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Congruences de sommes de chiffres de valeurs polynomiales

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Academic year: 2021

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(1)

HAL Id: hal-00091790

https://hal.archives-ouvertes.fr/hal-00091790v3

Submitted on 8 Sep 2006

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polynomiales

Cécile Dartyge, Gérald Tenenbaum

To cite this version:

Cécile Dartyge, Gérald Tenenbaum. Congruences de sommes de chiffres de valeurs polynomiales.

Bulletin of the London Mathematical Society, London Mathematical Society, 2006, 38, pp.61-69. �hal-

00091790v3�

(2)

Bull. London Math. Soc.

38 (2006), 61–69.

Congruences de sommes de chiffres de valeurs polynomiales

C´ ecile Dartyge et G´ erald Tenenbaum

Abstract. Letm, g, q N with q 2 and (m, q1) = 1. For n N, denote by sq(n) the sum of digits ofnin theq-ary digital expansion. Given a polynomialf with integer coefficients, degreed1, and such thatf(N)N, it is shown that there exists C=C(f, m, q)>0 such that for anyg∈Z, and all largeN,

|{0nN:sq(f(n))≡g(modm)}|CNmin(1,2/d!). In the special casem=q= 2 andf(n) =n2, the valueC= 1/20 is admissible.

Classification AMS :principale 11B85, secondaires 11N37, 11N69.

1. Introduction

Soit q un entier sup´ erieur ou ´ egal ` a 2. Po ur n N , on note s

q

(n) la somme des chiffres de n en base q. En 1968, Gelfond [3] a montr´ e que si f (X ) = aX + b est un polynˆ ome de degr´ e 1 ` a coefficients positifs ou nuls, la suite { s

q

f(n)

}

n=0

est bien r´ epartie dans les progressions arithm´ etiques de raison fix´ ee m d` es que (m, q 1).

(1)

A la fin de son article, Gelfond pose le probl` ` eme de l’extension de son r´ esultat aux polynˆ omes de degr´ e quelconque et, ` a d´ efaut, d’estimer asymptotiquement, pour tous entiers m et q satisfaisant (m, q 1) = 1, la quantit´ e

(1 · 1) A(N; f ; g, m) := 0 n N : s

q

(f (n)) g (mod m) lorsque f Z [X] est un polynˆ ome de degr´ e au moins ´ egal ` a 2.

Cette question s’ins` ere naturellement dans une probl´ ematique g´ en´ erale de la th´ eorie des nombres. Il s’agit de d´ ecrire les interactions, ou l’ind´ ependance, des diverses structures dont une suite d’entiers peut ˆ etre munie. En l’occurrence, le probl` eme de Gelfond consiste ` a v´ erifier l’heuristique selon laquelle une suite d´ efinie par composition d’une fonction de nature alg´ ebrique (un polynˆ ome) et d’une fonction de nature algorithmique (la somme des chiffres) se comporte de mani` ere

1. On peut ramener le cas g´en´eral `a celui ´etudi´e par Gelfond : sid:= (m, q1),m1:=m/d, on a identiquementsq(f(n))≡f(n) (modd). Pour tout r´esidugmodulomrepr´esent´e par f modulod, il s’ensuit donc que

{n∈N:sq(f(n))≡g(modm)}=

0w<d f(w)g(modd)

{w+td:t0, sq(f(w+td))≡g(modm1)}.

(3)

stochastique — le crit` ere retenu ici ´ etant la bonne r´ epartition dans les progressions arithm´ etiques.

A notre connaissance, la seule avanc´ ` ee sur ce probl` eme obtenue dans la litt´ erature concerne un analogue de type Piatetski-Shapiro, o` u la fonction polynomiale f est remplac´ ee, dans (1 · 1), par n [n

c

] avec 1 < c < 2. ` A l’instar du probl` eme de la r´ epartition des nombres premiers dans les suites arithm´ etiques, on peut en effet consid´ erer que ce cadre permet une interpolation gradu´ ee de la difficult´ e entre le cas des polynˆ omes de degr´ e 1 et celui des polynˆ omes quadratiques. En 1995, Mauduit et Rivat [4] ont ainsi ´ etabli que la suite { s

q

([n

c

]) }

n=0

est ´ equir´ epartie dans les progressions arithm´ etiques si c [1, 4/3[ .

L’objet du pr´ esent travail consiste ` a fournir des minorations de A(N; f ; g, m) lorsque f est un polynˆ ome de degr´ e sup´ erieur ` a 2. Nous commen¸cons par le cas embl´ ematique q = m = 2, f (X ) = X

2

.

