Diophante D365 Deux cylindres
Soient r le rayon du premier cylindre et h sa hauteur, lr le rayon du second cylindre et lh sa hauteur.
Supposons que la taille du second cylindre soit au moins celle du premier (l ≥ 1).
L’énoncé nous donne
• h + lh = 1 soit h = 1/(1 + l)
• {2pr2 + 2prh} (1 + l2) = 8p
• pr2h (1 + l3) = 2p soit r = Ö {2/(l2 - l + 1)}
Après avoir substitué h et r en fonction de l au milieu, l’équation en l se transforme en {l2 + (1+Ö17)/2 l + 1)} {l2 + (1-Ö17)/2 l + 1)} {l2 - 4l + 1} = 0.
Chaque polynôme a deux racines dont le produit vaut 1 (on pouvait s’y attendre).
Le premier polynôme a deux racines réelles négatives.
Le deuxième polynôme a deux racines purement complexes.
Le troisième a deux racines réelles positives, dont une seule (l ≥ 1) convient : l = 2 + Ö3.
h = (3 - Ö3)/6 et r = (3 - Ö3)/3, lh = (3 + Ö3)/6 et lr = (3 + Ö3)/3 (r/h = lr/lh = 2 résulte de 1 + l2 = 2(1 + l)2/3 ou 1 + l3 = (1 + l)3/2).
Il existe une solution unique qui donne les dimensions des deux cylindres.
Jean-Louis Legrand
