TS spécialité : Divisibilité Division euclidienne Congruences page 1
Divisibilité
Division euclidienne Congruences
I. Divisibilité
(A) Divisibilité dansZ
Activité no1 p 14
Définition 1
Soientaetbdeux entiers relatifs.
4aestun multipledebs’il existe un entierktel quea=bk.
4Sib6=0,bestun diviseurdeasi, et seulement si,aest un multiple deb.
On dit quebdiviseaet queaest divisible parb.
Exemples
u45 est multiple de−5 car 45=(−5)×(−9). (−5) est un diviseur de 45.
uL’ensemble des multiples de 5 est {. . . ;−15;−10;−5; 0; 5; 10; 15; . . .}.
uLes diviseurs de 12 sont 1; 2; 3; 4; 6; 12 et leurs opposés.
Les diviseurs de 18 sont 1; 2; 3; 6; 9; 18 et leurs opposés.
Les diviseurs communs à 12 et à 18 sont 1; 2; 3; 6 et leurs opposés.
Remarques
V0 est multiple de tout entier car 0=0×npour tout entiern.
VTout entier non nul a pour diviseurs 1 ;−1 ;n;−n.
VTout entier non nul a une infinité de multiples.
Exercices no1 - 2 p 33
(B) Propriétés de la divisibilité 1. Comparaison
Propriété 1
Soientaetbdeux entiers relatifs. (b6=0).
4Sibdiviseaalors−bdivisea.
4Sibdiviseaet sia6=0 alors|b| ≤ |a|. Théorème 1
aetbsont deux entiers relatifs non nuls.
Siadivisebet sibdiviseaalorsa=boua= −b.
Démonstration
D’après la propriété précédente, on a|a| ≤ |b|et|b| ≤ |a|donc|a| = |b|.
1
TS spécialité : Divisibilité Division euclidienne Congruences page 2
2. Transitivité Théorème 2
a,betcsont trois entiers relatifs aveca6=0 etb6=0.
Siadivisebet sibdivisec alorsadivisec.
Démonstration
Par hypothèse, il existe un entierktel queb=aket un entierk0tel quec=bk0alorsc=akk0doncadivisec.
3. Divisibilité d’une combinaison linéaire Théorème 3
a,betdsont trois entiers relatifs avecd6=0.
Sid diviseaetbalorsddivise tout entierma+nb(m∈Zet n∈Z).
En particulierddivise leur sommea+bet leur différencea−b.
Démonstration
Par hypothèse, on peut écrirea=d ketb=d k0avecketk0entiers.
D’oùma+nb=md k+nd k0=d(mk+nk0) avecmk+nk0entier. Doncddivisema+nb.
Exercices no3 - 5 - 11 - 16 - 18 - 27 - 28 - 30 - 34 - 35 p 33 à 36 Entrainement no4 - 6 - 8 - 9 - 10 - 12 - 13 - 14 - 15 - 29 - 31 - 32 - 33 p 33 à 36
II. Division euclidienne
(A) Division euclidienne dansN
Activité no3 p 15
Théorème 4
aetbsont deux entiers naturels avecb6=0.
Il existe un couple unique (q;r) d’entiers naturels tel quea=bq+r et0≤r <b.
Démonstration
uProuvons l’existence du couple.
Puisqueb≥1, les multiples debsont du typebcavecc∈Nforment une suite strictement croissante. On noteEl’ensemble des naturelsctels que bc<a.Eest une partie deNnon vide (car 0∈E) dont tous les termes sont majorés para.
On admet quetoute partie non vide majorée deNadmet un plus grand élément.
DoncEadmet donc un plus grand élément notéq.bqest le plus grand multiple debinférieur ou égal àa. Le multiple suivantb(q+1) est donc strictement supérieur àa. D’oùbq≤a<b(q+1)(1).
On poser=a−bq. D’après(1), on abq−bq≤a−bq<b(q+1)−bqsoit 0≤r<b.
uProuvons l’unicité du couple.
On suppose qu’il existe deux couples (q;r) et (q0;r0) tels quea=bq+r=bq0+r0avec 0≤r<bet 0≤r0<b.
