points des ensemles l' déterminer R.O.N

(1)

( )

{ }

b)

0 ) 1 ( y que tels y) M(x;

points des ensemles l' déterminer R.O.N

) J

; I (o;

a) 2)

v 1)calculer

) 1 ( v

;

* IN n et ) 1 ( par v définie ) (v suite la Soit II)

e convergent est

) (u que déduire En c)

1 ) 2 ( 1 ) 1 2 ( u

;

* IN n que vérifier b)

2 2 1 u n :

* IN n que Montrer )

2 ) (n 1 - ) Log(n!

u n : par

* IN sur definie suite la n ) (u Soit 4)

2 2 ) 1 2 ( 1 2 ) (n 1 ) Log(n!

;

* IN n que Montrer c)

)

! 2 (

n 1

2 1

Logx suite par et 2

k 1

2 - 1 k

Logx que déduire En b)

k 1 Logx x IN*;

k

* ; IR x que Mntrer 3)a)

)

; I (Oo;

é orthoonorm repere

un dans C courbe saz construire et

f de s variation les Etudier 2)

1 1 2 f(x) 1 : a on [ 1

; 1 ] x que déduire en c)

1 2 1

1 t 2 1;1 - - IR t que tels et

; reéls trois existe il qu' Montrer b)

f de existence l' Justifier 1)a)

x 0

2 1

t 2 f(x) x IR;

1;1[

- :]

f soit I)

D construire b)

(AB) décrit M lorsque I pointd des D ensemble l'

est quel a) N

* M I Soit 3)

f de tiques caractéris éléments

les Préciser b)

) f(

et f(B) déterminer a)

) oR S (O f pose on C

* B O Soit 2)

centre son constriure et

angle son de mesure une préciser

C R(B) et N R(M) a on (AB) de M point pour tout que

telle R rotation seule une existe il qu' Montrer 1)

CN BM et (BC) bord de plan demi meme un dans soient N et M que tel (AC) de N point le associe on (AB) de M point tout a

) 2 (2 AB;

que tel isocele non ABC e un triangl considere

on orienté plan le Dans

losange un 2 est 1 M OMM que montrer

; 2 z z;

z;

s respective '

; 2 M 1 M;

ponts les associe on nul non z complexe nombre

tout a )

; U (O;

orthonormé repere

un a raporté etant plan le b)

de trique trigonomé forme

la donner a)

z 0 z 1 pose On 2)

négative imaginaire partie

une a

qui celle z 1

; racines autres deux 2 les 1 z z note on 0 f(z) alors résoudre b)

a déterminer on

l' 0 que z pur imaginaire solution

une admet 0 f(z) équation l'

que montrer a) ) 1

8 ) 3 1 ( 2 4 ) 3 ( 3 2 z f(z) donne on

2 0

2 1 1

0 2 n 1

0 2 1 0

n n

1 n

Probleme Exercice2 Exercice1

bac1990(P) Enonceé

=

−

=

∈

∀

−

= + +

=

−

∈

∀

≥

∈

∀

− +

=

+

− + +

≥

∈

∀

∫ ≤ +

+

−

≤

∈ + ∀

∈

∀

−



 





−

= +

−

∈

∀

+ + + −

=

−

∈

∀

∫ −

=

→

=

Ω

= Ω

=

Ω

=

≡

=

+

− + +

− +

=

∫

+

x x

dx x x dx

x f n n u

Log a

n Logn

Log n n Log

n Log dx Logk

dx

Logk

J x x

Log x

t t t

dt t

ÂC affixes

d

M V

et

i z i z

i

n n

γ α β

γ β α

π π ω

ω

ω ω

a

(2)

) s (B f alors et B fixes points deux admet f puisque mais

glissement un

ou e orthogonal symétrie

une est

f ou d' placement d'

anti un est c' donc t déplacemen anti

un avec t deplacemen un

d' composeé la

est f b)

(evident) )

f(

et B f(B) 2)a)

on intersecti l'

a ou d' [MN]

de médiatrice la

a et [BC]

diametre de

cercle au appartient centre

2 le angle d' mesure de

N R(M) et C R(B) que tel R rotation seule

une existe il donc ) 2 2 ( ) CN

; BM ( et CN BM ::

a on 1)

2 z OM 2

; z OM

; 1 OM 2

2 et OM OM losange un 2 est 1 M OMM b)

(evident)) i 3

e 2)a)

)

0 4 3 2 2 z équation l'

que (vu 1 3

z 2 donc et 1 3

z ; 0 2 z seront 0 f(z) de solutions

les alors et 4 b et 3 -2 a onobtient t

identifian en

et 2 )

2i)(z (z f(z) ecrivant en

)

0 2 z -2 on trouve calcul

le fasant en 0 i) f(

; 0 i z soit 1)a)

u lim u

lim que admet on 2 Log l que précede qui

ce de déduire u lim l soit ) 3

v de et p de fonction en

e exprimer 2)

e ! IN*;

n que Montrer 1)

I)4) dans definie suite la etant ) u )(

)!