Th´ eor` eme 1.1. La densit´ e inf´ erieure de la suite des entiers n tels que s

2

(n

2

) est pair (resp. impair) est au moins ´ egale ` a

58

1332

2 0, 05047 >

201

.

Courte et ´ el´ ementaire, la preuve de ce r´ esultat repose principalement sur la 2- additivit´ e de la fonction s

2

et sur la formule bien connue

(1 · 2)

0nN

( 1)

s2(n)

=

12

( 1)

s2(N)

{ 1 + ( 1)

N

} (N N ).

Comme les id´ ees essentielles de notre m´ ethode y apparaissent sous une forme affranchie des difficult´ es techniques inh´ erentes au cas g´ en´ eral, nous avons choisi de pr´ esenter ` a part, au paragraphe 2, la d´ emonstration du Th´ eor` eme 1.1.

Notre r´ esultat principal s’´ enonce comme suit.

Th´ eor` eme 1.2. Soient g, m et q des entiers tels que q 2 et (m, q 1) = 1. Soit f un polynˆ ome ` a coefficients entiers, de degr´ e d 1 et tel que f ( N ) N . Il existe deux constantes C = C(f, q, m) > 0 et N

0

= N

0

(f, q, m) 1 telles que

(1 · 3) A(N; f ; g, m) CN

min(1,2/d!)

(N N

0

).

Remarques. (i) Le cas d = 1 n’a ´ et´ e inclus dans cet ´ enonc´ e que par souci de compl´ etude : le th´ eor` eme de Gelfond dans [3] fournit alors une estimation plus pr´ ecise.

(ii) Lorsque d = 2, il d´ ecoule de (1 · 3) que lim inf

N→∞

A(N ; f ; g, m)/N > 0.

L’extension d’une telle propri´ et´ e au cas d 3 semble hors de port´ ee de notre m´ ethode.

Pour exhiber des entiers n tels que s

q

(f (n)) g (mod m), nous construisons des m-uplets (n

1

, . . . , n

m

) tels que

s

q

(f (n

j

)) s

q

(f (n

1

)) + j 1 (mod m) (2 j m).

(4)

Congruences de sommes de chiffres de valeurs polynomiales 3 Nous employons ` a cette fin un argument r´ ecursif de descente reposant sur une repr´ e- sentation des diff´ erences s

q

(f (n

j

)) s

q

(f (n

1

)) en fonction de valeurs s

q

(f

(n

1

)) o` u f

d´ ecrit un ensemble de polynˆ omes de degr´ e au plus d 1. Il est donc indispensable, pour la mise en place du raisonnement, de consid´ erer, et de contrˆ oler, simultan´ ement toutes les congruences relatives ` a un module donn´ e. Nous sommes ainsi conduits ` a ´ etablir, au Th´ eor` eme 3.1 infra, une propri´ et´ e plus g´ en´ erale et passablement technique, ´ enonc´ ee sous forme matricielle, dont le Th´ eor` eme 1.2 est un cas particulier.

L’´ etape la plus d´ elicate de la preuve du Th´ eor` eme 3.1 concerne le degr´ e 2, qui repose lui-mˆ eme sur une version effective du cas des polynˆ omes lin´ eaires. Il s’agit alors d’estimer, uniform´ ement dans les divers param` etres, des sommes du type :

G

r

(x, y; ϑ; α; h, k) :=

x<nx+y

e

α · s

q

(hn + k) + ϑn ,

o` u h := (h

1

, . . . , h

r

) N

r

, k N

r

, α Q

r

, ϑ R , et α · s

q

(hn + k) :=

1jr

α

j

s

q

(h

j

n + k

j

).

Etendant des travaux de Gelfond relatifs ` ´ a la dimension r = 1, nous avons obtenu dans [2] des estimations en dimension quelconque. Nous extrayons de ce travail l’´ enonc´ e n´ ecessaire ` a la mise en œuvre de notre m´ ethode, qui est un cas particulier du th´ eor` eme 2.1 de [2].

