Deux cylindres
Problème D365 de Diophante
Deux cylindres semblables ont la somme de leurs hauteurs respectives égale à 1, la somme de leurs surfaces (y compris leurs bases circulaires) égale à 8π et la somme de leurs volumes égale à 2π.
Démontrer qu'il existe une solution unique, qui donne les dimensions des deux cylindres.
Solution
Notons x le rapport de similitude entre le plus grand cylindre et le plus petit et y le rapport entre le rayon de la base et la hauteur de chaque cylindre.
Ainsi, avec des notations canoniques, on a : h = 1/(1+x) et H = x/(1+x)
s = 2*π*r*(r+h) et S = 2*π*R*(R+H) v = π*r*r*h et V = π*R*R*H D’où deux relations aux inconnues x et y :
s + S = 8*π = 2*π*y*(1+y)*(1+x2 )/(1+x)2 v + V = 2*π = π*y2*(1+x3 )/(1+x)3
D’où deux équations aux inconnues x et y : 4 = y*(1+y)*(1+x2 )/(1+x)2
2 = y2*(1+x3 )/(1+x)3
Ainsi : y = rac(2*(1+x)3 /(1+x3 )) et une équation en x, que je résouds avec un grapheur. La valeur approchée trouvée est x = 3,73 qui donne y = 2. Je retiens y = 2 comme valeur exacte et recalcule x comme solution de (1+x)2 = 2*(1- x+x2 ).
On trouve une unique solution, pour x>1 : x = 2+√3 et y = 2