2 (

)

! 2 ( ) 3 2 )(

1 2 ( v 2

; IN p que Montrer 6)

2 n

lim que montrer v

rapport v le

précédente expression

l' dans apparaitre faisant

En b)

) 4 )(

3 )(

2 ( . 2 v IN;

n que récurrence par

montrer 5)a)

v 1 lim v que et 5 1

n 2 IN; n n que déduire En b)

5 v 2

: IN n que partie par n intégratio une

d' aide l' à Prouver a)

4)

e convergent est

elle qu' déduire en b)

te décroissan est

) (v que Montrer 3)a)

v 8 que déduire En )

0 ) 1 ( y que tel y) M(x;

point des ensemble l'

déterminer )

; I (o;

O.N repere un a rapporte etant

plan Le ) ) 2

calculer v )

1 ) 1 ( v

;

* IN n et ) 1 ( par v définie ) (v suite la soit II)

e convergent )

(u que )

1 ) 2 ( 1 ) 1 2 ( u

: ona

* IN n que rifier )

EXERCICE2 EXERCICE1

boubaker) guesmi.

par (Exposeé

CORRECTION

p 2p

n

2p 2u

2 1 u n

2 2p

2 3

n 1 n 1

n

n 1 n 1

2 n n

1

2 0

2 1 1

0 2 n 1

0 2 1 0

n n

1 n

2 p

n

= Ω Ω

Ω

= Ω

=

Ω

=

≡

=

⇔

=

= +

− +

=

−

=

−

=

= +

+ +

=

−

=

⇒

=

∈

∀

+

= +

∈

∀

= +

+

= +

∈

∀

=

≤ + ≤

∈ +

∀

+

= +

∈

∀

=

−

=

∈

∀

−

=

+ +

=

−

∈

∀

−

+

+ +

∫

π

π π

ω π

ω

α α

α

π

π π

π

z M

M treéls

coefficien a

est

z i

i b az b

i l e

n n III

p p p

p

v n

n v n

v v

n v n b

x x J

a

dx x x dx

x est

endéduire c

f n n u

ve b

up

n n

p

n n

n n n

(3)

[ ]

e convergent donc

2 Log2 par 1 minoreé te

décroissan n )

(u donc

1 0 u n n - u 0 1 2n et 0 x pour tout 0

f(x) a on c)

1 ) 2n 1)f( 1 1 (2n

u n n - u a onabouti

n 1 n 1 2n - 1 1

1 2n 1 1 que remarquer de

suffit il

; 1 2

1 1 2n

1 1) - 1 (2n u n n - u b)

2 Log2 1 u n aura on n 2 ) (n 1 que fait le et 3)c) aprés d' 4)a)

) Log(n!

2 Log2 n 1

- 2 ) )Log(n 1 2 (n 1 ou d'

) Log(n!

2 n 1

2 0 1

pour x x - Logx x

1 dt Logt : a on partie par n integratio une

faisant en c)

) Log(n!

dx 2 n 1

2 1

Logx obtient

on Logb Loga b) a Log(

que remarquant en

n k et 1 k entre somme la

a passant en

et 2 k 1 2 et - 1 k entre Logk 1

k - Logx x inégalité l'

integre on b)

demandé résultat

le obtient k on

y x poe on ; 1 - x Logx 0 g(x) ou d'

1 en 0 maximum un

adet g que on voit [

]0;

sor g étudiant en

1 x - Logx g(x) fonction la

soit 3)a)

[ 1

; 1 ]

; 2 0 1

x 2 (x) ' f 2)

1;1[

- ] x 1 ) ( 1 2 -x 1 f(x) obtient on intégrant en

b) et ) a aprés d' c)

-1 on trouve différence

la faisant

2 on trouve 1 1

- par t remplacent en

puis t simplifian en

t 1 par t multiplian 2 en

on trouve 1 1

par t remplace

on puis et simlifiant en

; t - 1 par membres deux

les t multiplian 1 en

1 ) 1 )(

1 (

t 2 ecrivant en

b)

primitive une

admet elle don 1;1[

- ] sur continue 1 2

t 2 t a qui fonction la

1)a)

S(AB) D

I ) 2 )(

; 2

; 4 S(

ou 2 d'

I 2 et ) 2 4 ( )

; M (

suite par et en isocele rectangle est

MN triangle le

donc ) 2 2 ( ) M;