Th´ eor` eme A ([2]). Soient r N

, α Q

r

Z /(q 1)

r

, m le plus petit enominateur commun aux α

j

(1 j r) et h N

r

un r-uplet dont les coordonn´ ees sont deux ` a deux distinctes et non divisibles par q. On pose h := h

= max

1jr

| h

j

| . Il existe des constantes δ et K, ne d´ ependant que de q et r, telles que, notant l’unique puissance de q erifiant 2Kh < 2Kqh, on ait, pour x 0, ϑ R , et tout vecteur k de N

r

de la forme k = k

+

E+D

k

avec D , E N , k

, k

N

r

, k

<

E

, y > 2

D+E

,

(1 · 4) G

r

x, y; ϑ; α, h, k y(8 + 3D/h)e

δD/4m2h

+ 4

E+D

. En particulier, si k

y, on a

(1 · 5) G

r

(x; y; ϑ; α, h, k) m

2

δ

1

y

1c0/{m2hlog(Kh)}

, o` u la constante implicite est absolue.

Des majorations de ce type ont d´ ej` a ´ et´ e obtenues par Coquet [1] et Solinas [5].

Le lecteur trouvera dans [2] d’autres r´ ef´ erences et commentaires sur ce probl` eme.

L’application d´ evelopp´ ee dans le pr´ esent travail n´ ecessite de mani` ere cruciale l’uniformit´ e en x de la majoration (1 · 4), autrement dit l’aspect

petits intervalles

du th´ eor` eme A.

(5)

2. Parit´ e de la somme des chiffres des carr´ es

Le nombre des entiers n [0, N] tels que s

2

(n

2

) est pair vaut

1 2

0nN

1 + ( 1)

s2(n2)

.

Le Th´ eor` eme 1.1 est donc une cons´ equence du r´ esultat suivant.

Th´ eor` eme 2.1. On a

0nN

( 1)

s2(n2)

13

16

2

14

N +

92

(N 0).

emonstration. On peut supposer N 3 puisque l’in´ egalit´ e est trivialement v´ erifi´ ee pour 0 N 2. Soit R l’unique entier tel que 2

R+1/2

< N 2

R+3/2

. On a R 1.

Posons c =

2 1. Pour tout entier n de I := 0, c2

R

, o n peut ´ ecrire

(2 · 1) n

2

= $2

R+1

+ b

avec

(2 · 2) 0 $ c

2

2

R1

=

3

2

2

2

R

, 0 b < 2

R+1

. Il r´ esulte imm´ ediatement de (2 · 1) que

(2 · 3) s

2

(n

2

) = s

2

(b) + s

2

($).

De plus,

n + 2

R

2

= n

2

+ 2

R+1

n + 2

2R

= b + (n + $)2

R+1

+ 2

2R

. Comme on d´ eduit de (2 · 2) que n + $ < (c +

12

c

2

)2

R

= 2

R1

, il s’ensuit que

s

2

n + 2

R

2

= s

2

(b) + s

2

(n + $) + 1 d’o` u, en vertu de (2 · 3),

(2 · 4) s

2

n + 2

R

2

s

2

(n

2

) = s

2

(n + $) s

2

($) + 1.

En d´ esignant par I

l’ensemble des entiers de I satisfaisant ` a $2

R+1

n

2

<

($ + 1)2

R+1

, nous pouvons donc ´ ecrire

n∈I

( 1)

s2(n2)

+

n∈2R+I

( 1)

s2(n2)

=

n∈I

( 1)

s2(n2)

+ ( 1)

s2

(

(n+2R)2

)

n∈I

1 + ( 1)

s2

(

(n+2R)2

)

−s2(n2)

=

c22R−1

n∈I

1 + ( 1)

s2(n+)s2()+1

| I | −

c22R−1

( 1)

s2()

n∈+I

( 1)

s2(n)

.

(6)

Congruences de sommes de chiffres de valeurs polynomiales 5 D´ esignons par S

la somme int´ erieure. D’apr` es (1 · 2), on a | S

| 2 pour tout $. De plus, | S

| 1 sauf ´ eventuellement si la borne inf´ erieure de $ + I

est impaire, la borne sup´ erieure paire. Or, comme les intervalles I

sont cons´ ecutifs, on a

max($ + I

) + 2 = min($ + 1 + I

+1

)

pour tout $. Cela implique min( | S

| , | S

+1

| ) 1 pour tout $ et donc

n∈I

( 1)

s2(n2)

+

n∈2R+I

( 1)

s2(n2)

| I | +

32

(1 + c

2

2

R1

) + 2, d’o` u, puisque I (2

R

+ I) [0, N],

nN

( 1)

s2(n2)

N + 1 − | I | +

34

c

2

2

R

+

72

N 2

R

3

4

c

2

c +

92

= N

1 2

R

10

2 13 4N

+

92

13

16

2

14

N +

92

.

