D365*** - Deux cylindres
Deux cylindres semblables (1) ont la somme de leurs hauteurs respectives égale à 1, la somme de leurs surfaces (y compris leurs bases circulaires) égale à 8π et la somme de leurs volumes égale à 2π.
Démontrer qu'il existe une solution unique qui donne les dimensions des deux cylindres.
(1) Nota : deux solides sont semblables lorsqu'il y a un agrandissement, une réduction, une reproduction à l'échelle.
Proposition de Marc Humery
I/ 2 cylindres C1(r1, h1) et C2(r2, h2) semblables
Ils sont semblables au sens d’un changement d’échelle des dimensions tout en préservant les angles. Une transformation géométrique correspondant à un agrandissement ou à une réduction est une homothétie caractérisée par son rapport 𝜏 = r2/r1 = h2/h1 > 0 et son application réciproque par 𝜏’ = 1/𝜏 = r1/r2 = h1/h2 > 0
II/ Établissement d’un système de 4 équations (4 inconnues) 1) C1(r1, h1) et C2(r2, h2) semblables
r2 = 𝜏r1 et h2 = 𝜏h1 équation (1)
2) la somme de leurs hauteurs respectives égale à 1 h2+h1 = (𝜏+1)h1 = 1 équation (2)
3) la somme de leurs surfaces (y compris leurs bases circulaires) égale à 8π S1+S2 = 2𝜋(𝜏²+1)(r1+h1)r1 = 8𝜋 (𝜏²+1)(r1+h1)r1 = 4 équation (3)
4) la somme de leurs volumes égale à 2π
V1+V2 = 𝜋(𝜏3+1)(r1)²h1 = 2𝜋 (𝜏3+1)(r1)²h1 = 2 équation (4)
III/ Réduction du système à une équation du 6° degré à une inconnue 𝜏 a) équation (4) divisée par équation (2) donne équation (5)
(𝜏3+1)(r1)²h1/(𝜏+1)h1 = 2 => (𝜏²-𝜏+1)(r1)² = 2 (r1)² = 2/(𝜏²-𝜏+1) équation (5)
b) équations (2), (3), (5) donnent équation (6)
(r1+h1)r1 = (r1)²+h1r1 = 4/(𝜏²+1) => h1r1 = [4/(𝜏²+1) - 2/(𝜏²-𝜏+1)] = 2(𝜏-1)²/(𝜏²+1)(𝜏²-𝜏+1) r1 = 2(𝜏-1)²(𝜏+1)/(𝜏²+1)(𝜏²-𝜏+1)
(r1)² = 4(𝜏-1)4(𝜏+1)²/(𝜏²+1)²(𝜏²-𝜏+1)² équation (6)
c) égalité des équations (5) & (6) donne une équation non linéaire à une inconnue 𝜏 4(𝜏-1)4(𝜏+1)²/(𝜏²+1)²(𝜏²-𝜏+1)² = 2/(𝜏²-𝜏+1) => 2(𝜏-1)4(𝜏+1)² = (𝜏²+1)²(𝜏²-𝜏+1)
On obtient une équation en 𝜏 du 6° degré : 𝜏6- 3𝜏5-5𝜏4+10𝜏3-5𝜏²-3𝜏+1 = 0 équation (7)
IV/ Transformation de l’équation du 6° degré en 𝜏 en une équation du 3° degré en x = (𝜏 + 1/𝜏) a) Établissement de l’équation du 3° degré en x = (𝜏 + 1/𝜏)
La symétrie des coefficients de l’équation (7) confirme bien que l’inconnue 1/𝜏 vérifie aussi l’équation (7) car 1/𝜏 correspond au rapport de l’homothétie réciproque. En conséquence (𝜏 + 1/𝜏) vérifie l’équation (7).
En divisant par 𝜏3 :
𝜏6- 3𝜏5-5𝜏4+10𝜏3-5𝜏²-3𝜏+1 = 0 𝜏3- 3𝜏²-5𝜏+10-5/𝜏-3/𝜏²+1/𝜏3 = 0 (𝜏3 + 1/𝜏3) – 3(𝜏² + 1/𝜏²) – 5(𝜏 + 1/𝜏) + 10 = 0
Posons x = (𝜏 + 1/𝜏) > 0 => (𝜏3 + 1/𝜏3) = x3-3x ; (𝜏² + 1/𝜏²) = x²-2 On obtient une équation en x du 3° degré : x3-3x²-8x+16 = 0
b) Résolution de l’équation du 3° degré en x = (𝜏 + 1/𝜏)
1 racine réelle évidente x0 = 4 > 0 => x3-3x²-8x+16 = (x-4)(x²+x-4) = 0 => x²+x-4 = 0 2 racines réelles : x’ = -(√17 + 1)/2 = -5,123… < 0 ; x’’ = (√17 - 1)/2 = 1,561… > 0
V/ Déduction de 2 équations du 2° degré en 𝜏
On ne retient que les racines positives de x3-3x²-8x+16 = 0 a) x’’ = (𝜏 + 1/𝜏) = (√17 - 1)/2
𝜏² - [(√17 - 1)/2]𝜏 + 1 = 0 => ∆ = - (√17 - 1)/2 < 0 => pas de solution réelle pour 𝜏 b) x0 = (𝜏 + 1/𝜏) = 4
𝜏² - 4𝜏 + 1 = 0 => ∆ = 12 > 0 => 2 racines réelles distinctes 𝜏1 et 𝜏2 telles que 𝜏1𝜏2 = 1 (conjuguées) 𝜏1 = (2-√3) = 0,267 949… (réduction)
𝜏2 = 1/𝜏1 = 1/(2-√3) = (2+√3) = 3,732 050… (agrandissement)
Les 2 rapports 𝜏1 et 𝜏2 étant conjugués montrent que l’un correspond à l’homothétie de réduction de C1 en C2
et l’autre à l’homothétie réciproque d’agrandissement de C2 en C1 ou vice-versa.
Conclusion : il n’y a donc qu’une seule solution
VI/ Dimensions des 2 cylindres semblables C1(r1, h1) et C2(r2, h2) a) détermination de h1 et h2
h1 = 1/(1+𝜏1) = 1/(3-√3) = (3+√3)/6 h2 = 𝜏1h1 = (2-√3)(3+√3)/6 = (3-√3)/6
b) détermination de r1 et r2
(𝜏1²-𝜏1+1) = (2-√3)²- (2-√3)+1 = 3(2-√3) => 2/(𝜏1²-𝜏1+1) = 2(2+√3)/3 = (4+2√3)/3 = (√3 +1)²/3 Or on a :
(r1)² = 2/(𝜏1²-𝜏1+1) = (√3 +1)²/3 r1 = (√3 +1)/√3 = (3+√3)/3
r2 = 𝜏1r1 = (2-√3)(3+√3)/3 = (3-√3)/3
VII/ Résultat Cylindre C1(r1, h1)
h1 = (3+√3)/6 = 0,788 675… r1 = 2h1 = (3+√3)/3 = 1,577 350…
S1 = 2(2+√3)𝝅 = 23,449 166… V1 = (9+5√3)𝝅/9 = 6,164 591…
Cylindre C2(r2, h2)
h2 = (3-√3)/6 = 0,211 324… r2 = 2h2 = (3-√3)/3 = 0,422 649…
S2 = 2(2-√3)𝝅 = 1,683 574… V2 = (9-5√3)𝝅/9 = 0,118 593…