( et N M : a On ) ) 3

PROBLEME

+ ≥

⇒

≥ +

≥

+ + + =

= +

+ + +

 

  +

+ + + + =

≥

≥ +

≤ +

+ +

≤ +

−

⇒

>

∫ =

∫ ≤ + +

=

= +

+ +

≤

=

≤

⇔

≤

+∞

+

=

−

∈

∀

≥

−

=

∈

− ∀ + +

=

= +

=

+ + + − + =

−

=

⇒

= Ω

Ω

= Ω

≡ Ω Ω

Ω Ω

≡ Ω Ω Ω

= Ω

n Log n

x xLogx x

x x

x Log x en

t t t

t

M M

I

N a

α

γ β

γ α β

π π π

π π

a

(4)

3 2 5 2 3 1 2 v 2

.

1 2

2 v 2

3 2 v 2 a on IN p pour ) 6

lim 2

; 2 ) (exposant 1 carré

racine la a passant en

n lim 4) 3)(n 2)(n (n lim puisque

v lim 2 alors

v lim v lim puisque 1

v ) ( v lim puisque ) mais

4 )(

3 )(

2 (

2 v

: v a on b)

) 5 )(

4 )(

3 ( v 2

) 4 )(

3 )(

2 ( v 2

: a on récurrence de

hypotese par

5 or n

2 v n

a on

0 n pour vraie donc est relation 4 la

3 2

2 8 3 v 2 v : a on 5)a)

v 1 lim v 5 1

n 2 n

v donc te décroissan est

) (v a on b)

5 v 2

3 2 3

2 v n

) 1 ( )

1 3 (

2 ) n

1 )(

1 3 (

ou v 2 d'

) 1 3 ( x) 2

- (1 ' v 2 ;

2 ' n x

u pose on partie par n intégratio par

) 1 ( v

4)

e convergent donc

0 par minoreé et

te décroissan n )

(v

2 1 1 ) 1 ( 1 0 1 2

0 2 1 ) 1 2 (

1 n x donc [0;1]

pour x 1 x 0 : a on 3)a)

8 2

2 v 1

alors

(C) bord de disque demi du aire l' est qui 1 0

dx 1 y

v )donc 2 1 a a que rappele (on 1

0 2 1 ) 1 ( 1 x

v b)

C cercle le est cherche ensemble

l' donc

2 ) I(0; 1 avec 2 ) C(I; 1 cercle un d' equation l'

est c' 4 2 1 2 ) - 1 2 (x y 0 x) - x(1 2 - y a) 2)

3 2 1

0 2 3 ) 1 ( 3 2 - 1 ou v 0 d'

1 f n 1 n est 1 f n ' f de primitive une

qu' sachant

; -1 (x) ' v alors x - 1 v(x) pose on 1)

0 2x1

4 2 2

- 2p

2 2 2p

2 3 3

2 3 n

1 n n

n 1 n 2

2 1 n

1 n 2 1 n

1 n 1

2 1 n

1 0

n 1 n 1

1 2 n n

2 n 2 n

1

0

2 1 2

2 2 1 2 1

0

2 1 2

2 2

n

2 3 2

1 2

2 2 n 1

0

2 1 2

2 2

n

II)

1990 BAC CORRECTION SUITE

x x v

p v p p v

p

n n

v n n n v

v v

n n v n

alors n

n v n

v v v

x x x

v v v

v n v v n

v n

dx x x

x x dx

x x n x

x v

x u

dx x x

v n v n

dx x n x dx x r

dx x

x

p p

n n

n n n

n n

n n n

n

n n

n

n n

+ =

=

+

= −

= +

∈

=

= + + +

=

= + =

+

= +

=

+ +

= +

+ +

= + +

= +

=

⇒

≤ + ≤

⇒ +

≤

≤ +

= + + ⇔

+ −

=

 

 



 − − −

= +

− + −

=

−

=

⇒ + =

=

⇒

=

−

=

+ ≤

⇔

∫ −

∫ − ≤

+

∈

≤

=

= ∫

∫ − =

=

= +

⇔

=

 







 







−

=

+

= +

=

−

+ +

+ + + +

+ +

+

+ +

+

∫

π π

π

(5)

3 2 5 2 3 1 2

2

0 1

2

v x

v

_x

x =

= +

(6)

[ ]

( ) ( ) ( ) ( )

∆

<

=

= +

=

∆

=

= Ω

+ +

=

⇔

=

= + +

=

+ +

= +

+

=

+

= +

=

+

= +

−

− +

+

= −

+

= +

+

= +

−

+ +

+

et C de positions les

Déterminer b)

2 1

avec et 0 solutions deux

admet 0

(x) équation l'

que montrer a)

x - f(x) (x) par definie fonction la

par désigne on

2)

f de s variation les

étudier 1)

f de tive représenta courbe

sa (C) et 2x) Log(1 f(x)