3. D´ emonstration du Th´ eor` eme 1.2

Nous ´ etablissons ici un r´ esultat g´ en´ eral dont le Th´ eor` eme 1.2 est une cons´ equence imm´ ediate. D´ esignons par P

d

(I, J) l’ensemble des matrices I × J du type

M = f

ij

0i<I 0j<J

o` u les f

ij

sont des polynˆ omes ` a coefficients entiers positifs ou nuls tels que : (i) deg f

i0

= d (0 i < I),

(ii) si λ

i

d´ esigne le coefficient dominant de f

i0

pour 0 i < I, alors λ

i

h

∈ { / q

ν

: ν Z} (0 i < h < I),

(iii) deg f

ij

< d (0 i < I, 1 j < J).

Pour chaque matrice M de P

d

(I, J), on note n σ(n; M ) la fonction arithm´ etique ` a valeurs dans N

I

d´ efinie par

σ(n; M ) :=

0j<J

s

q

f

ij

(n)

0i<I

.

(7)

Th´ eor` eme 3.1. Soient d, m, I, J des entiers strictement positifs, et soit M une matrice de P

d

(I, J ). Il existe des constantes positives C = C(m, M ) et N

0

= N

0

(m, M ) telles que

(3 · 1) min

g(Z/mZ)I

nN σ(n;M)≡g(modm)

1 CN

min(1,2/d!)

(N > N

0

).

emonstration. Commen¸cons par examiner le cas d = 1. Ainsi qu’il est ´ etabli dans la remarque qui suit cette d´ emonstration, la relation (3 · 1) est alors satisfaite sous la forme plus pr´ ecise d’une formule asymptotique.

Cependant, la preuve du cas d = 2 n´ ecessite un renforcement de nature diff´ erente, que nous d´ ecrivons maintenant. Par hypoth` ese, il existe des nombres entiers λ

i

, µ

i

(0 i < I) et µ

ij

(0 i < I, 1 j < J ) tels que

f

i0

(n) = λ

i

n + µ

i

(0 i < I), f

ij

(n) = µ

ij

(0 i < I, 1 j < J ).

On a donc, pour tout g ( Z /m Z )

I

,

(3 · 2)

x<nx+N σ(2n;M)g(modm)

1 = 1 m

I

2x<n2x+2N

1 + ( 1)

n

2

0i<I

{ 1 + χ

i

(n) }

o` u l’on a pos´ e

χ

i

(n) :=

1ν<m

e ν

m

s

q

i

n + µ

i

) + ϑ

i

g

i

avec ϑ

i

:=

1j<J

s

q

ij

) (0 i < I). Nous allons ´ etablir que le membre de gauche de (3 · 2) est

M

N sous l’hypoth` ese que le vecteur µ := (µ

i

)

0i<I

v´ erifie

(3 · 3) µ = µ

+ q

µ

o` u µ

M

1 et ∆ = ∆(M ) est une constante assez grande.

Cela r´ esulte simplement du th´ eor` eme A. En effet, en d´ eveloppant le produit en i dans (3 · 2) et appliquant (1 · 4) avec h = λ, k

= µ

, k

= µ

, et q

=

D

, nous obtenons que, pour N > N

1

(∆, m, M), chaque somme d’exponentielles non triviale est major´ ee en module par e

c∆

N o` u c = c(M ) > 0. Un choix convenable de ∆ fournit donc, par exemple, sous l’hypoth` ese (3 · 3),

(3 · 4)

x<nx+N σ(2n;M)≡g(modm)

1 N/(3m

I

)

N > N

0

(m, M ) .

Consid´ erons ensuite le cas d = 2. Il existe des nombres entiers positifs ou nuls λ

i

, µ

i

, ν

i

(0 i < I) et λ

ij

, µ

ij

(0 i < I, 1 j < J ) tels que

f

i0

(n) = λ

i

n

2

+ µ

i

n + ν

i

(0 i < I),

f

ij

(n) = λ

ij

n + µ

ij

(0 i < I, 1 j < J).

(8)

Congruences de sommes de chiffres de valeurs polynomiales 7 De plus, les λ

i

sont strictement positifs et satisfont la condition (ii) ci-dessus.

Donnons-nous alors trois param` etres ε ]0, 1[, η ]0, 1[, $ N

1

4

ε

2

q

R

,

12

ε

2

q

R

, posons

$

i

:=

i

(0 i < I),

d´ efinissons R N par q

R1

< εN q

R

, et consid´ erons l’ensemble A

:= A

(ε, η) de tous les entiers n satisfaisant ` a

(3 · 5) $q

R

n

2

< q

R

($ + η).