On a alorsr−r0=bq0−bq=b(q0−q) avec (q0−q) entier doncr−r0est un multiple deb.
Or 0≤r<bet 0≤r0<bd’où−b< −r0≤0 et par addition membre à membre :−b<r−r0<b.
Le seul multiple debdans ]−b;b[ est doncr−r0=0 soitr=r0.
Commer−r0=b(q0−q)=0 avecb6=0 alorsq0−q=0 doncq=q0. Donc il y a unicité du couple.
Définition 2
aetbsont deux entiers naturels avecb6=0.
Effectuerla division euclidienne dansNdeaparb, c’est déterminer le couple d’entiers naturels (q;r) tel quea=bq+ret0≤r<b.
2
TS spécialité : Divisibilité Division euclidienne Congruences page 3
Propriété 2
Dans la division euclidienne deaparb, il y abrestes possibles : 0 ; 1 ; 2 ; . . . ;b−1.
Vocabulaire
aestle dividende,bestle diviseur,qestle quotient,r estle reste.
Remarque
bdiviseasi, et seulement si, dans la division deaparble reste est nul.
(B) Division euclidienne dansZ Théorème 5
aetbsont deux entiers relatifs avecb6=0. Il existe un couple unique (q;r) avecqentierrelatifet r entiernatureltel quea=bq+r et0≤r < |b|.
Exemple
a= −50,b= −3 −50= −3×16−2
Pour obtenir un reste positif, on doit écrire−50= −3×17+1. Ainsi on aq=17etr=1.
Exercices no36 - 37 - 38 - 39 - 43 - 44 - 46 p 36 - 37 Entrainement no40 - 41 - 42 - 45 p 36 - 37
III. Congruences
(A) Entiers congrus modulo m
Définition 2 - Propriété Soitmun entier naturel non nul.
Dire que deux entiers relatifsaetbsontcongrus modulomsignifie qu’ils ontle même restedans la division euclidienne parm(c’est-à-dire si, et seulement si,a−best un multiple dem)
Notation
a≡b(modm)oua≡b(m). On lit «acongru àbmodulom»
Exemples
11≡5 (3) −4≡2 (3)
Remarques
Siaetbsont des entiers relatifs etmun entier naturel non nul : uaest un multiple demsi, et seulement si,a≡0 (m).
urest le reste de la division euclidienne deaparmsi, et seulement sia≡r(m)et0≤r<m.
uLes nombres congrus àbmodulomsont les nombres de la formeb+mk,k∈Z.
3
TS spécialité : Divisibilité Division euclidienne Congruences page 4
(B) Propriétés des congruences 1. Transitivité
Propriété 3
mest un entier naturel non nul. Pour tous entiers relatifsa,betc: Sia≡b(m) etb≡c(m) alorsa≡c(m).
Démonstration
En effet, dans la division parm,aetbont le même reste, ainsi quebetc. Doncaetcont le même reste dans la division parm.
2. Opérations
Théorème 6
mest un entier naturel non nul eta,b,a0,b0sont des entiers relatifs.
Sia≡b(m) eta0≡b0(m) alors
a+a0≡b+b0(m) a−a0≡b−b0(m)
aa0≡bb0(m)
Démonstration
Sia≡b(m) eta0≡b0(m) alorsa−b=kmeta0−b0=k0m.
Par addition : (a+a0)−(b+b0)=(k+k0)mavec (k+k0) entier. Doncmdivise la différence (a+a0)−(b+b0).
Donc, d’après la propriété,a+a0≡b+b0(m).
On procède de même pour démontrer la soustraction et la multiplication
Exercices no49 - 50 - 52 - 53 - 54 - 58 - 64 - 66 - 68 - 71 p 37 à 39 Entrainement no51 - 55 - 56 - 57 - 59 - 60 - 61 - 62 - 63 - 65 - 67 - 69 - 70 p 37 à 39
Problème no5 p 31 Problème no6 p 31
Approfondissement no100 - 102 - 106 - 110 - 114 - 116 - 118 - 120 p 42 - 43 Approfondissement no101 - 103 - 104 - 105 - 108 - 109 - 115 - 117 - 119 -121 - 122 p 42 - 43
4
