi-infinis, les milieux étant définis par leurs masses o »x

volumiques p. , leurs coefficients de LAME A , M^ (u.fl - 0) z

ou par leurs célérités d'ondes longitudinales C^ et

transversales C, (C, = 0) : 2 ~a

' 1 * 1 0 Fig. 1 C = [(A. + 2 M , ) /p. ]1/2 ; Ct j = [H. / p. ]1 / 2

Soit une onde plane élastique (OSS), de pulsation œ, de célérité C et de nombre d'onde k, se propageant suivant l'axe Ox, le plan sagittal xOy contenant le vecteur déplacement F; (u- , v- , 0 ) . Le système d'équations d'onde pour chaque milieu :

3

2U]

. ] [ ô

2

u

k

]

P

JJ-\ "

^C

" " oVxj]

⁽¹⁾

m m

où C;-k^ est le tenseur de rigidité, admet pour solution :

u, - {u(A

;

.

r

«"

+ B|

.-

r

" )

+

., (c,.""

+

D, . - " ) } .»>«-«>

(2) v{ - -jjr, (A,. .'"' - B, . " " ) + k (c, ." " - D, . - . * ) } .JCex-t,

Article published online by EDP Sciences and available at http://dx.doi.org/10.1051/jphyscol:19902226

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COLLOQUE DE PHYSIQUE

avec ri = u 2 - 1 2 ; si = w (C-2 - c;f)l12 ; rO = Y

(C-2 -

^cô2)1/2 ^;

1

en limitant l'étude au cas réel pour ri , si ; soit :

C < min (C _{' i} , Ct ₁

.)

^Wⁱ ^{( 3 )}

Nous pouvons alors déduire de (2) le tenseur des contraintes T i j pour chaque milieu par : au'

T . . 1 = C.. 1 J ~ Z ekl = Ci jk'

[%+

^3x8

Les 10 constantes d'intégration Ai Bi Ci Di [Co = Do = O dans le liquide] se déduisent des conditions aux limites :

1) localisation aux interfaces : l'onde disparaît quand y +

+

^Al⁼^Cl⁼^B2⁼^D2⁼^O

2) continuité des déplacements normaux et des contraintes normales aux interfaces :

Nous obtenons ainsi un groupe de 6 équations dont le déterminant O des coefficients doit être nul pour que B 1 , D l , A g , Bo, A2, C2 existent.

La symétrie de

IO

autorise son développement analytique comme suit :

avec a = (A

+

2p) r2 - Ak2 ; f3 = 2pks ; Y = 2pkr.

Si les milieux extrêmes sont identiques -O peut être écrit sous forme d'un produit : -

D

=

4%

⁼

[

2 p o J (rn- - k ~ ) ch roa - 2r0

( d

- 67) shroa] x

[-2pod (ar - kY)sh roa

+

^2r0(a2 - @Y) chroa] = O

Son annulation donne deux systèmes d'ondes qui, par rapport au plan médian y = O sont symétrique (coth) ou antisymétrique (th), l'équation de dispersion s'écrivant :

Les deux premiers termes constituent l'équation de RAYLEIGH ; le troisième restitue l'équation des Ondes de STONELEY-SCHOLTE si a + m .

Nous limitant ensuite à ce cas des milieux solides identiques, la connaissance de C (7) permet de calculer les constantes de (2) en fonction de B par exemple, d'en déduire les composantes (ui, vi) et de montrer que l'onde est à polarisation elliptique directe (y <O) ou inverse y(> O), le retournement s'opérant en y = O (milieu de la couche liquide) par annulation de vo dans le cas symétrique (A = B, O.L. pure) ; de uo dans le cas antisymétrique (A = - B, O.T. pure).

Calculant le tenseur des déformations ek4 (4) nous pourrons exprimer la répartition W(y) de l'énergie de vibration normalisée par rapport à l'énergie dans le liquide à l'interface Wo(a) L'expression dans la couche liquide est simple :

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assez lourde met toutefois en évidence la décroissance exponentielle avec la pénétration.

Les résultats précédents (5 à 8) sont également valides quand Co < C < C, à condition de

c2 1 /2

remplacer ro par ik

(z

^- ¹⁾ ^, les lignes hyperboliques se convertissant en lignes circulaires.

3. RESULTATS NUMERIOUES

Nous donnons quelques résultats pour le système Si02/N2H4, OH2/Si02, /3/ avec les valeurs suivantes :

- Po = 1010 kgm-3, Co = 1900 ms-l ; p = 2200 kgm-3 , CZ = 5900 ms-l , C, = 3700 ms-' _; - Courbe de dispersion C/Ct

-

f(ka) (Fig. 2.1). La fonction croit tres rapidement pour le

mode s dominant, la dispersion est donc forte pour les couches liquides minces ; il n'existe qu'une branche' trés courte pour le mode as ; l'un et l'autre sont limités à CO/C, = 0,5135 (condition 3).

ui (Y) vi

(Y)

-

Distribution d'amplitudes relatives longitudinales

-

et transversales

-

en fonction

VI (a) VI (a)

de l'altitude réduire y//\ pour les modes symétrique (Fig. 2.2 et 2.3) et anti- symétrique (Fig. 2.4 et 2.5) aux valeurs ka = 2 ou 9. Dans le liquide les courbes montrent les formes en Ch} rOy prévues, les changements de signe des composantes V, ou Ua, quand y + -y ; on

sh

note la continuité des seules composantes transverses normées à 1 quand y = a. Enfin l'amplitude longitudinale Uso> sur l'axe Ox diminue quand ka 7 , tres rapidement avant le coude de vitesse (ka

a),

lentement ensuite (ka

>

0,5).

wi (Y)

-

Distribution d'énergie

-

(Fig. 2.6 à 2.8) aux mêmes valeurs ka. Celle-ci reste surtout Wo (a)

concentrée dans la lame liquide, même très mince et WSo, L quand ka 2' 4 - CONCLUSION

Ces ondes d'interface apparentées aux ondes de STONELEY-SCHOLTE par leur équation de dispersion concernent essentiellement la couche liquide qui n'établit pas d'effet couplant significatif entre matériaux extrêmes puisque l'énergie reste canalisée dans le fluide à toute épaisseur.

REFERENCES

/1/ Rousseau, J., Pouliquen, J. and Defebvre, A. Revue d'Acoustique, (1981) 11.

/2/ Defebvre, A., Pouliquen, J. and Moukala, L.M. 13th I.C.A. Belgrade 1989 Conference Proceedings, V4 319.

/3/ Dobrzynski, et al. J . Phys., France,

X

(1989) 2563.

(5)

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COLLOQUE DE PHYSIQUE

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