D´ efinissons X

, et N

par A

= X

, X

+ N

N . Nous notons imm´ ediatement, ` a fins de r´ ef´ erence ult´ erieure, que (3 · 5) implique

η

ηq

R/2

3

$ N

ηq

R/2

2

$ η ε .

Si η = η(M ) est assez petit, on a pour tout n de A

,

$

i

q

R

f

i0

(n) < ($

i

+ 1)q

R

(0 i < I).

Posant

f

i0

(n) = $

i

q

R

+ v

in

de sorte que 0 v

in

< q

R

, nous pouvons donc ´ ecrire, pour tous i [0, I[, T 0, 0 t T , et si ε = ε(m, M, T ) est assez petit,

f

i0

(n + tq

R

) = $

i

q

R

+ v

in

+ tq

R

f

i0

(n) + λ

i

t

2

q

2R

, d’o` u

s

q

f

i0

(n + tq

R

)

= s

q

(v

in

) + s

q

$

i

+ tf

i0

(n) + s

q

λ

i

t

2

= s

q

f

i0

(n) + s

q

$

i

+ tf

i0

(n) + s

q

λ

i

t

2

s

q

($

i

)

= s

q

f

i0

(n) + s

q

2tλ

i

n + $

i

+

i

+ s

q

λ

i

t

2

s

q

($

i

).

Par ailleurs, nous avons, sous les mˆ emes hypoth` eses, f

ij

n + tq

R

= f

ij

(n) + λ

ij

tq

R

(0 i < I, 1 j < J), d’o` u

s

q

f

ij

(n + tq

R

)

= s

q

f

ij

(n)

+ s

q

(tλ

ij

) (1 i < I, 0 j < J ).

Nous obtenons donc, pour n A

(ε, η), 0 t T , (3 · 6) σ(n + tq

R

; M ) σ(n; M ) = s

q

h

t

2n + k

t

+

t

(9)

o` u l’on a pos´ e

h

t

:= (λ

i

t)

0i<I

, k

t

:= (µ

i

t + $

i

)

0i<I

,

t

:=

s

q

i

t

2

) s

q

($

i

) +

1j<J

s

q

(tλ

ij

)

0i<I

.

Soient W := m

I

et { t

w

}

Ww=1

une suite finie d’entiers strictement positifs deux ` a deux distincts tels que

(3 · 7)

t

w

, q

0i<I

λ

i

= 1 (1 w W ).

Soit alors { g

w

}

Ww=1

une suite exhaustive de vecteurs de ( Z /m Z )

I

. En appliquant (3 · 4) avec IW au lieu de I et pour une matrice dont la premi` ere colonne est hn + k avec

h

r

:= λ

i

t

w

, k

r

:= µ

i

t

w

+ $

i

si r = i + (w 1)I (0 i < I, 1 w W ), nous obtenons que, si $ 0 (mod q

) pour une constante convenable ∆ = ∆(M, T ), et si ε assez petit en fonction de m, M, T et η, il existe au moins

C |A

| Cηq

R/2

3

$

entiers n de A

tels que

σ(n + t

w

q

R

; M ) σ(n; M ) g + g

w

(mod m) (1 w W ).

Pour chacun de ces entiers, il existe un w tel que g

w

+ σ(n; M ) 0 (mod m). Le nombre total des entiers n N satisfaisant σ(n; M ) g (mod m) est donc au moins ´ egal ` a

1

4ε2qR<12ε2qR 0 (modq)

Cηq

R/2

3

$ N.

Comme A

+ tq

R

[1, N] pour t T,

14

ε

2

q

R

< $

12

ε

2

q

R

et ε assez petit, cela

´

etablit bien le cas d = 2 de notre th´ eor` eme.

Nous proc´ edons ensuite par r´ ecurrence sur d. Supposons donc la propri´ et´ e ´ etablie jusqu’au rang d 1 avec d 3. Soit N 1 et R N tel que q

R1

< N q

R

. Pour tous entiers n 0, t 0, et tout polynˆ ome f de degr´ e au plus d et ` a coefficients entiers positifs ou nuls, on peut ´ ecrire la formule de Taylor

(3 · 8) f

n + tq

R

=

0vd

t

v

q

Rv

v! f

(v)

(n).