Soit A)

x y : et )

; I (O;

repere un à rapporté plan

le P Soit

f par D de image l' construire et

déterminer x

y : D 3)Soit

f de tiques caractéris éléments

les et nature la déterminer

hog f pose 2 on rapport 1 de

et (1,-1) centre

de h homothétie l'

P dans soit 2)

g de tiques caractéris éléments

les déterminer 3

) 1 ( ) 3 i - (1 ' z affixe d' ' M point le

associe z

affixe d' M point tout a qui P dans P de n applicatio l'

g soit 1) .D R.O.N un )

; U (O;

2 nombre le

fois deux moins au obtient on

b)

2 nombre le

seulement fois

deux et fois deux obtient on

a)

: suivants évenements

des chacun de

é probabilit la

calculer fois

trois dé le lance on 2)

2 nombre le

obtenir d'

celle et 1 nombre le

obtenir d'

é probabilit la

déduire on

b)

p calculer a)

pair nombre un

obtenir d'

é probabilit la

p note on et fois une dé le lance on 1)

impair nombre

un obtenir d'

celle de double au égal soit pair nombre un

obtenir d'

chaque a

qu' facon de est truqué dé

ce 6 a 1 de numérotés sont

faces les dont cubique dé

un onlance

2 2

e lim alors 1 2 ) 1 3 2p )(

lim(1 1 et ) lim (limu

1 2 2p )(

(1 1 lim 2 2 lim 1 e lim ou d' 2 ) 1 3 2 )(

1 1 ( 2 2 .

e : ona 3)

2 ) 3 2 )(

1 2 ( )!

2 ( . 2 )

! 2 )! (

2 ( .

2 2 )

! (

2 ! 2 e !

) 2

e n!

e . e

e

III)1)

) 3 2 ( )!

1 2 (

! 2 2.

3 4 )...

2 2 )(

1 2 ( 2 ) 1 2 )(

3 2 (

2 4 )...

2 2 )(

2 .(

2.2 3 5 ...

) 1 2 )(

3 2 (

! 2x2

3 5 ...

...

) 1 2 )(

3 2 (

(2)x(2) x...x

2) - (2p)(2p obtient v

on égalites les

membre a

membre t

multiplian En

PROBLEME EXERCICE2 EXERCICE1

1990(C) BAC

ENONCE FIN

p

p 2

2 p 2 p

n

u 2

p

2 u

2 2u

2 2

2

2 2

2

2 2 1

2 2 1 2

2 2

2 U

- 2U

2 1 n

2 n n 1 Log 1 n!

U

p 2 p

p (C)

2p

α α

ϕ

ϕ ϕ

π π

J i z

V

Log l p e

u

x p p x v p x

p p p v e

e

p p v p

p p p p p

p p

p p p

p e p e p

p e

e n e

p p

p

x x p

p p p

p

x x p

p

x x x p p

p

x x x

p p

l p

p p

u u u u

p p

p

p p

p p p p

P U p

n Log

p p p p

P

n

(7)

4 2 n

nj n

n n

n

1 n 0

n 1

-

1 -

)

) (C que Montrer b)

) n ; ( 2 ' M alors y) M(x;

si que Montrer a)

) J (O;

sur M de orthogonal projeté

le désigne H

(n de(H;

barycentre '

M point le associe M

point tout a qui meme lui

dans P plan du fonctin la

Soit 4)

n quand lim Logn

calculer c)

) 2

1 ( Logn

que déduire En

b)

2 Logn

que Montrer 3)a)

) nulle non solution la

notera (on solutions deux

admet 0

) ( f équation l'

que Montrer 2)

1 ) 2 (

1 x

- 1 1 : a on [ ]1;

x

; que Montrer 1)

tive représenta courbe

sa ) (C et nx) Log(1 )

( f soit

; 2 n partie cette Dans B)

limite sa déterminer et

e convergent est

) (U que deduire En

c)

croissante stricement

est ) (U que b)Montrer

U 1 IN;

n que Montrer a)

) ( u

: IN n pour et 1 u par ) (u suite la définie 4)On

et x o x droites les

et ' C et C par limité domaine

du aire l' de fonction en

calculer c)

x reél pour tout

) ( f determiner b)

meme le dans ' C courbe sa

on tracera dont

f réciproque fonction

une une admet f

que montyrer a)

3) )

C Construire c

C

y x

nLogn Log

Logn x x

x x Logx

x

u f x

TracerCet c

n

= Φ

Φ

+∞

→

+

≤

=

−

≤

≤ +∞

∈

∀

+

=

≥

≤

∈

∀

=

∈

=

∆

+

α

α α

α