Exercices sur les congruences

TS (spécialité) Exercices sur les congruences _2011-2012

EXERCICE 1 :

1. (a) Montrer que 2013 est congru à 4 modulo 7.

(b) Déterminer le plus petit entier naturel n congru à 2014 modulo 7.

2. Soit n un nombre entier naturel congru à 5 modulo 7.

(a) Déterminer un nombre entier naturel congru à n

modulo 7.

(b) En déduire que n

+ 1 est divisible par 7.

3. Montrer que si n ≡ 4(7) alors n

− 1 est divisible par 7.

4. On considère le nombre A = 2013

+ 2014

. Sans calculer A , prouver que A est divisible par 7.

EXERCICE 2 :

n ∈ N . Démontrer que 6

+ 13

est divisible par 7.

Aide : tester la divisibilité par 7 de 6

+ 13

pour les valeurs de n allant de 0 à 6.

EXERCICE 3 :

1. En utilisant un ordinateur, déterminer les entiers naturels n inférieurs ou égaux à 35 pour lesquels n

+ 3 n − 10 est divisible par 13.

2. Démontrer que n

+ 3 n − 10 est divisible par 13 ⇔ n ≡ 3(13) ou n ≡ 5(13)

3. Déterminer le plus petit entier supérieur ou égal à 2500 pour lequel n

+ 3 n − 10 est divisible par 13.

EXERCICE 4 :

1. Donner suivant les valeurs de l’entier naturel n les restes de la division euclidienne de 2

par 7.

2. En déduire que si n n’est pas multiple de 3, 2

+ 2

+ 1 est divisible par 7.

EXERCICE 5 :

Justifier que pour tout entier naturel n multiple de 5, 4

− 3

est divisible par 11.

EXERCICE 6 ;

On pose A

= n

− n , n ∈ N

.

1. Démontrer que A

est un nombre positif.

2. Démontrer que A

est un multiple de 3.

3. En utilisant les congruences modulo 5, démontrer que A

est un multiple de 5.

4. Pourquoi A

est-il divisible par 30 ?

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