(10)

Congruences de sommes de chiffres de valeurs polynomiales 9 Il s’ensuit que si, n C

1

N

1/d

C

1

q

R/d

o` u C

1

est une constante strictement positive ne d´ ependant que de f , o n a

(3 · 9) s

q

f

n + tq

R

=

0vd

s

q

t

v

v! f

(v)

(n)

.

En appliquant cette formule ` a tous les polynˆ omes f

ij

et en notant M

v

:= M

(v)

/v!

o` u M

(v)

d´ esigne la d´ eriv´ ee d’ordre v de la matrice M , nous obtenons

(3 · 10) σ

n + tq

R

; M

σ(n; M ) =

1vd

σ n; t

v

M

v

.

Soit { t

w

}

Ww=1

une suite finie d’entiers positifs deux ` a deux distincts satisfaisant (3 · 7). Appliquons (3 · 10) avec t = t

w

pour 1 w W . Nous obtenons

σ(n; A) = σ(n; B)

o` u

A :=

a

rs

0r<IW 0j<J

=

 

M ( · + t

1

q

R

) M .. .

M ( · + t

W

q

R

) M

 

et

B :=

b

ru

0r<IW 0u<dJ

=

 

t

1

M

1

t

21

M

2

· · · t

d1

M

d

t

2

M

1

t

22

M

2

· · · t

d2

M

d

.. . .. . · · · .. . t

W

M

1

t

2W

M

2

· · · t

dW

M

d

 

sont respectivement d´ efinies par a

rs

(n) := f

ij

n + t

w

q

R

f

ij

(n) si

r = i + (w 1)I o` u 0 i < I, 1 w W, s = j o` u 0 j < J,

et

b

ru

(n) := t

vw

v! f

ij(v)

(n) si

r = i + (w 1)I o` u 0 i < I, 1 w W, u = j + (v 1)J o` u 0 j < J, 1 v d.

On a B P

d−1

(IW, dJ). En effet, on a d’une part deg b

r0

= d 1 (0 r < IW )

deg b

ru

< d 1 (0 r < IW, 1 u < dJ)

et, d’autre part, si µ

r

d´ esigne le coefficient dominant de b

r0

, alors, pour 1 r <

r

1

< IW , il existe des indices i, i

1

, w et w

1

tels que µ

r

= t

w

λ

i

, µ

r1

= t

w1

λ

i1

et

donc µ

r

µ

r1

= t

w

λ

i

t

w1

λ

i1

∈ { q

ν

: ν Z} .

(11)

Choisissons W = I

m

et d´ esignons par { g

w

}

Ww=1

une suite exhaustive de vecteurs de ( Z /m Z )

I

, il d´ ecoule de l’hypoth` ese de r´ ecurrence que l’on a

σ

n + t

w

q

R

; M ) σ(n; M ) g + g

w

(mod m) (1 w W )

pour au moins C

0

N

2/d!

entiers n C

1

N

1/d

. Or, pour chacun de ces entiers, il

existe un w tel que g

w

+ σ(n; M ) 0 (mod m).

Remarque. Par la m´ ethode d´ ecrite plus haut, la majoration (1 · 5) fournit imm´ edia- tement que, dans le cas d = 1, la relation (3 · 1) a lieu sous la forme forte suivante : (3 · 11) ( g ( Z /m Z )

I

)

x<nx+N σ(n;M)≡g(modm)

1 = N + O(N

1κ

) m

I

o` u κ = κ(m, M ) > 0, uniform´ ement en x 0.

Bibliographie

[1] J. Coquet, Sur la repr´esentation des multiples d’un entier dans une base,Publications math´ematiques d’Orsay83.04, Colloque Hubert Delange (7-8 juin 1982), 20-37.

[2] C. Dartyge et G. Tenenbaum, Sommes de chiffres de multiples d’entiers, Ann. Inst.

Fourier (Grenoble), `a paraˆıtre.

[3] A. O. Gelfond, Sur les nombres qui ont des propri´et´es additives et multiplicatives donn´ees,Acta Arith.13(1968), 259-265.

[4] C. Mauduit et J. Rivat, R´epartition des fonctions q-multiplicatives dans la suite ([nc])n∈N, c >1,Acta Arith.71, n2 (1995), 171-179.

[5] J. A. Solinas, On the joint distribution of digital sums,J. Number Theory33(1989), 132–151.

C´ecile Dartyge & G´erald Tenenbaum Institut ´Elie Cartan

Universit´e Henri Poincar´e–Nancy 1 BP 239

54506 Vandœuvre Cedex France

dartyge@iecn.u-nancy.fr, gerald.tenenbaum@ciril.fr

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